Kihívás - első alkalom
Szöveges feladat
Egy raktárban 26 darab áruval kevesebb van, mint egy másik raktárban lévő áru mennyiségének kétszerese.
Ha az egyik raktárból 77 darab árut elvisznek, a másikba pedig 125 darab árut visznek, a két raktárban ugyanannyi áru lesz.
Hány darab áru volt eredetileg az egyes raktárakban?
| egyik raktárban | |
| másik raktárban |
A második raktárban levő áru mennyiségét jelöljük \(x\)-szel (darab egységben). Azért a második raktárban levőét, mert ahhoz viszonyítja a feladat az első raktárban levő mennyiséget (ld. "mint egy másik raktárban").
Ekkor az első raktárban levő áru mennyisége \(2x-26\) darab.
A szállítások után az egyik raktárban \(2x-26 - 77\), a másikban \(x + 125\) darab áru lesz.
Az előbbi pontban a két kifejezés egyenlősége adja az egyenletet ("ugyanannyi áru lesz"): \(2x-26 - 77 = x + 125\)
Az egyenlet megoldása: \(x = 228\). Ez a második raktárban eredetileg tárolt áru mennyisége.
Az első raktárban levő eredeti mennyiséget pedig az először felírt \(2x-26\) képletbe helyettesítés után kapjuk meg: \(2\cdot 228 -26 = 430\).
Egy raktárban 174 tonna áruval több van, mint egy másik raktárban lévő áru mennyiségének kétszerese.
Ha az egyik raktárból 41 tonna árut elvisznek, a másikba pedig 205 tonna árut visznek, a két raktárban ugyanannyi áru lesz.
Hány tonna áru volt eredetileg az egyes raktárakban?
| egyik raktárban | |
| másik raktárban |
A második raktárban levő áru mennyiségét jelöljük \(x\)-szel (tonna egységben). Azért a második raktárban levőét, mert ahhoz viszonyítja a feladat az első raktárban levő mennyiséget (ld. "mint egy másik raktárban").
Ekkor az első raktárban levő áru mennyisége \(2x+174\) tonna.
A szállítások után az egyik raktárban \(2x+174 - 41\), a másikban \(x + 205\) tonna áru lesz.
Az előbbi pontban a két kifejezés egyenlősége adja az egyenletet ("ugyanannyi áru lesz"): \(2x+174 - 41 = x + 205\)
Az egyenlet megoldása: \(x = 72\). Ez a második raktárban eredetileg tárolt áru mennyisége.
Az első raktárban levő eredeti mennyiséget pedig az először felírt \(2x+174\) képletbe helyettesítés után kapjuk meg: \(2\cdot 72 +174 = 318\).
Egy raktárban 846 tonna áruval kevesebb van, mint egy másik raktárban lévő áru mennyiségének ötszöröse.
Ha az egyik raktárból 74 tonna árut elvisznek, a másikba pedig 148 tonna árut visznek, a két raktárban ugyanannyi áru lesz.
Hány tonna áru volt eredetileg az egyes raktárakban?
| egyik raktárban | |
| másik raktárban |
A második raktárban levő áru mennyiségét jelöljük \(x\)-szel (tonna egységben). Azért a második raktárban levőét, mert ahhoz viszonyítja a feladat az első raktárban levő mennyiséget (ld. "mint egy másik raktárban").
Ekkor az első raktárban levő áru mennyisége \(5x-846\) tonna.
A szállítások után az egyik raktárban \(5x-846 - 74\), a másikban \(x + 148\) tonna áru lesz.
Az előbbi pontban a két kifejezés egyenlősége adja az egyenletet ("ugyanannyi áru lesz"): \(5x-846 - 74 = x + 148\)
Az egyenlet megoldása: \(x = 267\). Ez a második raktárban eredetileg tárolt áru mennyisége.
Az első raktárban levő eredeti mennyiséget pedig az először felírt \(5x-846\) képletbe helyettesítés után kapjuk meg: \(5\cdot 267 -846 = 489\).
Egy raktárban 259 tonna áruval több van, mint egy másik raktárban lévő áru mennyiségének kétszerese.
Ha az egyik raktárból 70 tonna árut elvisznek, a másikba pedig 287 tonna árut visznek, a két raktárban ugyanannyi áru lesz.
Hány tonna áru volt eredetileg az egyes raktárakban?
| egyik raktárban | |
| másik raktárban |
A második raktárban levő áru mennyiségét jelöljük \(x\)-szel (tonna egységben). Azért a második raktárban levőét, mert ahhoz viszonyítja a feladat az első raktárban levő mennyiséget (ld. "mint egy másik raktárban").
Ekkor az első raktárban levő áru mennyisége \(2x+259\) tonna.
A szállítások után az egyik raktárban \(2x+259 - 70\), a másikban \(x + 287\) tonna áru lesz.
Az előbbi pontban a két kifejezés egyenlősége adja az egyenletet ("ugyanannyi áru lesz"): \(2x+259 - 70 = x + 287\)
Az egyenlet megoldása: \(x = 98\). Ez a második raktárban eredetileg tárolt áru mennyisége.
Az első raktárban levő eredeti mennyiséget pedig az először felírt \(2x+259\) képletbe helyettesítés után kapjuk meg: \(2\cdot 98 +259 = 455\).
Egy raktárban 151 darab áruval több van, mint egy másik raktárban lévő áru mennyiségének négyszerese.
Ha az egyik raktárból 90 darab árut elvisznek, a másikba pedig 91 darab árut visznek, a két raktárban ugyanannyi áru lesz.
Hány darab áru volt eredetileg az egyes raktárakban?
| egyik raktárban | |
| másik raktárban |
A második raktárban levő áru mennyiségét jelöljük \(x\)-szel (darab egységben). Azért a második raktárban levőét, mert ahhoz viszonyítja a feladat az első raktárban levő mennyiséget (ld. "mint egy másik raktárban").
Ekkor az első raktárban levő áru mennyisége \(4x+151\) darab.
A szállítások után az egyik raktárban \(4x+151 - 90\), a másikban \(x + 91\) darab áru lesz.
Az előbbi pontban a két kifejezés egyenlősége adja az egyenletet ("ugyanannyi áru lesz"): \(4x+151 - 90 = x + 91\)
Az egyenlet megoldása: \(x = 10\). Ez a második raktárban eredetileg tárolt áru mennyisége.
Az első raktárban levő eredeti mennyiséget pedig az először felírt \(4x+151\) képletbe helyettesítés után kapjuk meg: \(4\cdot 10 +151 = 191\).
Háromszögek
Egy háromszög egy belső szöge \(62^\circ\), egy másik szög külső szöge \(132^\circ\).
Hány fokos a harmadik szöge?
Első megoldás
A külső szög mellett fekvő belső szög a külső szög kiegészítő szöge (180 fokra egészítik ki egymást), azaz \(180^\circ - 132^\circ = 48^\circ\).
Ezután a két ismert belső szög (a megadott \(62^\circ\) és a most kiszámolt \(48^\circ\)) összegét kivonjuk a 180 fokból.
Másik megoldás
Egy háromszög külső szöge megegyezik a nem mellette fekvő két belső szög összegével.
Azaz a megadott külső szög egyenlő a megadott belső és a hiányzó belső szög összegével, tehát a külső szögből kivonjuk a megadott belső szöget: \(132^\circ - 62^\circ\).
Egy háromszög egy belső szöge \(15^\circ\), egy másik szög külső szöge \(146^\circ\).
Hány fokos a harmadik szöge?
Első megoldás
A külső szög mellett fekvő belső szög a külső szög kiegészítő szöge (180 fokra egészítik ki egymást), azaz \(180^\circ - 146^\circ = 34^\circ\).
Ezután a két ismert belső szög (a megadott \(15^\circ\) és a most kiszámolt \(34^\circ\)) összegét kivonjuk a 180 fokból.
Másik megoldás
Egy háromszög külső szöge megegyezik a nem mellette fekvő két belső szög összegével.
Azaz a megadott külső szög egyenlő a megadott belső és a hiányzó belső szög összegével, tehát a külső szögből kivonjuk a megadott belső szöget: \(146^\circ - 15^\circ\).
Egy háromszög egy belső szöge \(154^\circ\), egy másik szög külső szöge \(176^\circ\).
Hány fokos a harmadik szöge?
Első megoldás
A külső szög mellett fekvő belső szög a külső szög kiegészítő szöge (180 fokra egészítik ki egymást), azaz \(180^\circ - 176^\circ = 4^\circ\).
Ezután a két ismert belső szög (a megadott \(154^\circ\) és a most kiszámolt \(4^\circ\)) összegét kivonjuk a 180 fokból.
Másik megoldás
Egy háromszög külső szöge megegyezik a nem mellette fekvő két belső szög összegével.
Azaz a megadott külső szög egyenlő a megadott belső és a hiányzó belső szög összegével, tehát a külső szögből kivonjuk a megadott belső szöget: \(176^\circ - 154^\circ\).
Egy háromszög egy belső szöge \(26^\circ\), egy másik szög külső szöge \(167^\circ\).
Hány fokos a harmadik szöge?
Első megoldás
A külső szög mellett fekvő belső szög a külső szög kiegészítő szöge (180 fokra egészítik ki egymást), azaz \(180^\circ - 167^\circ = 13^\circ\).
Ezután a két ismert belső szög (a megadott \(26^\circ\) és a most kiszámolt \(13^\circ\)) összegét kivonjuk a 180 fokból.
Másik megoldás
Egy háromszög külső szöge megegyezik a nem mellette fekvő két belső szög összegével.
Azaz a megadott külső szög egyenlő a megadott belső és a hiányzó belső szög összegével, tehát a külső szögből kivonjuk a megadott belső szöget: \(167^\circ - 26^\circ\).
Egy háromszög egy belső szöge \(50^\circ\), egy másik szög külső szöge \(96^\circ\).
Hány fokos a harmadik szöge?
Első megoldás
A külső szög mellett fekvő belső szög a külső szög kiegészítő szöge (180 fokra egészítik ki egymást), azaz \(180^\circ - 96^\circ = 84^\circ\).
Ezután a két ismert belső szög (a megadott \(50^\circ\) és a most kiszámolt \(84^\circ\)) összegét kivonjuk a 180 fokból.
Másik megoldás
Egy háromszög külső szöge megegyezik a nem mellette fekvő két belső szög összegével.
Azaz a megadott külső szög egyenlő a megadott belső és a hiányzó belső szög összegével, tehát a külső szögből kivonjuk a megadott belső szöget: \(96^\circ - 50^\circ\).
Logika
Melyik állítás az alábbi állítás tagadása?
Enikő cipője fehér.
A tagadás egy olyan állítás, amely pontosan akkor igaz, ha az eredeti állítás hamis. És persze akkor hamis, amikor az eredeti állítás igaz. Minden konkrét esetre érvényes!
Azaz ha egy tárgy fehér színű, annak nem tagadása az, hogy az a tárgy pl. kék, mivel ha épp piros, akkor az eredeti állítás (fehér) is hamis és az is hamis, hogy kék.
Ha egy tárgy fehér, annak nem tagadása, hogy egy másik tárgy is fehér (vagy épp nem fehér), mivel a két tárgy színe független egymástól.
Összegezve: egy ilyen egyszerű állítás tagadása az, hogy a jelző (jelen esetben a szín) elé egy "nem"-szócskát teszünk.
Melyik állítás az alábbi állítás tagadása?
Csongor pólója zöld.
A tagadás egy olyan állítás, amely pontosan akkor igaz, ha az eredeti állítás hamis. És persze akkor hamis, amikor az eredeti állítás igaz. Minden konkrét esetre érvényes!
Azaz ha egy tárgy zöld színű, annak nem tagadása az, hogy az a tárgy pl. kék, mivel ha épp fehér, akkor az eredeti állítás (zöld) is hamis és az is hamis, hogy kék.
Ha egy tárgy zöld, annak nem tagadása, hogy egy másik tárgy is zöld (vagy épp nem zöld), mivel a két tárgy színe független egymástól.
Összegezve: egy ilyen egyszerű állítás tagadása az, hogy a jelző (jelen esetben a szín) elé egy "nem"-szócskát teszünk.
Melyik állítás az alábbi állítás tagadása?
Fatime táskája fehér.
A tagadás egy olyan állítás, amely pontosan akkor igaz, ha az eredeti állítás hamis. És persze akkor hamis, amikor az eredeti állítás igaz. Minden konkrét esetre érvényes!
Azaz ha egy tárgy fehér színű, annak nem tagadása az, hogy az a tárgy pl. fekete, mivel ha épp kék, akkor az eredeti állítás (fehér) is hamis és az is hamis, hogy fekete.
Ha egy tárgy fehér, annak nem tagadása, hogy egy másik tárgy is fehér (vagy épp nem fehér), mivel a két tárgy színe független egymástól.
Összegezve: egy ilyen egyszerű állítás tagadása az, hogy a jelző (jelen esetben a szín) elé egy "nem"-szócskát teszünk.
Melyik állítás az alábbi állítás tagadása?
Fatime hátizsákja zöld.
A tagadás egy olyan állítás, amely pontosan akkor igaz, ha az eredeti állítás hamis. És persze akkor hamis, amikor az eredeti állítás igaz. Minden konkrét esetre érvényes!
Azaz ha egy tárgy zöld színű, annak nem tagadása az, hogy az a tárgy pl. fekete, mivel ha épp fehér, akkor az eredeti állítás (zöld) is hamis és az is hamis, hogy fekete.
Ha egy tárgy zöld, annak nem tagadása, hogy egy másik tárgy is zöld (vagy épp nem zöld), mivel a két tárgy színe független egymástól.
Összegezve: egy ilyen egyszerű állítás tagadása az, hogy a jelző (jelen esetben a szín) elé egy "nem"-szócskát teszünk.
Melyik állítás az alábbi állítás tagadása?
Csongor pólója fehér.
A tagadás egy olyan állítás, amely pontosan akkor igaz, ha az eredeti állítás hamis. És persze akkor hamis, amikor az eredeti állítás igaz. Minden konkrét esetre érvényes!
Azaz ha egy tárgy fehér színű, annak nem tagadása az, hogy az a tárgy pl. kék, mivel ha épp fekete, akkor az eredeti állítás (fehér) is hamis és az is hamis, hogy kék.
Ha egy tárgy fehér, annak nem tagadása, hogy egy másik tárgy is fehér (vagy épp nem fehér), mivel a két tárgy színe független egymástól.
Összegezve: egy ilyen egyszerű állítás tagadása az, hogy a jelző (jelen esetben a szín) elé egy "nem"-szócskát teszünk.
Másodfokú egyenlet
Határozd meg az alábbi egyenlet gyökeit (megoldásait)!
\(-24,75 = -2x^{2}-6,5x\)
| \(x_1=\) | |
| \(x_2=\) |
(Az \(x_1\) legyen a nagyobbik, \(x_2\) a kisebbik megoldás!)
Az egyenletet először nullára kell redukálni:
\(2x^{2}+6,5x-24,75 = 0\) (vagy \(0 = -2x^{2}-6,5x+24,75\))
Ezután a megoldóképletbe kell behelyettesíteni vagy a számológép megfelelő funkcióját használni.
A megoldások: \(x_1 = 2.25\) és \(x_2 = -5.5\).
Határozd meg az alábbi egyenlet gyökeit (megoldásait)!
\(-6x = -6x^{2}\)
| \(x_1=\) | |
| \(x_2=\) |
(Az \(x_1\) legyen a nagyobbik, \(x_2\) a kisebbik megoldás!)
Az egyenletet először nullára kell redukálni:
\(6x^{2}-6x = 0\) (vagy \(0 = -6x^{2}+6x\))
Ezután a megoldóképletbe kell behelyettesíteni vagy a számológép megfelelő funkcióját használni.
A megoldások: \(x_1 = 1\) és \(x_2 = 0\).
Határozd meg az alábbi egyenlet gyökeit (megoldásait)!
\(-4,5x = -3x^{2}+35,0625\)
| \(x_1=\) | |
| \(x_2=\) |
(Az \(x_1\) legyen a nagyobbik, \(x_2\) a kisebbik megoldás!)
Az egyenletet először nullára kell redukálni:
\(3x^{2}-4,5x-35,0625 = 0\) (vagy \(0 = -3x^{2}+4,5x+35,0625\))
Ezután a megoldóképletbe kell behelyettesíteni vagy a számológép megfelelő funkcióját használni.
A megoldások: \(x_1 = 4.25\) és \(x_2 = -2.75\).
Határozd meg az alábbi egyenlet gyökeit (megoldásait)!
\(1,5x+42 = 3x^{2}\)
| \(x_1=\) | |
| \(x_2=\) |
(Az \(x_1\) legyen a nagyobbik, \(x_2\) a kisebbik megoldás!)
Az egyenletet először nullára kell redukálni:
\(-3x^{2}+1,5x+42 = 0\) (vagy \(0 = 3x^{2}-1,5x-42\))
Ezután a megoldóképletbe kell behelyettesíteni vagy a számológép megfelelő funkcióját használni.
A megoldások: \(x_1 = 4\) és \(x_2 = -3.5\).
Határozd meg az alábbi egyenlet gyökeit (megoldásait)!
\(2x^{2}+13,5x = -22,75\)
| \(x_1=\) | |
| \(x_2=\) |
(Az \(x_1\) legyen a nagyobbik, \(x_2\) a kisebbik megoldás!)
Az egyenletet először nullára kell redukálni:
\(2x^{2}+13,5x+22,75 = 0\) (vagy \(0 = -2x^{2}-13,5x-22,75\))
Ezután a megoldóképletbe kell behelyettesíteni vagy a számológép megfelelő funkcióját használni.
A megoldások: \(x_1 = -3.25\) és \(x_2 = -3.5\).
Exponenciális
Egy radioaktív anyag bomlását az alábbi exponenciális összefüggés írja le:
\(\displaystyle m(t) = m_0\cdot 2^{-t/T_{1/2}}\),
ahol \(m(t)\) a még megmaradt anyag tömege \(t\) időpontban, \(m_0\) a kezdeti anyag tömege, \(T_{1/2}\) a felezési idő, \(t\) az eltelt idő (órában).
Egy radioaktív izotóp kezdetben 1600 mg volt, és felezési ideje 121.5 óra. Mennyi anyag marad 203.75 óra elteltével? Válaszodat milligrammban, 1 tizedes jegyre kerekítve add meg!
Adatok kigyűjtése
A képletben megjelenő jelöléseket használva:
\(m_0 = 1600\) (mg)
\(T_{1/2} = 121.5\) (óra)
\(t = 203.75\) (óra)
Behelyettesítés
A megadott képletbe behelyettesítve:
\(m(t) = 1600\cdot 2^{-203.75 / 121.5}\),
majd kiszámolva: \(m(t) = 500.4\).
Figyelj arra, hogy a kitevőt rakd zárójelbe, vagy először azt számold ki külön és az eredmény kerüljön a kettő kitevőjébe!
Egy radioaktív anyag bomlását az alábbi exponenciális összefüggés írja le:
\(\displaystyle m(t) = m_0\cdot 2^{-t/T_{1/2}}\),
ahol \(m(t)\) a még megmaradt anyag tömege \(t\) időpontban, \(m_0\) a kezdeti anyag tömege, \(T_{1/2}\) a felezési idő, \(t\) az eltelt idő (órában).
Egy radioaktív izotóp kezdetben 1100 mg volt, és felezési ideje 59 óra. Mennyi anyag marad 729.5 óra elteltével? Válaszodat milligrammban, 4 tizedes jegyre kerekítve add meg!
Adatok kigyűjtése
A képletben megjelenő jelöléseket használva:
\(m_0 = 1100\) (mg)
\(T_{1/2} = 59\) (óra)
\(t = 729.5\) (óra)
Behelyettesítés
A megadott képletbe behelyettesítve:
\(m(t) = 1100\cdot 2^{-729.5 / 59}\),
majd kiszámolva: \(m(t) = 0.2086\).
Figyelj arra, hogy a kitevőt rakd zárójelbe, vagy először azt számold ki külön és az eredmény kerüljön a kettő kitevőjébe!
Egy radioaktív anyag bomlását az alábbi exponenciális összefüggés írja le:
\(\displaystyle m(t) = m_0\cdot 2^{-t/T_{1/2}}\),
ahol \(m(t)\) a még megmaradt anyag tömege \(t\) időpontban, \(m_0\) a kezdeti anyag tömege, \(T_{1/2}\) a felezési idő, \(t\) az eltelt idő (órában).
Egy radioaktív izotóp kezdetben 1900 mg volt, és felezési ideje 109.25 óra. Mennyi anyag marad 1017.625 óra elteltével? Válaszodat milligrammban, 3 tizedes jegyre kerekítve add meg!
Adatok kigyűjtése
A képletben megjelenő jelöléseket használva:
\(m_0 = 1900\) (mg)
\(T_{1/2} = 109.25\) (óra)
\(t = 1017.625\) (óra)
Behelyettesítés
A megadott képletbe behelyettesítve:
\(m(t) = 1900\cdot 2^{-1017.625 / 109.25}\),
majd kiszámolva: \(m(t) = 2.984\).
Figyelj arra, hogy a kitevőt rakd zárójelbe, vagy először azt számold ki külön és az eredmény kerüljön a kettő kitevőjébe!
Egy radioaktív anyag bomlását az alábbi exponenciális összefüggés írja le:
\(\displaystyle m(t) = m_0\cdot 2^{-t/T_{1/2}}\),
ahol \(m(t)\) a még megmaradt anyag tömege \(t\) időpontban, \(m_0\) a kezdeti anyag tömege, \(T_{1/2}\) a felezési idő, \(t\) az eltelt idő (órában).
Egy radioaktív izotóp kezdetben 1400 mg volt, és felezési ideje 111.75 óra. Mennyi anyag marad 467.875 óra elteltével? Válaszodat milligrammban, 2 tizedes jegyre kerekítve add meg!
Adatok kigyűjtése
A képletben megjelenő jelöléseket használva:
\(m_0 = 1400\) (mg)
\(T_{1/2} = 111.75\) (óra)
\(t = 467.875\) (óra)
Behelyettesítés
A megadott képletbe behelyettesítve:
\(m(t) = 1400\cdot 2^{-467.875 / 111.75}\),
majd kiszámolva: \(m(t) = 76.87\).
Figyelj arra, hogy a kitevőt rakd zárójelbe, vagy először azt számold ki külön és az eredmény kerüljön a kettő kitevőjébe!
Egy radioaktív anyag bomlását az alábbi exponenciális összefüggés írja le:
\(\displaystyle m(t) = m_0\cdot 2^{-t/T_{1/2}}\),
ahol \(m(t)\) a még megmaradt anyag tömege \(t\) időpontban, \(m_0\) a kezdeti anyag tömege, \(T_{1/2}\) a felezési idő, \(t\) az eltelt idő (órában).
Egy radioaktív izotóp kezdetben 1000 mg volt, és felezési ideje 90.5 óra. Mennyi anyag marad 1202.25 óra elteltével? Válaszodat milligrammban, 4 tizedes jegyre kerekítve add meg!
Adatok kigyűjtése
A képletben megjelenő jelöléseket használva:
\(m_0 = 1000\) (mg)
\(T_{1/2} = 90.5\) (óra)
\(t = 1202.25\) (óra)
Behelyettesítés
A megadott képletbe behelyettesítve:
\(m(t) = 1000\cdot 2^{-1202.25 / 90.5}\),
majd kiszámolva: \(m(t) = 0.1002\).
Figyelj arra, hogy a kitevőt rakd zárójelbe, vagy először azt számold ki külön és az eredmény kerüljön a kettő kitevőjébe!
Kombinatorika
Egy kártyapakliban összesen 11 kártya van. Kezdeti kiosztáskor mindenki 5 lapot kap, a maradék 1 lap talonba kerül.
Hányféle kezdeti kiosztás lehetséges?
Összesen \(11 - 1 = 10\) kártyát osztanak ki úgy, hogy mindenki 5 kártyát kap, azaz \(\frac{10}{5} = 2\) fő játszik.
Az első játékos a teljes pakliból kap, ez \(\left(\begin{array}{c} 11 \\ 5 \end{array} \right)\)-féleképpen lehet, hiszen a kiosztás sorrendje nem számít.
A második játékos már csak \(6\) lapból kaphat (hiszen 5 lapot már kiosztottunk), ez \(\left(\begin{array}{c} 6 \\ 5 \end{array} \right)\)-féleképpen lehetséges.
És így tovább, a lehetőségeket pedig össze kell szorozni (hiszen és kötőszóval kapcsoljuk össze a lépéseket):
\(\left(\begin{array}{c} 11 \\ 5 \end{array} \right)\cdot\left(\begin{array}{c} 6 \\ 5 \end{array} \right) = 2772\)
Egy kártyapakliban összesen 10 kártya van. Kezdeti kiosztáskor mindenki 3 lapot kap, a maradék 1 lap talonba kerül.
Hányféle kezdeti kiosztás lehetséges?
Összesen \(10 - 1 = 9\) kártyát osztanak ki úgy, hogy mindenki 3 kártyát kap, azaz \(\frac{9}{3} = 3\) fő játszik.
Az első játékos a teljes pakliból kap, ez \(\left(\begin{array}{c} 10 \\ 3 \end{array} \right)\)-féleképpen lehet, hiszen a kiosztás sorrendje nem számít.
A második játékos már csak \(7\) lapból kaphat (hiszen 3 lapot már kiosztottunk), ez \(\left(\begin{array}{c} 7 \\ 3 \end{array} \right)\)-féleképpen lehetséges.
És így tovább, a lehetőségeket pedig össze kell szorozni (hiszen és kötőszóval kapcsoljuk össze a lépéseket):
\(\left(\begin{array}{c} 10 \\ 3 \end{array} \right)\cdot\left(\begin{array}{c} 7 \\ 3 \end{array} \right)\cdot\left(\begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array} \right) = 16800\)
Egy kártyapakliban összesen 11 kártya van. Kezdeti kiosztáskor mindenki 5 lapot kap, a maradék 1 lap talonba kerül.
Hányféle kezdeti kiosztás lehetséges?
Összesen \(11 - 1 = 10\) kártyát osztanak ki úgy, hogy mindenki 5 kártyát kap, azaz \(\frac{10}{5} = 2\) fő játszik.
Az első játékos a teljes pakliból kap, ez \(\left(\begin{array}{c} 11 \\ 5 \end{array} \right)\)-féleképpen lehet, hiszen a kiosztás sorrendje nem számít.
A második játékos már csak \(6\) lapból kaphat (hiszen 5 lapot már kiosztottunk), ez \(\left(\begin{array}{c} 6 \\ 5 \end{array} \right)\)-féleképpen lehetséges.
És így tovább, a lehetőségeket pedig össze kell szorozni (hiszen és kötőszóval kapcsoljuk össze a lépéseket):
\(\left(\begin{array}{c} 11 \\ 5 \end{array} \right)\cdot\left(\begin{array}{c} 6 \\ 5 \end{array} \right) = 2772\)
Egy kártyapakliban összesen 13 kártya van. Kezdeti kiosztáskor mindenki 6 lapot kap, a maradék 1 lap talonba kerül.
Hányféle kezdeti kiosztás lehetséges?
Összesen \(13 - 1 = 12\) kártyát osztanak ki úgy, hogy mindenki 6 kártyát kap, azaz \(\frac{12}{6} = 2\) fő játszik.
Az első játékos a teljes pakliból kap, ez \(\left(\begin{array}{c} 13 \\ 6 \end{array} \right)\)-féleképpen lehet, hiszen a kiosztás sorrendje nem számít.
A második játékos már csak \(7\) lapból kaphat (hiszen 6 lapot már kiosztottunk), ez \(\left(\begin{array}{c} 7 \\ 6 \end{array} \right)\)-féleképpen lehetséges.
És így tovább, a lehetőségeket pedig össze kell szorozni (hiszen és kötőszóval kapcsoljuk össze a lépéseket):
\(\left(\begin{array}{c} 13 \\ 6 \end{array} \right)\cdot\left(\begin{array}{c} 7 \\ 6 \end{array} \right) = 12012\)
Egy kártyapakliban összesen 17 kártya van. Kezdeti kiosztáskor mindenki 5 lapot kap, a maradék 2 lap talonba kerül.
Hányféle kezdeti kiosztás lehetséges?
Összesen \(17 - 2 = 15\) kártyát osztanak ki úgy, hogy mindenki 5 kártyát kap, azaz \(\frac{15}{5} = 3\) fő játszik.
Az első játékos a teljes pakliból kap, ez \(\left(\begin{array}{c} 17 \\ 5 \end{array} \right)\)-féleképpen lehet, hiszen a kiosztás sorrendje nem számít.
A második játékos már csak \(12\) lapból kaphat (hiszen 5 lapot már kiosztottunk), ez \(\left(\begin{array}{c} 12 \\ 5 \end{array} \right)\)-féleképpen lehetséges.
És így tovább, a lehetőségeket pedig össze kell szorozni (hiszen és kötőszóval kapcsoljuk össze a lépéseket):
\(\left(\begin{array}{c} 17 \\ 5 \end{array} \right)\cdot\left(\begin{array}{c} 12 \\ 5 \end{array} \right)\cdot\left(\begin{array}{c} 7 \\ 5 \end{array} \right) = 102918816\)
Sorozatok
Egy tartalomgyártó úgy dönt, hogy egy nagyobb projekt keretében 3 hónapon át minden héten elkészít egy videót, amelyek hossza fokozatosan növekszik. Az első videó 2 perc, minden következő videó pedig 9 másodperccel hosszabb, mint az előző.
Mivel a projekt 12 hétig tart, a készítő szeretné tudni, hány percnyi videót gyárt összesen ez alatt a 12 hét alatt, hogy ezt feltüntethesse a közönségének szóló összefoglalóban.
A videók hossza egy számtani sorozatot alkot, amelynek első tagja \(a_1 = 2\) (perc), a differenciája pedig \(d = \frac{9}{60} = 0.15\) (perc).
A feladat az összes 12 videó összhosszát kérdezi, azaz a kérdés most az \(S_n\).
A képlet szerint: \(S_{12} = 12\cdot \frac{2\cdot 2 + (12 - 1)\cdot 0.15}{2}\)
Kiszámolva: 33.9 perc.
Megjegyzés: természetesen fel lehet írni az összes tagot egyesével és azokat összeadni:
\(2 + 2.15 + 2.3 + 2.45 + 2.6 + 2.75 + 2.9 + 3.05 + 3.2 + 3.35 + 3.5 + 3.65 = 33.9\).
Egy tartalomgyártó úgy dönt, hogy egy nagyobb projekt keretében 4 hónapon át minden héten elkészít egy videót, amelyek hossza fokozatosan növekszik. Az első videó 2 perc, minden következő videó pedig 21 másodperccel hosszabb, mint az előző.
Mivel a projekt 16 hétig tart, a készítő szeretné tudni, hány percnyi videót gyárt összesen ez alatt a 16 hét alatt, hogy ezt feltüntethesse a közönségének szóló összefoglalóban.
A videók hossza egy számtani sorozatot alkot, amelynek első tagja \(a_1 = 2\) (perc), a differenciája pedig \(d = \frac{21}{60} = 0.35\) (perc).
A feladat az összes 16 videó összhosszát kérdezi, azaz a kérdés most az \(S_n\).
A képlet szerint: \(S_{16} = 16\cdot \frac{2\cdot 2 + (16 - 1)\cdot 0.35}{2}\)
Kiszámolva: 74 perc.
Megjegyzés: természetesen fel lehet írni az összes tagot egyesével és azokat összeadni:
\(2 + 2.35 + 2.7 + 3.05 + 3.4 + 3.75 + 4.1 + 4.45 + 4.8 + 5.15 + 5.5 + 5.85 + 6.2 + 6.55 + 6.9 + 7.25 = 74\).
Egy tartalomgyártó úgy dönt, hogy egy nagyobb projekt keretében 5 hónapon át minden héten elkészít egy videót, amelyek hossza fokozatosan növekszik. Az első videó 7 perc, minden következő videó pedig 27 másodperccel hosszabb, mint az előző.
Mivel a projekt 20 hétig tart, a készítő szeretné tudni, hány percnyi videót gyárt összesen ez alatt a 20 hét alatt, hogy ezt feltüntethesse a közönségének szóló összefoglalóban.
A videók hossza egy számtani sorozatot alkot, amelynek első tagja \(a_1 = 7\) (perc), a differenciája pedig \(d = \frac{27}{60} = 0.45\) (perc).
A feladat az összes 20 videó összhosszát kérdezi, azaz a kérdés most az \(S_n\).
A képlet szerint: \(S_{20} = 20\cdot \frac{2\cdot 7 + (20 - 1)\cdot 0.45}{2}\)
Kiszámolva: 225.5 perc.
Megjegyzés: természetesen fel lehet írni az összes tagot egyesével és azokat összeadni:
\(7 + 7.45 + 7.9 + 8.35 + 8.8 + 9.25 + 9.7 + 10.15 + 10.6 + 11.05 + 11.5 + 11.95 + 12.4 + 12.85 + 13.3 + 13.75 + 14.2 + 14.65 + 15.1 + 15.55 = 225.5\).
Egy tartalomgyártó úgy dönt, hogy egy nagyobb projekt keretében 6 hónapon át minden héten elkészít egy videót, amelyek hossza fokozatosan növekszik. Az első videó 8 perc, minden következő videó pedig 36 másodperccel hosszabb, mint az előző.
Mivel a projekt 24 hétig tart, a készítő szeretné tudni, hány percnyi videót gyárt összesen ez alatt a 24 hét alatt, hogy ezt feltüntethesse a közönségének szóló összefoglalóban.
A videók hossza egy számtani sorozatot alkot, amelynek első tagja \(a_1 = 8\) (perc), a differenciája pedig \(d = \frac{36}{60} = 0.6\) (perc).
A feladat az összes 24 videó összhosszát kérdezi, azaz a kérdés most az \(S_n\).
A képlet szerint: \(S_{24} = 24\cdot \frac{2\cdot 8 + (24 - 1)\cdot 0.6}{2}\)
Kiszámolva: 357.6 perc.
Megjegyzés: természetesen fel lehet írni az összes tagot egyesével és azokat összeadni:
\(8 + 8.6 + 9.2 + 9.8 + 10.4 + 11 + 11.6 + 12.2 + 12.8 + 13.4 + 14 + 14.6 + 15.2 + 15.8 + 16.4 + 17 + 17.6 + 18.2 + 18.8 + 19.4 + 20 + 20.6 + 21.2 + 21.8 = 357.6\).
Egy tartalomgyártó úgy dönt, hogy egy nagyobb projekt keretében 2 hónapon át minden héten elkészít egy videót, amelyek hossza fokozatosan növekszik. Az első videó 8 perc, minden következő videó pedig 12 másodperccel hosszabb, mint az előző.
Mivel a projekt 8 hétig tart, a készítő szeretné tudni, hány percnyi videót gyárt összesen ez alatt a 8 hét alatt, hogy ezt feltüntethesse a közönségének szóló összefoglalóban.
A videók hossza egy számtani sorozatot alkot, amelynek első tagja \(a_1 = 8\) (perc), a differenciája pedig \(d = \frac{12}{60} = 0.2\) (perc).
A feladat az összes 8 videó összhosszát kérdezi, azaz a kérdés most az \(S_n\).
A képlet szerint: \(S_{8} = 8\cdot \frac{2\cdot 8 + (8 - 1)\cdot 0.2}{2}\)
Kiszámolva: 69.6 perc.
Megjegyzés: természetesen fel lehet írni az összes tagot egyesével és azokat összeadni:
\(8 + 8.2 + 8.4 + 8.6 + 8.8 + 9 + 9.2 + 9.4 = 69.6\).
Térgeometria
A holdkutató robot hátán egy különleges üzemanyagtartály van. A tartály teste henger alakú, sugara 27 cm, magassága 55 cm, tetejét pedig egy kúp alakú zárófedél fedi, amelynek magassága 12 cm.
A mérnökök tudni szeretnék, hogy
mennyi üzemanyag fér a tartályba, köbcentiméter mértékegységben:
és mekkora felületet kell hőálló bevonattal ellátni négyzetcentiméter mértékegységben (a henger alját nem kell számítani):
A mérnököknek elegendő egy tizedes jegyre kerekített érték!
A test két egyszerű testből áll össze: egy hengerből és egy kúpból.
A henger adatai: \(r = 27\), \(m_h = 55\).
A kúp adatai: \(r = 27\), \(m_k = 12\).
Térfogat
A henger térfogata: \(V_h = r^2\pi m_h = 27^2\cdot\pi\cdot 55\approx 125962.16\)
A kúp térfogata: \(V_k = \frac{r^2\pi m_k}{3} = \frac{27^2\pi 12}{3}\approx 9160.88\)
A keresett térfogat a két térfogat összege: \(V = V_h + V_k = 125962.16 + 9160.88 \approx 135123\)
Felszín
A kúp és a henger felszínéből is csak a palástok felszíne kell, az alapkör területe nem!
Henger palástja: \(A_h = 2r\pi m = 2\cdot 27\pi\cdot 55\approx 9330.53\)
A kúp palástjához először ki kell számolni a kúp alkotóját. A kúp magasságával és az alkotójával együtt derékszögű háromszöget alkotnak, azaz:
\(m^2 + r^2 = a^2\), vagyis \(12^2 + 27^2 = a^2\), ebből \(a\approx 29.547\).
A kúp palástja: \(A_k = r\pi a = 27\pi \cdot 29.547 \approx 2506.27\).
A két terület együtt: \(A = A_h + A_k = 9330.53 + 2506.27\approx 11836.8\).
A holdkutató robot hátán egy különleges üzemanyagtartály van. A tartály teste henger alakú, sugara 34 cm, magassága 77 cm, tetejét pedig egy kúp alakú zárófedél fedi, amelynek magassága 10 cm.
A mérnökök tudni szeretnék, hogy
mennyi üzemanyag fér a tartályba, köbcentiméter mértékegységben:
és mekkora felületet kell hőálló bevonattal ellátni négyzetcentiméter mértékegységben (a henger alját nem kell számítani):
A mérnököknek elegendő egy tizedes jegyre kerekített érték!
A test két egyszerű testből áll össze: egy hengerből és egy kúpból.
A henger adatai: \(r = 34\), \(m_h = 77\).
A kúp adatai: \(r = 34\), \(m_k = 10\).
Térfogat
A henger térfogata: \(V_h = r^2\pi m_h = 34^2\cdot\pi\cdot 77\approx 279639.45\)
A kúp térfogata: \(V_k = \frac{r^2\pi m_k}{3} = \frac{34^2\pi 10}{3}\approx 12105.6\)
A keresett térfogat a két térfogat összege: \(V = V_h + V_k = 279639.45 + 12105.6 \approx 291745.1\)
Felszín
A kúp és a henger felszínéből is csak a palástok felszíne kell, az alapkör területe nem!
Henger palástja: \(A_h = 2r\pi m = 2\cdot 34\pi\cdot 77\approx 16449.38\)
A kúp palástjához először ki kell számolni a kúp alkotóját. A kúp magasságával és az alkotójával együtt derékszögű háromszöget alkotnak, azaz:
\(m^2 + r^2 = a^2\), vagyis \(10^2 + 34^2 = a^2\), ebből \(a\approx 35.44\).
A kúp palástja: \(A_k = r\pi a = 34\pi \cdot 35.44 \approx 3785.49\).
A két terület együtt: \(A = A_h + A_k = 16449.38 + 3785.49\approx 20234.9\).
A holdkutató robot hátán egy különleges üzemanyagtartály van. A tartály teste henger alakú, sugara 19 cm, magassága 57 cm, tetejét pedig egy kúp alakú zárófedél fedi, amelynek magassága 6 cm.
A mérnökök tudni szeretnék, hogy
mennyi üzemanyag fér a tartályba, köbcentiméter mértékegységben:
és mekkora felületet kell hőálló bevonattal ellátni négyzetcentiméter mértékegységben (a henger alját nem kell számítani):
A mérnököknek elegendő egy tizedes jegyre kerekített érték!
A test két egyszerű testből áll össze: egy hengerből és egy kúpból.
A henger adatai: \(r = 19\), \(m_h = 57\).
A kúp adatai: \(r = 19\), \(m_k = 6\).
Térfogat
A henger térfogata: \(V_h = r^2\pi m_h = 19^2\cdot\pi\cdot 57\approx 64644.55\)
A kúp térfogata: \(V_k = \frac{r^2\pi m_k}{3} = \frac{19^2\pi 6}{3}\approx 2268.23\)
A keresett térfogat a két térfogat összege: \(V = V_h + V_k = 64644.55 + 2268.23 \approx 66912.8\)
Felszín
A kúp és a henger felszínéből is csak a palástok felszíne kell, az alapkör területe nem!
Henger palástja: \(A_h = 2r\pi m = 2\cdot 19\pi\cdot 57\approx 6804.69\)
A kúp palástjához először ki kell számolni a kúp alkotóját. A kúp magasságával és az alkotójával együtt derékszögű háromszöget alkotnak, azaz:
\(m^2 + r^2 = a^2\), vagyis \(6^2 + 19^2 = a^2\), ebből \(a\approx 19.925\).
A kúp palástja: \(A_k = r\pi a = 19\pi \cdot 19.925 \approx 1189.33\).
A két terület együtt: \(A = A_h + A_k = 6804.69 + 1189.33\approx 7994\).
A holdkutató robot hátán egy különleges üzemanyagtartály van. A tartály teste henger alakú, sugara 32 cm, magassága 83 cm, tetejét pedig egy kúp alakú zárófedél fedi, amelynek magassága 10 cm.
A mérnökök tudni szeretnék, hogy
mennyi üzemanyag fér a tartályba, köbcentiméter mértékegységben:
és mekkora felületet kell hőálló bevonattal ellátni négyzetcentiméter mértékegységben (a henger alját nem kell számítani):
A mérnököknek elegendő egy tizedes jegyre kerekített érték!
A test két egyszerű testből áll össze: egy hengerből és egy kúpból.
A henger adatai: \(r = 32\), \(m_h = 83\).
A kúp adatai: \(r = 32\), \(m_k = 10\).
Térfogat
A henger térfogata: \(V_h = r^2\pi m_h = 32^2\cdot\pi\cdot 83\approx 267010.24\)
A kúp térfogata: \(V_k = \frac{r^2\pi m_k}{3} = \frac{32^2\pi 10}{3}\approx 10723.3\)
A keresett térfogat a két térfogat összege: \(V = V_h + V_k = 267010.24 + 10723.3 \approx 277733.5\)
Felszín
A kúp és a henger felszínéből is csak a palástok felszíne kell, az alapkör területe nem!
Henger palástja: \(A_h = 2r\pi m = 2\cdot 32\pi\cdot 83\approx 16688.14\)
A kúp palástjához először ki kell számolni a kúp alkotóját. A kúp magasságával és az alkotójával együtt derékszögű háromszöget alkotnak, azaz:
\(m^2 + r^2 = a^2\), vagyis \(10^2 + 32^2 = a^2\), ebből \(a\approx 33.526\).
A kúp palástja: \(A_k = r\pi a = 32\pi \cdot 33.526 \approx 3370.4\).
A két terület együtt: \(A = A_h + A_k = 16688.14 + 3370.4\approx 20058.5\).
A holdkutató robot hátán egy különleges üzemanyagtartály van. A tartály teste henger alakú, sugara 39 cm, magassága 105 cm, tetejét pedig egy kúp alakú zárófedél fedi, amelynek magassága 11 cm.
A mérnökök tudni szeretnék, hogy
mennyi üzemanyag fér a tartályba, köbcentiméter mértékegységben:
és mekkora felületet kell hőálló bevonattal ellátni négyzetcentiméter mértékegységben (a henger alját nem kell számítani):
A mérnököknek elegendő egy tizedes jegyre kerekített érték!
A test két egyszerű testből áll össze: egy hengerből és egy kúpból.
A henger adatai: \(r = 39\), \(m_h = 105\).
A kúp adatai: \(r = 39\), \(m_k = 11\).
Térfogat
A henger térfogata: \(V_h = r^2\pi m_h = 39^2\cdot\pi\cdot 105\approx 501728.05\)
A kúp térfogata: \(V_k = \frac{r^2\pi m_k}{3} = \frac{39^2\pi 11}{3}\approx 17520.66\)
A keresett térfogat a két térfogat összege: \(V = V_h + V_k = 501728.05 + 17520.66 \approx 519248.7\)
Felszín
A kúp és a henger felszínéből is csak a palástok felszíne kell, az alapkör területe nem!
Henger palástja: \(A_h = 2r\pi m = 2\cdot 39\pi\cdot 105\approx 25729.64\)
A kúp palástjához először ki kell számolni a kúp alkotóját. A kúp magasságával és az alkotójával együtt derékszögű háromszöget alkotnak, azaz:
\(m^2 + r^2 = a^2\), vagyis \(11^2 + 39^2 = a^2\), ebből \(a\approx 40.522\).
A kúp palástja: \(A_k = r\pi a = 39\pi \cdot 40.522 \approx 4964.84\).
A két terület együtt: \(A = A_h + A_k = 25729.64 + 4964.84\approx 30694.5\).