A Facebook-on nagy vitát váltott ki az alábbi feladat:
Egy szomszédodnak két gyereke van. Tudod, hogy az egyikük fiú. Mekkora az esélye, hogy a másik is fiú?
Nagyon sokan az 50% mellett tették le a voksukat és néhányan nem is voltak meggyőzhetőek, hogy nem annyi. Arra gondoltam, hogy a legfőbb ellenérveket egy helyre gyűjtöm és egyesével megvilágítom a hibájukat.
Az ismerőseim között csak olyanok vannak, akiknél ha az egyik fiú, akkor a másik is.
Nézzük ezt a tényt egy kicsit matekosan átfogalmazva: az ismerősi körben a kétgyerekes családoknál vagy mindkettő gyerek fiú vagy mindkettő lány.
Mekkora a valószínűsége, hogy mindkettő gyerek fiú? Ha az 50-50 százalékot feltételezzük (ami nem pontosan igaz, ld. később), akkor az első fiú és a második is fiú: \(0.5\cdot0.5 = 0.5^2 = 0.25\) (tizedeselválasztásra pontot használok technikai okok miatt). Hasonlóképpen a két lányra is 0,25 a valószínűség. Azaz az egyforma neműekre \(0.25 + 0.25 = 0.5\), vagyis 50 százalék!
A legegyszerűbb, könnyen ismételhető kísérlet, amelynek két, egyenlően valószínű kimenetele van, a pénzérme dobás (50-50 százalék a fej és az írás esélye). Meglepődünk-e, ha pl. ötször feldobjuk a pénzérmét, öt egyformát dobunk? Nyilván egy kicsit igen, meg mondjuk is, hogy nem nagy a valószínűsége, de egyáltalán nem gondolunk csalásra. Nem is, hiszen az öt fejnek \(\left(\frac12\right)^5 = \frac{1}{32}\) a valószínűsége, és természetesen az öt írásnak is, azaz az öt egyformának (csupa fej vagy csupa írás) \(\frac{1}{32} + \frac{1}{32} = \frac{1}{16}\), azaz 16 darab ötös dobássorozatból átlagosan 1 darab dobássorozat van, amelynél ugyanazok a dobások (vagy mind fej vagy mind írás).
Szóval nem olyan lehetetlen, hogy valaki olyan “buborékban” legyen, ahol az öt ismerős, kétgyermekes családban csak egyforma neműek a gyerekek.
A két esemény egymástól független, így ha az első fiú, akkor a második, hogy fiú, 50 százalék az esélye.
Teljesen helytálló a levezetés, csak ott van a kutya elásva, hogy a feladat szerint azt tudjuk, hogy az egyik a fiú, azaz vagy az első vagy a második. És ez rögtön duplázza az esetek számát. A két gyerek nincs most megkülönböztetve!
A feladat úgy is szólhatna, hogy egy szobában van két gyerek, akiknek akár semmi közük sincs egymáshoz. Ha tudjuk, hogy az egyikük fiú, akkor mekkora a valószínűsége, hogy a másik is az?
Ez nagyon jó komment volt, és ha így tennénk fel a kérdést, talán kevesebben dőlnének be, hiszen itt nincs első és második gyerek, hanem csak kettő random gyerek a játszótérről berángatva.
És akkor mi a megoldás?
Illusztrációként nézzük az alábbi képet!
Kétgyerekes családoknál a nemek eloszlására háromféle lehetőség van: fiú-fiú, lány-lány, fiú-lány. Viszont az ellenkező neműeknél ne felejtsük el, hogy a fiú-lány mellett lehet a lány-fiú is!
Vagyis négyféle lehetőség van, mindegyikre 25 százalék a valószínűség.
A feladvány szerint ebből a négy lehetőségből csak három jöhet szóba, mivel egyikük fiú (másképp fogalmazva: legalább egy fiú van). A három, egyenlő valószínűségű eset közül csak egy a jó, a fiú-fiú, azaz a kedvező-per-összes törvényét használva a valószínűség \(\frac13\), azaz kb. 33 százalék.
Mennyi is az az 50-50 százalék?
A statisztikák szerint 100 lányra nagyjából 103 fiú jut, amelynek biológiai okai vannak.
Ezekbe nem szeretnék belemenni, mert a biológiához nem (sem) értek, viszont egy-két linket adok, ahol hozzáértőbbek írnak-beszélnek ezekről: Qubit, ELTE TTK, telex (Science és New Scientist cikkeket hivatkozik), GyerekPortál (nem tudományos portál, de kereshető, ellenőrizhető fogalmakat használnak)
Ha szereted a hasonló fejtörőket, matekos poénokat, csatlakozz Facebook-on a MatekStream Közösség-hez!