A helyzet
Képzeld el a következőt. A garázs falának támasztva áll egy 10 méteres létra. (Igen, hosszú. Magas a garázs.) A létra alja 6 méterre van a faltól, a teteje pedig pontosan 8 méter magasan ér a falhoz.
Ha most fogod ezt a számhármast — 6, 8, 10 — és nem ismerős, akkor most azonnal nézz rá még egyszer. A jó öreg 3-4-5-ös derékszögű háromszög nagytestvére. Pitagorasz tétele szerint:
\[6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2\]
Tehát minden szép és kerek. A létra hossza 10 méter, és ez a hossz soha nem fog változni, akármit is csinálunk vele. Ezt jegyezd meg, mert ez lesz az egész feladat lelke.
A kérdés
Most fogd meg a létra alját, és húzd el a faltól 2 méterrel. Tehát az alja most már nem 6, hanem 8 méterre van a faltól.
Kérdés: mennyivel csúszott le a létra teteje a falon?
Mielőtt továbbolvasol, tippelj. Komolyan. Mondj egy számot magadban.
A legtöbben — és ez teljesen természetes — azt válaszolják, hogy 2 méterrel. “Hát ami lent kimegy, az fent lejön, nem?”
Pedig nem. Vagyis… most épp igen. De nem azért, amiért gondolnád. És mindjárt meglátod, miért nem szabad ennek az “egyezésnek” hinni.
Számoljuk ki
A létra, a fal és a talaj minden pillanatban derékszögű háromszöget alkotnak. A létra a háromszög átfogója, a hossza pedig konstans 10 méter. Tehát Pitagorasz tétele bármelyik pillanatban érvényes:
\[a^2 + b^2 = 100\]
ahol \(a\) a fal melletti magasság (a létra teteje), \(b\) pedig a faltól való távolság (a létra alja).
Most \(b = 8\), így:
\[a = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6 \text{ méter}\]
A létra teteje tehát 8 méterről 6 méterre csúszott le — pontosan 2 métert. Vagyis annyit, amennyit lent elmozdult.
“Na látod, mégis igazam volt!” — mondod magadban. Pedig nem. Ez egy véletlen egybeesés, és most megmutatom, miért.
A csavar
Húzzuk el a létra alját még 2 méterrel. Most \(b = 10\):
\[a = \sqrt{100 - 100} = \sqrt{0} = 0 \text{ méter}\]
A létra teljesen ledőlt. Vízszintesen fekszik a földön.
Számoljunk újra: az alja 2 métert mozdult (8-ról 10-re), de a teteje 6 méterről 0 méterre zuhant. Tehát 2 méter elmozdulás lent — és 6 méter zuhanás fent.
Hopp. Akkor mégsincs olyan, hogy “ami lent kimegy, az fent lejön”.
Méterről méterre
Csináljunk egy szép táblázatot. Húzzuk el a létra alját méterről méterre, és nézzük meg, mi történik fent:
| Alja (\(b\)) | Teteje (\(a\)) | Lecsúszás az előző lépéshez képest |
|---|---|---|
| 6 m | 8,00 m | — |
| 7 m | \(\sqrt{51} \approx\) 7,14 m | 0,86 m |
| 8 m | 6,00 m | 1,14 m |
| 9 m | \(\sqrt{19} \approx\) 4,36 m | 1,64 m |
| 10 m | 0,00 m | 4,36 m |
Nézd meg jól ezt a táblázatot. Minden sorban ugyanaz történik lent: 1 méterrel arrébb húzzuk a létra alját. Fent viszont:
- Először 0,86 métert csúszik a teteje.
- Aztán 1,14 métert.
- Aztán 1,64 métert.
- Végül 4,36 métert egyetlen lépésben.
Az utolsó lépés szinte ijesztő: ugyanannyit mozdítunk lent, de fent a létra teteje több mint négyszer annyit zuhan, mint az első lépésben.
Miért történik ez?
Itt a lényeg, és ez az, amit érdemes magaddal vinned. Pitagorasz tételében a magasság (\(a\)) így fejezhető ki a távolságból (\(b\)):
\[a = \sqrt{100 - b^2}\]
Ez nem lineáris összefüggés. Vagyis ha \(b\) egyenletesen nő, \(a\) nem egyenletesen csökken. A négyzetgyök függvény természete az, hogy nulla közelében nagyon meredek — ezért zuhan olyan drámaian a létra a vége felé.
Ha rajzolnánk egy grafikont, ahol a vízszintes tengelyen \(b\), a függőlegesen \(a\) van, akkor egy negyedkört kapnánk (egy 10 sugarú körét). És egy körön végighaladva a magasság nem egyenletesen, hanem egyre gyorsabban csökken, ahogy a vége felé közeledünk.
Mit tanulhatunk ebből?
Két dolgot szeretném, ha magaddal vinnél.
Az első: az intuíció nem mindig megbízható. A “lent ennyi, fent ugyanannyi” gondolat olyan egyszerűnek és logikusnak hangzik, hogy senki nem kérdőjelezi meg. Pedig ha az első két lépés után megálltunk volna (“látod, mindkettő 2 méter”), egy hamis szabályt vontunk volna le. A matematika pont arra való, hogy az ilyen csapdákat észrevegyük.
A második: soha ne általánosíts egyetlen példából. Az első lépésnél tényleg pont 2 méter volt lent is, fent is — de ez egy konkrét helyzet konkrét eredménye, nem törvény. A 6-8-10-es háromszögnél történetesen pont szimmetrikus a helyzet, mert ha \(b\) és \(a\) helyet cserél (8 és 6), ugyanaz a háromszög adódik tükrözve. Ez a véletlen egybeesés csapdába csal. A következő lépésben már nincs ilyen szimmetria, és nincs ilyen szép egyezés.
Egy utolsó kérdés
Ha még marad benned kíváncsiság: mit gondolsz, mi történne, ha a létra alját egyenletes sebességgel húznánk el a faltól? Mondjuk másodpercenként 1 métert. Akkor a tetejének a sebessége — vagyis hogy mennyit zuhan másodpercenként — milyen lenne?
A táblázatból már sejtheted a választ: nem egyenletes. Sőt, ahogy a létra dőlni kezd, a teteje egyre gyorsabban zuhan, és a legutolsó pillanatban gyakorlatilag végtelen sebességgel. (Ami persze a valóságban nem történhetne meg, mert valami eltörne — de a matematika ezt mondja.)
Ez a kérdés már átvezet egy másik világba, ahol a változások sebességét vizsgáljuk. De ennek a felfedezése legyen egy másik nap feladata.