Kihívás - első alkalom
Szöveges feladat
Egy raktárban 297 tonna áruval kevesebb van, mint egy másik raktárban lévő áru mennyiségének négyszerese.
Ha az egyik raktárból 90 tonna árut elvisznek, a másikba pedig 174 tonna árut visznek, a két raktárban ugyanannyi áru lesz.
Hány tonna áru volt eredetileg az egyes raktárakban?
| egyik raktárban | |
| másik raktárban |
A második raktárban levő áru mennyiségét jelöljük \(x\)-szel (tonna egységben). Azért a második raktárban levőét, mert ahhoz viszonyítja a feladat az első raktárban levő mennyiséget (ld. "mint egy másik raktárban").
Ekkor az első raktárban levő áru mennyisége \(4x-297\) tonna.
A szállítások után az egyik raktárban \(4x-297 - 90\), a másikban \(x + 174\) tonna áru lesz.
Az előbbi pontban a két kifejezés egyenlősége adja az egyenletet ("ugyanannyi áru lesz"): \(4x-297 - 90 = x + 174\)
Az egyenlet megoldása: \(x = 187\). Ez a második raktárban eredetileg tárolt áru mennyisége.
Az első raktárban levő eredeti mennyiséget pedig az először felírt \(4x-297\) képletbe helyettesítés után kapjuk meg: \(4\cdot 187 -297 = 451\).
Egy raktárban 189 darab áruval több van, mint egy másik raktárban lévő áru mennyiségének kétszerese.
Ha az egyik raktárból 92 darab árut elvisznek, a másikba pedig 227 darab árut visznek, a két raktárban ugyanannyi áru lesz.
Hány darab áru volt eredetileg az egyes raktárakban?
| egyik raktárban | |
| másik raktárban |
A második raktárban levő áru mennyiségét jelöljük \(x\)-szel (darab egységben). Azért a második raktárban levőét, mert ahhoz viszonyítja a feladat az első raktárban levő mennyiséget (ld. "mint egy másik raktárban").
Ekkor az első raktárban levő áru mennyisége \(2x+189\) darab.
A szállítások után az egyik raktárban \(2x+189 - 92\), a másikban \(x + 227\) darab áru lesz.
Az előbbi pontban a két kifejezés egyenlősége adja az egyenletet ("ugyanannyi áru lesz"): \(2x+189 - 92 = x + 227\)
Az egyenlet megoldása: \(x = 130\). Ez a második raktárban eredetileg tárolt áru mennyisége.
Az első raktárban levő eredeti mennyiséget pedig az először felírt \(2x+189\) képletbe helyettesítés után kapjuk meg: \(2\cdot 130 +189 = 449\).
Egy raktárban 115 tonna áruval több van, mint egy másik raktárban lévő áru mennyiségének kétszerese.
Ha az egyik raktárból 100 tonna árut elvisznek, a másikba pedig 153 tonna árut visznek, a két raktárban ugyanannyi áru lesz.
Hány tonna áru volt eredetileg az egyes raktárakban?
| egyik raktárban | |
| másik raktárban |
A második raktárban levő áru mennyiségét jelöljük \(x\)-szel (tonna egységben). Azért a második raktárban levőét, mert ahhoz viszonyítja a feladat az első raktárban levő mennyiséget (ld. "mint egy másik raktárban").
Ekkor az első raktárban levő áru mennyisége \(2x+115\) tonna.
A szállítások után az egyik raktárban \(2x+115 - 100\), a másikban \(x + 153\) tonna áru lesz.
Az előbbi pontban a két kifejezés egyenlősége adja az egyenletet ("ugyanannyi áru lesz"): \(2x+115 - 100 = x + 153\)
Az egyenlet megoldása: \(x = 138\). Ez a második raktárban eredetileg tárolt áru mennyisége.
Az első raktárban levő eredeti mennyiséget pedig az először felírt \(2x+115\) képletbe helyettesítés után kapjuk meg: \(2\cdot 138 +115 = 391\).
Egy raktárban 107 darab áruval több van, mint egy másik raktárban lévő áru mennyiségének négyszerese.
Ha az egyik raktárból 78 darab árut elvisznek, a másikba pedig 242 darab árut visznek, a két raktárban ugyanannyi áru lesz.
Hány darab áru volt eredetileg az egyes raktárakban?
| egyik raktárban | |
| másik raktárban |
A második raktárban levő áru mennyiségét jelöljük \(x\)-szel (darab egységben). Azért a második raktárban levőét, mert ahhoz viszonyítja a feladat az első raktárban levő mennyiséget (ld. "mint egy másik raktárban").
Ekkor az első raktárban levő áru mennyisége \(4x+107\) darab.
A szállítások után az egyik raktárban \(4x+107 - 78\), a másikban \(x + 242\) darab áru lesz.
Az előbbi pontban a két kifejezés egyenlősége adja az egyenletet ("ugyanannyi áru lesz"): \(4x+107 - 78 = x + 242\)
Az egyenlet megoldása: \(x = 71\). Ez a második raktárban eredetileg tárolt áru mennyisége.
Az első raktárban levő eredeti mennyiséget pedig az először felírt \(4x+107\) képletbe helyettesítés után kapjuk meg: \(4\cdot 71 +107 = 391\).
Egy raktárban 425 darab áruval kevesebb van, mint egy másik raktárban lévő áru mennyiségének négyszerese.
Ha az egyik raktárból 28 darab árut elvisznek, a másikba pedig 195 darab árut visznek, a két raktárban ugyanannyi áru lesz.
Hány darab áru volt eredetileg az egyes raktárakban?
| egyik raktárban | |
| másik raktárban |
A második raktárban levő áru mennyiségét jelöljük \(x\)-szel (darab egységben). Azért a második raktárban levőét, mert ahhoz viszonyítja a feladat az első raktárban levő mennyiséget (ld. "mint egy másik raktárban").
Ekkor az első raktárban levő áru mennyisége \(4x-425\) darab.
A szállítások után az egyik raktárban \(4x-425 - 28\), a másikban \(x + 195\) darab áru lesz.
Az előbbi pontban a két kifejezés egyenlősége adja az egyenletet ("ugyanannyi áru lesz"): \(4x-425 - 28 = x + 195\)
Az egyenlet megoldása: \(x = 216\). Ez a második raktárban eredetileg tárolt áru mennyisége.
Az első raktárban levő eredeti mennyiséget pedig az először felírt \(4x-425\) képletbe helyettesítés után kapjuk meg: \(4\cdot 216 -425 = 439\).
Háromszögek
Egy háromszög egy belső szöge \(90^\circ\), egy másik szög külső szöge \(168^\circ\).
Hány fokos a harmadik szöge?
Első megoldás
A külső szög mellett fekvő belső szög a külső szög kiegészítő szöge (180 fokra egészítik ki egymást), azaz \(180^\circ - 168^\circ = 12^\circ\).
Ezután a két ismert belső szög (a megadott \(90^\circ\) és a most kiszámolt \(12^\circ\)) összegét kivonjuk a 180 fokból.
Másik megoldás
Egy háromszög külső szöge megegyezik a nem mellette fekvő két belső szög összegével.
Azaz a megadott külső szög egyenlő a megadott belső és a hiányzó belső szög összegével, tehát a külső szögből kivonjuk a megadott belső szöget: \(168^\circ - 90^\circ\).
Egy háromszög egy belső szöge \(53^\circ\), egy másik szög külső szöge \(160^\circ\).
Hány fokos a harmadik szöge?
Első megoldás
A külső szög mellett fekvő belső szög a külső szög kiegészítő szöge (180 fokra egészítik ki egymást), azaz \(180^\circ - 160^\circ = 20^\circ\).
Ezután a két ismert belső szög (a megadott \(53^\circ\) és a most kiszámolt \(20^\circ\)) összegét kivonjuk a 180 fokból.
Másik megoldás
Egy háromszög külső szöge megegyezik a nem mellette fekvő két belső szög összegével.
Azaz a megadott külső szög egyenlő a megadott belső és a hiányzó belső szög összegével, tehát a külső szögből kivonjuk a megadott belső szöget: \(160^\circ - 53^\circ\).
Egy háromszög egy belső szöge \(53^\circ\), egy másik szög külső szöge \(133^\circ\).
Hány fokos a harmadik szöge?
Első megoldás
A külső szög mellett fekvő belső szög a külső szög kiegészítő szöge (180 fokra egészítik ki egymást), azaz \(180^\circ - 133^\circ = 47^\circ\).
Ezután a két ismert belső szög (a megadott \(53^\circ\) és a most kiszámolt \(47^\circ\)) összegét kivonjuk a 180 fokból.
Másik megoldás
Egy háromszög külső szöge megegyezik a nem mellette fekvő két belső szög összegével.
Azaz a megadott külső szög egyenlő a megadott belső és a hiányzó belső szög összegével, tehát a külső szögből kivonjuk a megadott belső szöget: \(133^\circ - 53^\circ\).
Egy háromszög egy belső szöge \(157^\circ\), egy másik szög külső szöge \(176^\circ\).
Hány fokos a harmadik szöge?
Első megoldás
A külső szög mellett fekvő belső szög a külső szög kiegészítő szöge (180 fokra egészítik ki egymást), azaz \(180^\circ - 176^\circ = 4^\circ\).
Ezután a két ismert belső szög (a megadott \(157^\circ\) és a most kiszámolt \(4^\circ\)) összegét kivonjuk a 180 fokból.
Másik megoldás
Egy háromszög külső szöge megegyezik a nem mellette fekvő két belső szög összegével.
Azaz a megadott külső szög egyenlő a megadott belső és a hiányzó belső szög összegével, tehát a külső szögből kivonjuk a megadott belső szöget: \(176^\circ - 157^\circ\).
Egy háromszög egy belső szöge \(23^\circ\), egy másik szög külső szöge \(36^\circ\).
Hány fokos a harmadik szöge?
Első megoldás
A külső szög mellett fekvő belső szög a külső szög kiegészítő szöge (180 fokra egészítik ki egymást), azaz \(180^\circ - 36^\circ = 144^\circ\).
Ezután a két ismert belső szög (a megadott \(23^\circ\) és a most kiszámolt \(144^\circ\)) összegét kivonjuk a 180 fokból.
Másik megoldás
Egy háromszög külső szöge megegyezik a nem mellette fekvő két belső szög összegével.
Azaz a megadott külső szög egyenlő a megadott belső és a hiányzó belső szög összegével, tehát a külső szögből kivonjuk a megadott belső szöget: \(36^\circ - 23^\circ\).
Logika
Melyik állítás az alábbi állítás tagadása?
Albert pólója zöld.
A tagadás egy olyan állítás, amely pontosan akkor igaz, ha az eredeti állítás hamis. És persze akkor hamis, amikor az eredeti állítás igaz. Minden konkrét esetre érvényes!
Azaz ha egy tárgy zöld színű, annak nem tagadása az, hogy az a tárgy pl. fehér, mivel ha épp piros, akkor az eredeti állítás (zöld) is hamis és az is hamis, hogy fehér.
Ha egy tárgy zöld, annak nem tagadása, hogy egy másik tárgy is zöld (vagy épp nem zöld), mivel a két tárgy színe független egymástól.
Összegezve: egy ilyen egyszerű állítás tagadása az, hogy a jelző (jelen esetben a szín) elé egy "nem"-szócskát teszünk.
Melyik állítás az alábbi állítás tagadása?
Daniella pólója piros.
A tagadás egy olyan állítás, amely pontosan akkor igaz, ha az eredeti állítás hamis. És persze akkor hamis, amikor az eredeti állítás igaz. Minden konkrét esetre érvényes!
Azaz ha egy tárgy piros színű, annak nem tagadása az, hogy az a tárgy pl. kék, mivel ha épp fekete, akkor az eredeti állítás (piros) is hamis és az is hamis, hogy kék.
Ha egy tárgy piros, annak nem tagadása, hogy egy másik tárgy is piros (vagy épp nem piros), mivel a két tárgy színe független egymástól.
Összegezve: egy ilyen egyszerű állítás tagadása az, hogy a jelző (jelen esetben a szín) elé egy "nem"-szócskát teszünk.
Melyik állítás az alábbi állítás tagadása?
Albert inge piros.
A tagadás egy olyan állítás, amely pontosan akkor igaz, ha az eredeti állítás hamis. És persze akkor hamis, amikor az eredeti állítás igaz. Minden konkrét esetre érvényes!
Azaz ha egy tárgy piros színű, annak nem tagadása az, hogy az a tárgy pl. zöld, mivel ha épp fekete, akkor az eredeti állítás (piros) is hamis és az is hamis, hogy zöld.
Ha egy tárgy piros, annak nem tagadása, hogy egy másik tárgy is piros (vagy épp nem piros), mivel a két tárgy színe független egymástól.
Összegezve: egy ilyen egyszerű állítás tagadása az, hogy a jelző (jelen esetben a szín) elé egy "nem"-szócskát teszünk.
Melyik állítás az alábbi állítás tagadása?
Fatime pólója fekete.
A tagadás egy olyan állítás, amely pontosan akkor igaz, ha az eredeti állítás hamis. És persze akkor hamis, amikor az eredeti állítás igaz. Minden konkrét esetre érvényes!
Azaz ha egy tárgy fekete színű, annak nem tagadása az, hogy az a tárgy pl. kék, mivel ha épp piros, akkor az eredeti állítás (fekete) is hamis és az is hamis, hogy kék.
Ha egy tárgy fekete, annak nem tagadása, hogy egy másik tárgy is fekete (vagy épp nem fekete), mivel a két tárgy színe független egymástól.
Összegezve: egy ilyen egyszerű állítás tagadása az, hogy a jelző (jelen esetben a szín) elé egy "nem"-szócskát teszünk.
Melyik állítás az alábbi állítás tagadása?
Bertold táskája piros.
A tagadás egy olyan állítás, amely pontosan akkor igaz, ha az eredeti állítás hamis. És persze akkor hamis, amikor az eredeti állítás igaz. Minden konkrét esetre érvényes!
Azaz ha egy tárgy piros színű, annak nem tagadása az, hogy az a tárgy pl. fehér, mivel ha épp fekete, akkor az eredeti állítás (piros) is hamis és az is hamis, hogy fehér.
Ha egy tárgy piros, annak nem tagadása, hogy egy másik tárgy is piros (vagy épp nem piros), mivel a két tárgy színe független egymástól.
Összegezve: egy ilyen egyszerű állítás tagadása az, hogy a jelző (jelen esetben a szín) elé egy "nem"-szócskát teszünk.
Másodfokú egyenlet
Határozd meg az alábbi egyenlet gyökeit (megoldásait)!
\(-6,75x = -x^{2}-8,75\)
| \(x_1=\) | |
| \(x_2=\) |
(Az \(x_1\) legyen a nagyobbik, \(x_2\) a kisebbik megoldás!)
Az egyenletet először nullára kell redukálni:
\(x^{2}-6,75x+8,75 = 0\) (vagy \(0 = -x^{2}+6,75x-8,75\))
Ezután a megoldóképletbe kell behelyettesíteni vagy a számológép megfelelő funkcióját használni.
A megoldások: \(x_1 = 5\) és \(x_2 = 1.75\).
Határozd meg az alábbi egyenlet gyökeit (megoldásait)!
\(-2x^{2}+60,75 = -4,5x\)
| \(x_1=\) | |
| \(x_2=\) |
(Az \(x_1\) legyen a nagyobbik, \(x_2\) a kisebbik megoldás!)
Az egyenletet először nullára kell redukálni:
\(-2x^{2}+4,5x+60,75 = 0\) (vagy \(0 = 2x^{2}-4,5x-60,75\))
Ezután a megoldóképletbe kell behelyettesíteni vagy a számológép megfelelő funkcióját használni.
A megoldások: \(x_1 = 6.75\) és \(x_2 = -4.5\).
Határozd meg az alábbi egyenlet gyökeit (megoldásait)!
\(-7x^{2} = 17,5x-200,8125\)
| \(x_1=\) | |
| \(x_2=\) |
(Az \(x_1\) legyen a nagyobbik, \(x_2\) a kisebbik megoldás!)
Az egyenletet először nullára kell redukálni:
\(-7x^{2}-17,5x+200,8125 = 0\) (vagy \(0 = 7x^{2}+17,5x-200,8125\))
Ezután a megoldóképletbe kell behelyettesíteni vagy a számológép megfelelő funkcióját használni.
A megoldások: \(x_1 = 4.25\) és \(x_2 = -6.75\).
Határozd meg az alábbi egyenlet gyökeit (megoldásait)!
\(-47,5 = -57,5x+10x^{2}\)
| \(x_1=\) | |
| \(x_2=\) |
(Az \(x_1\) legyen a nagyobbik, \(x_2\) a kisebbik megoldás!)
Az egyenletet először nullára kell redukálni:
\(-10x^{2}+57,5x-47,5 = 0\) (vagy \(0 = 10x^{2}-57,5x+47,5\))
Ezután a megoldóképletbe kell behelyettesíteni vagy a számológép megfelelő funkcióját használni.
A megoldások: \(x_1 = 4.75\) és \(x_2 = 1\).
Határozd meg az alábbi egyenlet gyökeit (megoldásait)!
\(-4x^{2}-23x = 15\)
| \(x_1=\) | |
| \(x_2=\) |
(Az \(x_1\) legyen a nagyobbik, \(x_2\) a kisebbik megoldás!)
Az egyenletet először nullára kell redukálni:
\(-4x^{2}-23x-15 = 0\) (vagy \(0 = 4x^{2}+23x+15\))
Ezután a megoldóképletbe kell behelyettesíteni vagy a számológép megfelelő funkcióját használni.
A megoldások: \(x_1 = -0.75\) és \(x_2 = -5\).
Exponenciális
Egy radioaktív anyag bomlását az alábbi exponenciális összefüggés írja le:
\(\displaystyle m(t) = m_0\cdot 2^{-t/T_{1/2}}\),
ahol \(m(t)\) a még megmaradt anyag tömege \(t\) időpontban, \(m_0\) a kezdeti anyag tömege, \(T_{1/2}\) a felezési idő, \(t\) az eltelt idő (órában).
Egy radioaktív izotóp kezdetben 1000 mg volt, és felezési ideje 77 óra. Mennyi anyag marad 1068.5 óra elteltével? Válaszodat milligrammban, 5 tizedes jegyre kerekítve add meg!
Adatok kigyűjtése
A képletben megjelenő jelöléseket használva:
\(m_0 = 1000\) (mg)
\(T_{1/2} = 77\) (óra)
\(t = 1068.5\) (óra)
Behelyettesítés
A megadott képletbe behelyettesítve:
\(m(t) = 1000\cdot 2^{-1068.5 / 77}\),
majd kiszámolva: \(m(t) = 0.06648\).
Figyelj arra, hogy a kitevőt rakd zárójelbe, vagy először azt számold ki külön és az eredmény kerüljön a kettő kitevőjébe!
Egy radioaktív anyag bomlását az alábbi exponenciális összefüggés írja le:
\(\displaystyle m(t) = m_0\cdot 2^{-t/T_{1/2}}\),
ahol \(m(t)\) a még megmaradt anyag tömege \(t\) időpontban, \(m_0\) a kezdeti anyag tömege, \(T_{1/2}\) a felezési idő, \(t\) az eltelt idő (órában).
Egy radioaktív izotóp kezdetben 1700 mg volt, és felezési ideje 66 óra. Mennyi anyag marad 81 óra elteltével? Válaszodat milligrammban, 1 tizedes jegyre kerekítve add meg!
Adatok kigyűjtése
A képletben megjelenő jelöléseket használva:
\(m_0 = 1700\) (mg)
\(T_{1/2} = 66\) (óra)
\(t = 81\) (óra)
Behelyettesítés
A megadott képletbe behelyettesítve:
\(m(t) = 1700\cdot 2^{-81 / 66}\),
majd kiszámolva: \(m(t) = 726.1\).
Figyelj arra, hogy a kitevőt rakd zárójelbe, vagy először azt számold ki külön és az eredmény kerüljön a kettő kitevőjébe!
Egy radioaktív anyag bomlását az alábbi exponenciális összefüggés írja le:
\(\displaystyle m(t) = m_0\cdot 2^{-t/T_{1/2}}\),
ahol \(m(t)\) a még megmaradt anyag tömege \(t\) időpontban, \(m_0\) a kezdeti anyag tömege, \(T_{1/2}\) a felezési idő, \(t\) az eltelt idő (órában).
Egy radioaktív izotóp kezdetben 1500 mg volt, és felezési ideje 35.5 óra. Mennyi anyag marad 338.75 óra elteltével? Válaszodat milligrammban, 3 tizedes jegyre kerekítve add meg!
Adatok kigyűjtése
A képletben megjelenő jelöléseket használva:
\(m_0 = 1500\) (mg)
\(T_{1/2} = 35.5\) (óra)
\(t = 338.75\) (óra)
Behelyettesítés
A megadott képletbe behelyettesítve:
\(m(t) = 1500\cdot 2^{-338.75 / 35.5}\),
majd kiszámolva: \(m(t) = 2.012\).
Figyelj arra, hogy a kitevőt rakd zárójelbe, vagy először azt számold ki külön és az eredmény kerüljön a kettő kitevőjébe!
Egy radioaktív anyag bomlását az alábbi exponenciális összefüggés írja le:
\(\displaystyle m(t) = m_0\cdot 2^{-t/T_{1/2}}\),
ahol \(m(t)\) a még megmaradt anyag tömege \(t\) időpontban, \(m_0\) a kezdeti anyag tömege, \(T_{1/2}\) a felezési idő, \(t\) az eltelt idő (órában).
Egy radioaktív izotóp kezdetben 1200 mg volt, és felezési ideje 108.5 óra. Mennyi anyag marad 757.25 óra elteltével? Válaszodat milligrammban, 3 tizedes jegyre kerekítve add meg!
Adatok kigyűjtése
A képletben megjelenő jelöléseket használva:
\(m_0 = 1200\) (mg)
\(T_{1/2} = 108.5\) (óra)
\(t = 757.25\) (óra)
Behelyettesítés
A megadott képletbe behelyettesítve:
\(m(t) = 1200\cdot 2^{-757.25 / 108.5}\),
majd kiszámolva: \(m(t) = 9.511\).
Figyelj arra, hogy a kitevőt rakd zárójelbe, vagy először azt számold ki külön és az eredmény kerüljön a kettő kitevőjébe!
Egy radioaktív anyag bomlását az alábbi exponenciális összefüggés írja le:
\(\displaystyle m(t) = m_0\cdot 2^{-t/T_{1/2}}\),
ahol \(m(t)\) a még megmaradt anyag tömege \(t\) időpontban, \(m_0\) a kezdeti anyag tömege, \(T_{1/2}\) a felezési idő, \(t\) az eltelt idő (órában).
Egy radioaktív izotóp kezdetben 500 mg volt, és felezési ideje 55.25 óra. Mennyi anyag marad 450.625 óra elteltével? Válaszodat milligrammban, 3 tizedes jegyre kerekítve add meg!
Adatok kigyűjtése
A képletben megjelenő jelöléseket használva:
\(m_0 = 500\) (mg)
\(T_{1/2} = 55.25\) (óra)
\(t = 450.625\) (óra)
Behelyettesítés
A megadott képletbe behelyettesítve:
\(m(t) = 500\cdot 2^{-450.625 / 55.25}\),
majd kiszámolva: \(m(t) = 1.753\).
Figyelj arra, hogy a kitevőt rakd zárójelbe, vagy először azt számold ki külön és az eredmény kerüljön a kettő kitevőjébe!
Kombinatorika
Egy kártyapakliban összesen 19 kártya van. Kezdeti kiosztáskor mindenki 6 lapot kap, a maradék 1 lap talonba kerül.
Hányféle kezdeti kiosztás lehetséges?
Összesen \(19 - 1 = 18\) kártyát osztanak ki úgy, hogy mindenki 6 kártyát kap, azaz \(\frac{18}{6} = 3\) fő játszik.
Az első játékos a teljes pakliból kap, ez \(\left(\begin{array}{c} 19 \\ 6 \end{array} \right)\)-féleképpen lehet, hiszen a kiosztás sorrendje nem számít.
A második játékos már csak \(13\) lapból kaphat (hiszen 6 lapot már kiosztottunk), ez \(\left(\begin{array}{c} 13 \\ 6 \end{array} \right)\)-féleképpen lehetséges.
És így tovább, a lehetőségeket pedig össze kell szorozni (hiszen és kötőszóval kapcsoljuk össze a lépéseket):
\(\left(\begin{array}{c} 19 \\ 6 \end{array} \right)\cdot\left(\begin{array}{c} 13 \\ 6 \end{array} \right)\cdot\left(\begin{array}{c} 7 \\ 6 \end{array} \right) = 325909584\)
Egy kártyapakliban összesen 15 kártya van. Kezdeti kiosztáskor mindenki 3 lapot kap, a maradék 3 lap talonba kerül.
Hányféle kezdeti kiosztás lehetséges?
Összesen \(15 - 3 = 12\) kártyát osztanak ki úgy, hogy mindenki 3 kártyát kap, azaz \(\frac{12}{3} = 4\) fő játszik.
Az első játékos a teljes pakliból kap, ez \(\left(\begin{array}{c} 15 \\ 3 \end{array} \right)\)-féleképpen lehet, hiszen a kiosztás sorrendje nem számít.
A második játékos már csak \(12\) lapból kaphat (hiszen 3 lapot már kiosztottunk), ez \(\left(\begin{array}{c} 12 \\ 3 \end{array} \right)\)-féleképpen lehetséges.
És így tovább, a lehetőségeket pedig össze kell szorozni (hiszen és kötőszóval kapcsoljuk össze a lépéseket):
\(\left(\begin{array}{c} 15 \\ 3 \end{array} \right)\cdot\left(\begin{array}{c} 12 \\ 3 \end{array} \right)\cdot\left(\begin{array}{c} 9 \\ 3 \end{array} \right)\cdot\left(\begin{array}{c} 6 \\ 3 \end{array} \right) = 168168000\)
Egy kártyapakliban összesen 18 kártya van. Kezdeti kiosztáskor mindenki 4 lapot kap, a maradék 2 lap talonba kerül.
Hányféle kezdeti kiosztás lehetséges?
Összesen \(18 - 2 = 16\) kártyát osztanak ki úgy, hogy mindenki 4 kártyát kap, azaz \(\frac{16}{4} = 4\) fő játszik.
Az első játékos a teljes pakliból kap, ez \(\left(\begin{array}{c} 18 \\ 4 \end{array} \right)\)-féleképpen lehet, hiszen a kiosztás sorrendje nem számít.
A második játékos már csak \(14\) lapból kaphat (hiszen 4 lapot már kiosztottunk), ez \(\left(\begin{array}{c} 14 \\ 4 \end{array} \right)\)-féleképpen lehetséges.
És így tovább, a lehetőségeket pedig össze kell szorozni (hiszen és kötőszóval kapcsoljuk össze a lépéseket):
\(\left(\begin{array}{c} 18 \\ 4 \end{array} \right)\cdot\left(\begin{array}{c} 14 \\ 4 \end{array} \right)\cdot\left(\begin{array}{c} 10 \\ 4 \end{array} \right)\cdot\left(\begin{array}{c} 6 \\ 4 \end{array} \right) = 9648639000\)
Egy kártyapakliban összesen 11 kártya van. Kezdeti kiosztáskor mindenki 5 lapot kap, a maradék 1 lap talonba kerül.
Hányféle kezdeti kiosztás lehetséges?
Összesen \(11 - 1 = 10\) kártyát osztanak ki úgy, hogy mindenki 5 kártyát kap, azaz \(\frac{10}{5} = 2\) fő játszik.
Az első játékos a teljes pakliból kap, ez \(\left(\begin{array}{c} 11 \\ 5 \end{array} \right)\)-féleképpen lehet, hiszen a kiosztás sorrendje nem számít.
A második játékos már csak \(6\) lapból kaphat (hiszen 5 lapot már kiosztottunk), ez \(\left(\begin{array}{c} 6 \\ 5 \end{array} \right)\)-féleképpen lehetséges.
És így tovább, a lehetőségeket pedig össze kell szorozni (hiszen és kötőszóval kapcsoljuk össze a lépéseket):
\(\left(\begin{array}{c} 11 \\ 5 \end{array} \right)\cdot\left(\begin{array}{c} 6 \\ 5 \end{array} \right) = 2772\)
Egy kártyapakliban összesen 14 kártya van. Kezdeti kiosztáskor mindenki 3 lapot kap, a maradék 2 lap talonba kerül.
Hányféle kezdeti kiosztás lehetséges?
Összesen \(14 - 2 = 12\) kártyát osztanak ki úgy, hogy mindenki 3 kártyát kap, azaz \(\frac{12}{3} = 4\) fő játszik.
Az első játékos a teljes pakliból kap, ez \(\left(\begin{array}{c} 14 \\ 3 \end{array} \right)\)-féleképpen lehet, hiszen a kiosztás sorrendje nem számít.
A második játékos már csak \(11\) lapból kaphat (hiszen 3 lapot már kiosztottunk), ez \(\left(\begin{array}{c} 11 \\ 3 \end{array} \right)\)-féleképpen lehetséges.
És így tovább, a lehetőségeket pedig össze kell szorozni (hiszen és kötőszóval kapcsoljuk össze a lépéseket):
\(\left(\begin{array}{c} 14 \\ 3 \end{array} \right)\cdot\left(\begin{array}{c} 11 \\ 3 \end{array} \right)\cdot\left(\begin{array}{c} 8 \\ 3 \end{array} \right)\cdot\left(\begin{array}{c} 5 \\ 3 \end{array} \right) = 33633600\)
Sorozatok
Egy tartalomgyártó úgy dönt, hogy egy nagyobb projekt keretében 4 hónapon át minden héten elkészít egy videót, amelyek hossza fokozatosan növekszik. Az első videó 5 perc, minden következő videó pedig 42 másodperccel hosszabb, mint az előző.
Mivel a projekt 16 hétig tart, a készítő szeretné tudni, hány percnyi videót gyárt összesen ez alatt a 16 hét alatt, hogy ezt feltüntethesse a közönségének szóló összefoglalóban.
A videók hossza egy számtani sorozatot alkot, amelynek első tagja \(a_1 = 5\) (perc), a differenciája pedig \(d = \frac{42}{60} = 0.7\) (perc).
A feladat az összes 16 videó összhosszát kérdezi, azaz a kérdés most az \(S_n\).
A képlet szerint: \(S_{16} = 16\cdot \frac{2\cdot 5 + (16 - 1)\cdot 0.7}{2}\)
Kiszámolva: 164 perc.
Megjegyzés: természetesen fel lehet írni az összes tagot egyesével és azokat összeadni:
\(5 + 5.7 + 6.4 + 7.1 + 7.8 + 8.5 + 9.2 + 9.9 + 10.6 + 11.3 + 12 + 12.7 + 13.4 + 14.1 + 14.8 + 15.5 = 164\).
Egy tartalomgyártó úgy dönt, hogy egy nagyobb projekt keretében 3 hónapon át minden héten elkészít egy videót, amelyek hossza fokozatosan növekszik. Az első videó 5 perc, minden következő videó pedig 18 másodperccel hosszabb, mint az előző.
Mivel a projekt 12 hétig tart, a készítő szeretné tudni, hány percnyi videót gyárt összesen ez alatt a 12 hét alatt, hogy ezt feltüntethesse a közönségének szóló összefoglalóban.
A videók hossza egy számtani sorozatot alkot, amelynek első tagja \(a_1 = 5\) (perc), a differenciája pedig \(d = \frac{18}{60} = 0.3\) (perc).
A feladat az összes 12 videó összhosszát kérdezi, azaz a kérdés most az \(S_n\).
A képlet szerint: \(S_{12} = 12\cdot \frac{2\cdot 5 + (12 - 1)\cdot 0.3}{2}\)
Kiszámolva: 79.8 perc.
Megjegyzés: természetesen fel lehet írni az összes tagot egyesével és azokat összeadni:
\(5 + 5.3 + 5.6 + 5.9 + 6.2 + 6.5 + 6.8 + 7.1 + 7.4 + 7.7 + 8 + 8.3 = 79.8\).
Egy tartalomgyártó úgy dönt, hogy egy nagyobb projekt keretében 4 hónapon át minden héten elkészít egy videót, amelyek hossza fokozatosan növekszik. Az első videó 7 perc, minden következő videó pedig 36 másodperccel hosszabb, mint az előző.
Mivel a projekt 16 hétig tart, a készítő szeretné tudni, hány percnyi videót gyárt összesen ez alatt a 16 hét alatt, hogy ezt feltüntethesse a közönségének szóló összefoglalóban.
A videók hossza egy számtani sorozatot alkot, amelynek első tagja \(a_1 = 7\) (perc), a differenciája pedig \(d = \frac{36}{60} = 0.6\) (perc).
A feladat az összes 16 videó összhosszát kérdezi, azaz a kérdés most az \(S_n\).
A képlet szerint: \(S_{16} = 16\cdot \frac{2\cdot 7 + (16 - 1)\cdot 0.6}{2}\)
Kiszámolva: 184 perc.
Megjegyzés: természetesen fel lehet írni az összes tagot egyesével és azokat összeadni:
\(7 + 7.6 + 8.2 + 8.8 + 9.4 + 10 + 10.6 + 11.2 + 11.8 + 12.4 + 13 + 13.6 + 14.2 + 14.8 + 15.4 + 16 = 184\).
Egy tartalomgyártó úgy dönt, hogy egy nagyobb projekt keretében 3 hónapon át minden héten elkészít egy videót, amelyek hossza fokozatosan növekszik. Az első videó 6 perc, minden következő videó pedig 36 másodperccel hosszabb, mint az előző.
Mivel a projekt 12 hétig tart, a készítő szeretné tudni, hány percnyi videót gyárt összesen ez alatt a 12 hét alatt, hogy ezt feltüntethesse a közönségének szóló összefoglalóban.
A videók hossza egy számtani sorozatot alkot, amelynek első tagja \(a_1 = 6\) (perc), a differenciája pedig \(d = \frac{36}{60} = 0.6\) (perc).
A feladat az összes 12 videó összhosszát kérdezi, azaz a kérdés most az \(S_n\).
A képlet szerint: \(S_{12} = 12\cdot \frac{2\cdot 6 + (12 - 1)\cdot 0.6}{2}\)
Kiszámolva: 111.6 perc.
Megjegyzés: természetesen fel lehet írni az összes tagot egyesével és azokat összeadni:
\(6 + 6.6 + 7.2 + 7.8 + 8.4 + 9 + 9.6 + 10.2 + 10.8 + 11.4 + 12 + 12.6 = 111.6\).
Egy tartalomgyártó úgy dönt, hogy egy nagyobb projekt keretében 3 hónapon át minden héten elkészít egy videót, amelyek hossza fokozatosan növekszik. Az első videó 3 perc, minden következő videó pedig 18 másodperccel hosszabb, mint az előző.
Mivel a projekt 12 hétig tart, a készítő szeretné tudni, hány percnyi videót gyárt összesen ez alatt a 12 hét alatt, hogy ezt feltüntethesse a közönségének szóló összefoglalóban.
A videók hossza egy számtani sorozatot alkot, amelynek első tagja \(a_1 = 3\) (perc), a differenciája pedig \(d = \frac{18}{60} = 0.3\) (perc).
A feladat az összes 12 videó összhosszát kérdezi, azaz a kérdés most az \(S_n\).
A képlet szerint: \(S_{12} = 12\cdot \frac{2\cdot 3 + (12 - 1)\cdot 0.3}{2}\)
Kiszámolva: 55.8 perc.
Megjegyzés: természetesen fel lehet írni az összes tagot egyesével és azokat összeadni:
\(3 + 3.3 + 3.6 + 3.9 + 4.2 + 4.5 + 4.8 + 5.1 + 5.4 + 5.7 + 6 + 6.3 = 55.8\).
Térgeometria
A holdkutató robot hátán egy különleges üzemanyagtartály van. A tartály teste henger alakú, sugara 39 cm, magassága 90 cm, tetejét pedig egy kúp alakú zárófedél fedi, amelynek magassága 4 cm.
A mérnökök tudni szeretnék, hogy
mennyi üzemanyag fér a tartályba, köbcentiméter mértékegységben:
és mekkora felületet kell hőálló bevonattal ellátni négyzetcentiméter mértékegységben (a henger alját nem kell számítani):
A mérnököknek elegendő egy tizedes jegyre kerekített érték!
A test két egyszerű testből áll össze: egy hengerből és egy kúpból.
A henger adatai: \(r = 39\), \(m_h = 90\).
A kúp adatai: \(r = 39\), \(m_k = 4\).
Térfogat
A henger térfogata: \(V_h = r^2\pi m_h = 39^2\cdot\pi\cdot 90\approx 430052.62\)
A kúp térfogata: \(V_k = \frac{r^2\pi m_k}{3} = \frac{39^2\pi 4}{3}\approx 6371.15\)
A keresett térfogat a két térfogat összege: \(V = V_h + V_k = 430052.62 + 6371.15 \approx 436423.8\)
Felszín
A kúp és a henger felszínéből is csak a palástok felszíne kell, az alapkör területe nem!
Henger palástja: \(A_h = 2r\pi m = 2\cdot 39\pi\cdot 90\approx 22053.98\)
A kúp palástjához először ki kell számolni a kúp alkotóját. A kúp magasságával és az alkotójával együtt derékszögű háromszöget alkotnak, azaz:
\(m^2 + r^2 = a^2\), vagyis \(4^2 + 39^2 = a^2\), ebből \(a\approx 39.205\).
A kúp palástja: \(A_k = r\pi a = 39\pi \cdot 39.205 \approx 4803.48\).
A két terület együtt: \(A = A_h + A_k = 22053.98 + 4803.48\approx 26857.5\).
A holdkutató robot hátán egy különleges üzemanyagtartály van. A tartály teste henger alakú, sugara 39 cm, magassága 99 cm, tetejét pedig egy kúp alakú zárófedél fedi, amelynek magassága 3 cm.
A mérnökök tudni szeretnék, hogy
mennyi üzemanyag fér a tartályba, köbcentiméter mértékegységben:
és mekkora felületet kell hőálló bevonattal ellátni négyzetcentiméter mértékegységben (a henger alját nem kell számítani):
A mérnököknek elegendő egy tizedes jegyre kerekített érték!
A test két egyszerű testből áll össze: egy hengerből és egy kúpból.
A henger adatai: \(r = 39\), \(m_h = 99\).
A kúp adatai: \(r = 39\), \(m_k = 3\).
Térfogat
A henger térfogata: \(V_h = r^2\pi m_h = 39^2\cdot\pi\cdot 99\approx 473057.88\)
A kúp térfogata: \(V_k = \frac{r^2\pi m_k}{3} = \frac{39^2\pi 3}{3}\approx 4778.36\)
A keresett térfogat a két térfogat összege: \(V = V_h + V_k = 473057.88 + 4778.36 \approx 477836.2\)
Felszín
A kúp és a henger felszínéből is csak a palástok felszíne kell, az alapkör területe nem!
Henger palástja: \(A_h = 2r\pi m = 2\cdot 39\pi\cdot 99\approx 24259.38\)
A kúp palástjához először ki kell számolni a kúp alkotóját. A kúp magasságával és az alkotójával együtt derékszögű háromszöget alkotnak, azaz:
\(m^2 + r^2 = a^2\), vagyis \(3^2 + 39^2 = a^2\), ebből \(a\approx 39.115\).
A kúp palástja: \(A_k = r\pi a = 39\pi \cdot 39.115 \approx 4792.45\).
A két terület együtt: \(A = A_h + A_k = 24259.38 + 4792.45\approx 29051.8\).
A holdkutató robot hátán egy különleges üzemanyagtartály van. A tartály teste henger alakú, sugara 36 cm, magassága 77 cm, tetejét pedig egy kúp alakú zárófedél fedi, amelynek magassága 3 cm.
A mérnökök tudni szeretnék, hogy
mennyi üzemanyag fér a tartályba, köbcentiméter mértékegységben:
és mekkora felületet kell hőálló bevonattal ellátni négyzetcentiméter mértékegységben (a henger alját nem kell számítani):
A mérnököknek elegendő egy tizedes jegyre kerekített érték!
A test két egyszerű testből áll össze: egy hengerből és egy kúpból.
A henger adatai: \(r = 36\), \(m_h = 77\).
A kúp adatai: \(r = 36\), \(m_k = 3\).
Térfogat
A henger térfogata: \(V_h = r^2\pi m_h = 36^2\cdot\pi\cdot 77\approx 313505.81\)
A kúp térfogata: \(V_k = \frac{r^2\pi m_k}{3} = \frac{36^2\pi 3}{3}\approx 4071.5\)
A keresett térfogat a két térfogat összege: \(V = V_h + V_k = 313505.81 + 4071.5 \approx 317577.3\)
Felszín
A kúp és a henger felszínéből is csak a palástok felszíne kell, az alapkör területe nem!
Henger palástja: \(A_h = 2r\pi m = 2\cdot 36\pi\cdot 77\approx 17416.99\)
A kúp palástjához először ki kell számolni a kúp alkotóját. A kúp magasságával és az alkotójával együtt derékszögű háromszöget alkotnak, azaz:
\(m^2 + r^2 = a^2\), vagyis \(3^2 + 36^2 = a^2\), ebből \(a\approx 36.125\).
A kúp palástja: \(A_k = r\pi a = 36\pi \cdot 36.125 \approx 4085.64\).
A két terület együtt: \(A = A_h + A_k = 17416.99 + 4085.64\approx 21502.6\).
A holdkutató robot hátán egy különleges üzemanyagtartály van. A tartály teste henger alakú, sugara 34 cm, magassága 78 cm, tetejét pedig egy kúp alakú zárófedél fedi, amelynek magassága 3 cm.
A mérnökök tudni szeretnék, hogy
mennyi üzemanyag fér a tartályba, köbcentiméter mértékegységben:
és mekkora felületet kell hőálló bevonattal ellátni négyzetcentiméter mértékegységben (a henger alját nem kell számítani):
A mérnököknek elegendő egy tizedes jegyre kerekített érték!
A test két egyszerű testből áll össze: egy hengerből és egy kúpból.
A henger adatai: \(r = 34\), \(m_h = 78\).
A kúp adatai: \(r = 34\), \(m_k = 3\).
Térfogat
A henger térfogata: \(V_h = r^2\pi m_h = 34^2\cdot\pi\cdot 78\approx 283271.13\)
A kúp térfogata: \(V_k = \frac{r^2\pi m_k}{3} = \frac{34^2\pi 3}{3}\approx 3631.68\)
A keresett térfogat a két térfogat összege: \(V = V_h + V_k = 283271.13 + 3631.68 \approx 286902.8\)
Felszín
A kúp és a henger felszínéből is csak a palástok felszíne kell, az alapkör területe nem!
Henger palástja: \(A_h = 2r\pi m = 2\cdot 34\pi\cdot 78\approx 16663.01\)
A kúp palástjához először ki kell számolni a kúp alkotóját. A kúp magasságával és az alkotójával együtt derékszögű háromszöget alkotnak, azaz:
\(m^2 + r^2 = a^2\), vagyis \(3^2 + 34^2 = a^2\), ebből \(a\approx 34.132\).
A kúp palástja: \(A_k = r\pi a = 34\pi \cdot 34.132 \approx 3645.78\).
A két terület együtt: \(A = A_h + A_k = 16663.01 + 3645.78\approx 20308.8\).
A holdkutató robot hátán egy különleges üzemanyagtartály van. A tartály teste henger alakú, sugara 10 cm, magassága 20 cm, tetejét pedig egy kúp alakú zárófedél fedi, amelynek magassága 15 cm.
A mérnökök tudni szeretnék, hogy
mennyi üzemanyag fér a tartályba, köbcentiméter mértékegységben:
és mekkora felületet kell hőálló bevonattal ellátni négyzetcentiméter mértékegységben (a henger alját nem kell számítani):
A mérnököknek elegendő egy tizedes jegyre kerekített érték!
A test két egyszerű testből áll össze: egy hengerből és egy kúpból.
A henger adatai: \(r = 10\), \(m_h = 20\).
A kúp adatai: \(r = 10\), \(m_k = 15\).
Térfogat
A henger térfogata: \(V_h = r^2\pi m_h = 10^2\cdot\pi\cdot 20\approx 6283.19\)
A kúp térfogata: \(V_k = \frac{r^2\pi m_k}{3} = \frac{10^2\pi 15}{3}\approx 1570.8\)
A keresett térfogat a két térfogat összege: \(V = V_h + V_k = 6283.19 + 1570.8 \approx 7854\)
Felszín
A kúp és a henger felszínéből is csak a palástok felszíne kell, az alapkör területe nem!
Henger palástja: \(A_h = 2r\pi m = 2\cdot 10\pi\cdot 20\approx 1256.64\)
A kúp palástjához először ki kell számolni a kúp alkotóját. A kúp magasságával és az alkotójával együtt derékszögű háromszöget alkotnak, azaz:
\(m^2 + r^2 = a^2\), vagyis \(15^2 + 10^2 = a^2\), ebből \(a\approx 18.028\).
A kúp palástja: \(A_k = r\pi a = 10\pi \cdot 18.028 \approx 566.37\).
A két terület együtt: \(A = A_h + A_k = 1256.64 + 566.37\approx 1823\).