Kihívás - első alkalom
Szöveges feladat
Egy raktárban 199 tonna áruval több van, mint egy másik raktárban lévő áru mennyiségének kétszerese.
Ha az egyik raktárból 98 tonna árut elvisznek, a másikba pedig 125 tonna árut visznek, a két raktárban ugyanannyi áru lesz.
Hány tonna áru volt eredetileg az egyes raktárakban?
| egyik raktárban | |
| másik raktárban |
A második raktárban levő áru mennyiségét jelöljük \(x\)-szel (tonna egységben). Azért a második raktárban levőét, mert ahhoz viszonyítja a feladat az első raktárban levő mennyiséget (ld. "mint egy másik raktárban").
Ekkor az első raktárban levő áru mennyisége \(2x+199\) tonna.
A szállítások után az egyik raktárban \(2x+199 - 98\), a másikban \(x + 125\) tonna áru lesz.
Az előbbi pontban a két kifejezés egyenlősége adja az egyenletet ("ugyanannyi áru lesz"): \(2x+199 - 98 = x + 125\)
Az egyenlet megoldása: \(x = 24\). Ez a második raktárban eredetileg tárolt áru mennyisége.
Az első raktárban levő eredeti mennyiséget pedig az először felírt \(2x+199\) képletbe helyettesítés után kapjuk meg: \(2\cdot 24 +199 = 247\).
Egy raktárban 134 darab áruval kevesebb van, mint egy másik raktárban lévő áru mennyiségének háromszorosa.
Ha az egyik raktárból 77 darab árut elvisznek, a másikba pedig 37 darab árut visznek, a két raktárban ugyanannyi áru lesz.
Hány darab áru volt eredetileg az egyes raktárakban?
| egyik raktárban | |
| másik raktárban |
A második raktárban levő áru mennyiségét jelöljük \(x\)-szel (darab egységben). Azért a második raktárban levőét, mert ahhoz viszonyítja a feladat az első raktárban levő mennyiséget (ld. "mint egy másik raktárban").
Ekkor az első raktárban levő áru mennyisége \(3x-134\) darab.
A szállítások után az egyik raktárban \(3x-134 - 77\), a másikban \(x + 37\) darab áru lesz.
Az előbbi pontban a két kifejezés egyenlősége adja az egyenletet ("ugyanannyi áru lesz"): \(3x-134 - 77 = x + 37\)
Az egyenlet megoldása: \(x = 124\). Ez a második raktárban eredetileg tárolt áru mennyisége.
Az első raktárban levő eredeti mennyiséget pedig az először felírt \(3x-134\) képletbe helyettesítés után kapjuk meg: \(3\cdot 124 -134 = 238\).
Egy raktárban 106 tonna áruval több van, mint egy másik raktárban lévő áru mennyiségének háromszorosa.
Ha az egyik raktárból 99 tonna árut elvisznek, a másikba pedig 85 tonna árut visznek, a két raktárban ugyanannyi áru lesz.
Hány tonna áru volt eredetileg az egyes raktárakban?
| egyik raktárban | |
| másik raktárban |
A második raktárban levő áru mennyiségét jelöljük \(x\)-szel (tonna egységben). Azért a második raktárban levőét, mert ahhoz viszonyítja a feladat az első raktárban levő mennyiséget (ld. "mint egy másik raktárban").
Ekkor az első raktárban levő áru mennyisége \(3x+106\) tonna.
A szállítások után az egyik raktárban \(3x+106 - 99\), a másikban \(x + 85\) tonna áru lesz.
Az előbbi pontban a két kifejezés egyenlősége adja az egyenletet ("ugyanannyi áru lesz"): \(3x+106 - 99 = x + 85\)
Az egyenlet megoldása: \(x = 39\). Ez a második raktárban eredetileg tárolt áru mennyisége.
Az első raktárban levő eredeti mennyiséget pedig az először felírt \(3x+106\) képletbe helyettesítés után kapjuk meg: \(3\cdot 39 +106 = 223\).
Egy raktárban 185 darab áruval több van, mint egy másik raktárban lévő áru mennyiségének háromszorosa.
Ha az egyik raktárból 87 darab árut elvisznek, a másikba pedig 212 darab árut visznek, a két raktárban ugyanannyi áru lesz.
Hány darab áru volt eredetileg az egyes raktárakban?
| egyik raktárban | |
| másik raktárban |
A második raktárban levő áru mennyiségét jelöljük \(x\)-szel (darab egységben). Azért a második raktárban levőét, mert ahhoz viszonyítja a feladat az első raktárban levő mennyiséget (ld. "mint egy másik raktárban").
Ekkor az első raktárban levő áru mennyisége \(3x+185\) darab.
A szállítások után az egyik raktárban \(3x+185 - 87\), a másikban \(x + 212\) darab áru lesz.
Az előbbi pontban a két kifejezés egyenlősége adja az egyenletet ("ugyanannyi áru lesz"): \(3x+185 - 87 = x + 212\)
Az egyenlet megoldása: \(x = 57\). Ez a második raktárban eredetileg tárolt áru mennyisége.
Az első raktárban levő eredeti mennyiséget pedig az először felírt \(3x+185\) képletbe helyettesítés után kapjuk meg: \(3\cdot 57 +185 = 356\).
Egy raktárban 89 darab áruval kevesebb van, mint egy másik raktárban lévő áru mennyiségének kétszerese.
Ha az egyik raktárból 21 darab árut elvisznek, a másikba pedig 29 darab árut visznek, a két raktárban ugyanannyi áru lesz.
Hány darab áru volt eredetileg az egyes raktárakban?
| egyik raktárban | |
| másik raktárban |
A második raktárban levő áru mennyiségét jelöljük \(x\)-szel (darab egységben). Azért a második raktárban levőét, mert ahhoz viszonyítja a feladat az első raktárban levő mennyiséget (ld. "mint egy másik raktárban").
Ekkor az első raktárban levő áru mennyisége \(2x-89\) darab.
A szállítások után az egyik raktárban \(2x-89 - 21\), a másikban \(x + 29\) darab áru lesz.
Az előbbi pontban a két kifejezés egyenlősége adja az egyenletet ("ugyanannyi áru lesz"): \(2x-89 - 21 = x + 29\)
Az egyenlet megoldása: \(x = 139\). Ez a második raktárban eredetileg tárolt áru mennyisége.
Az első raktárban levő eredeti mennyiséget pedig az először felírt \(2x-89\) képletbe helyettesítés után kapjuk meg: \(2\cdot 139 -89 = 189\).
Háromszögek
Egy háromszög egy belső szöge \(89^\circ\), egy másik szög külső szöge \(115^\circ\).
Hány fokos a harmadik szöge?
Első megoldás
A külső szög mellett fekvő belső szög a külső szög kiegészítő szöge (180 fokra egészítik ki egymást), azaz \(180^\circ - 115^\circ = 65^\circ\).
Ezután a két ismert belső szög (a megadott \(89^\circ\) és a most kiszámolt \(65^\circ\)) összegét kivonjuk a 180 fokból.
Másik megoldás
Egy háromszög külső szöge megegyezik a nem mellette fekvő két belső szög összegével.
Azaz a megadott külső szög egyenlő a megadott belső és a hiányzó belső szög összegével, tehát a külső szögből kivonjuk a megadott belső szöget: \(115^\circ - 89^\circ\).
Egy háromszög egy belső szöge \(87^\circ\), egy másik szög külső szöge \(113^\circ\).
Hány fokos a harmadik szöge?
Első megoldás
A külső szög mellett fekvő belső szög a külső szög kiegészítő szöge (180 fokra egészítik ki egymást), azaz \(180^\circ - 113^\circ = 67^\circ\).
Ezután a két ismert belső szög (a megadott \(87^\circ\) és a most kiszámolt \(67^\circ\)) összegét kivonjuk a 180 fokból.
Másik megoldás
Egy háromszög külső szöge megegyezik a nem mellette fekvő két belső szög összegével.
Azaz a megadott külső szög egyenlő a megadott belső és a hiányzó belső szög összegével, tehát a külső szögből kivonjuk a megadott belső szöget: \(113^\circ - 87^\circ\).
Egy háromszög egy belső szöge \(69^\circ\), egy másik szög külső szöge \(163^\circ\).
Hány fokos a harmadik szöge?
Első megoldás
A külső szög mellett fekvő belső szög a külső szög kiegészítő szöge (180 fokra egészítik ki egymást), azaz \(180^\circ - 163^\circ = 17^\circ\).
Ezután a két ismert belső szög (a megadott \(69^\circ\) és a most kiszámolt \(17^\circ\)) összegét kivonjuk a 180 fokból.
Másik megoldás
Egy háromszög külső szöge megegyezik a nem mellette fekvő két belső szög összegével.
Azaz a megadott külső szög egyenlő a megadott belső és a hiányzó belső szög összegével, tehát a külső szögből kivonjuk a megadott belső szöget: \(163^\circ - 69^\circ\).
Egy háromszög egy belső szöge \(87^\circ\), egy másik szög külső szöge \(115^\circ\).
Hány fokos a harmadik szöge?
Első megoldás
A külső szög mellett fekvő belső szög a külső szög kiegészítő szöge (180 fokra egészítik ki egymást), azaz \(180^\circ - 115^\circ = 65^\circ\).
Ezután a két ismert belső szög (a megadott \(87^\circ\) és a most kiszámolt \(65^\circ\)) összegét kivonjuk a 180 fokból.
Másik megoldás
Egy háromszög külső szöge megegyezik a nem mellette fekvő két belső szög összegével.
Azaz a megadott külső szög egyenlő a megadott belső és a hiányzó belső szög összegével, tehát a külső szögből kivonjuk a megadott belső szöget: \(115^\circ - 87^\circ\).
Egy háromszög egy belső szöge \(5^\circ\), egy másik szög külső szöge \(94^\circ\).
Hány fokos a harmadik szöge?
Első megoldás
A külső szög mellett fekvő belső szög a külső szög kiegészítő szöge (180 fokra egészítik ki egymást), azaz \(180^\circ - 94^\circ = 86^\circ\).
Ezután a két ismert belső szög (a megadott \(5^\circ\) és a most kiszámolt \(86^\circ\)) összegét kivonjuk a 180 fokból.
Másik megoldás
Egy háromszög külső szöge megegyezik a nem mellette fekvő két belső szög összegével.
Azaz a megadott külső szög egyenlő a megadott belső és a hiányzó belső szög összegével, tehát a külső szögből kivonjuk a megadott belső szöget: \(94^\circ - 5^\circ\).
Logika
Melyik állítás az alábbi állítás tagadása?
Enikő pólója fekete.
A tagadás egy olyan állítás, amely pontosan akkor igaz, ha az eredeti állítás hamis. És persze akkor hamis, amikor az eredeti állítás igaz. Minden konkrét esetre érvényes!
Azaz ha egy tárgy fekete színű, annak nem tagadása az, hogy az a tárgy pl. kék, mivel ha épp fehér, akkor az eredeti állítás (fekete) is hamis és az is hamis, hogy kék.
Ha egy tárgy fekete, annak nem tagadása, hogy egy másik tárgy is fekete (vagy épp nem fekete), mivel a két tárgy színe független egymástól.
Összegezve: egy ilyen egyszerű állítás tagadása az, hogy a jelző (jelen esetben a szín) elé egy "nem"-szócskát teszünk.
Melyik állítás az alábbi állítás tagadása?
Fatime táskája fekete.
A tagadás egy olyan állítás, amely pontosan akkor igaz, ha az eredeti állítás hamis. És persze akkor hamis, amikor az eredeti állítás igaz. Minden konkrét esetre érvényes!
Azaz ha egy tárgy fekete színű, annak nem tagadása az, hogy az a tárgy pl. piros, mivel ha épp zöld, akkor az eredeti állítás (fekete) is hamis és az is hamis, hogy piros.
Ha egy tárgy fekete, annak nem tagadása, hogy egy másik tárgy is fekete (vagy épp nem fekete), mivel a két tárgy színe független egymástól.
Összegezve: egy ilyen egyszerű állítás tagadása az, hogy a jelző (jelen esetben a szín) elé egy "nem"-szócskát teszünk.
Melyik állítás az alábbi állítás tagadása?
Enikő cipője kék.
A tagadás egy olyan állítás, amely pontosan akkor igaz, ha az eredeti állítás hamis. És persze akkor hamis, amikor az eredeti állítás igaz. Minden konkrét esetre érvényes!
Azaz ha egy tárgy kék színű, annak nem tagadása az, hogy az a tárgy pl. piros, mivel ha épp zöld, akkor az eredeti állítás (kék) is hamis és az is hamis, hogy piros.
Ha egy tárgy kék, annak nem tagadása, hogy egy másik tárgy is kék (vagy épp nem kék), mivel a két tárgy színe független egymástól.
Összegezve: egy ilyen egyszerű állítás tagadása az, hogy a jelző (jelen esetben a szín) elé egy "nem"-szócskát teszünk.
Melyik állítás az alábbi állítás tagadása?
Albert hátizsákja zöld.
A tagadás egy olyan állítás, amely pontosan akkor igaz, ha az eredeti állítás hamis. És persze akkor hamis, amikor az eredeti állítás igaz. Minden konkrét esetre érvényes!
Azaz ha egy tárgy zöld színű, annak nem tagadása az, hogy az a tárgy pl. fekete, mivel ha épp kék, akkor az eredeti állítás (zöld) is hamis és az is hamis, hogy fekete.
Ha egy tárgy zöld, annak nem tagadása, hogy egy másik tárgy is zöld (vagy épp nem zöld), mivel a két tárgy színe független egymástól.
Összegezve: egy ilyen egyszerű állítás tagadása az, hogy a jelző (jelen esetben a szín) elé egy "nem"-szócskát teszünk.
Melyik állítás az alábbi állítás tagadása?
Csongor cipője fekete.
A tagadás egy olyan állítás, amely pontosan akkor igaz, ha az eredeti állítás hamis. És persze akkor hamis, amikor az eredeti állítás igaz. Minden konkrét esetre érvényes!
Azaz ha egy tárgy fekete színű, annak nem tagadása az, hogy az a tárgy pl. kék, mivel ha épp fehér, akkor az eredeti állítás (fekete) is hamis és az is hamis, hogy kék.
Ha egy tárgy fekete, annak nem tagadása, hogy egy másik tárgy is fekete (vagy épp nem fekete), mivel a két tárgy színe független egymástól.
Összegezve: egy ilyen egyszerű állítás tagadása az, hogy a jelző (jelen esetben a szín) elé egy "nem"-szócskát teszünk.
Másodfokú egyenlet
Határozd meg az alábbi egyenlet gyökeit (megoldásait)!
\(30x = 0-10x^{2}\)
| \(x_1=\) | |
| \(x_2=\) |
(Az \(x_1\) legyen a nagyobbik, \(x_2\) a kisebbik megoldás!)
Az egyenletet először nullára kell redukálni:
\(10x^{2}+30x = 0\) (vagy \(0 = -10x^{2}-30x\))
Ezután a megoldóképletbe kell behelyettesíteni vagy a számológép megfelelő funkcióját használni.
A megoldások: \(x_1 = 0\) és \(x_2 = -3\).
Határozd meg az alábbi egyenlet gyökeit (megoldásait)!
\(-8x^{2}-40,5 = -60x\)
| \(x_1=\) | |
| \(x_2=\) |
(Az \(x_1\) legyen a nagyobbik, \(x_2\) a kisebbik megoldás!)
Az egyenletet először nullára kell redukálni:
\(-8x^{2}+60x-40,5 = 0\) (vagy \(0 = 8x^{2}-60x+40,5\))
Ezután a megoldóképletbe kell behelyettesíteni vagy a számológép megfelelő funkcióját használni.
A megoldások: \(x_1 = 6.75\) és \(x_2 = 0.75\).
Határozd meg az alábbi egyenlet gyökeit (megoldásait)!
\(-9x^{2}-13,5x = -243\)
| \(x_1=\) | |
| \(x_2=\) |
(Az \(x_1\) legyen a nagyobbik, \(x_2\) a kisebbik megoldás!)
Az egyenletet először nullára kell redukálni:
\(-9x^{2}-13,5x+243 = 0\) (vagy \(0 = 9x^{2}+13,5x-243\))
Ezután a megoldóképletbe kell behelyettesíteni vagy a számológép megfelelő funkcióját használni.
A megoldások: \(x_1 = 4.5\) és \(x_2 = -6\).
Határozd meg az alábbi egyenlet gyökeit (megoldásait)!
\(12x = -2x^{2}\)
| \(x_1=\) | |
| \(x_2=\) |
(Az \(x_1\) legyen a nagyobbik, \(x_2\) a kisebbik megoldás!)
Az egyenletet először nullára kell redukálni:
\(2x^{2}+12x = 0\) (vagy \(0 = -2x^{2}-12x\))
Ezután a megoldóképletbe kell behelyettesíteni vagy a számológép megfelelő funkcióját használni.
A megoldások: \(x_1 = 0\) és \(x_2 = -6\).
Határozd meg az alábbi egyenlet gyökeit (megoldásait)!
\(-6x^{2} = 13,5x+5,25\)
| \(x_1=\) | |
| \(x_2=\) |
(Az \(x_1\) legyen a nagyobbik, \(x_2\) a kisebbik megoldás!)
Az egyenletet először nullára kell redukálni:
\(-6x^{2}-13,5x-5,25 = 0\) (vagy \(0 = 6x^{2}+13,5x+5,25\))
Ezután a megoldóképletbe kell behelyettesíteni vagy a számológép megfelelő funkcióját használni.
A megoldások: \(x_1 = -0.5\) és \(x_2 = -1.75\).
Exponenciális
Egy radioaktív anyag bomlását az alábbi exponenciális összefüggés írja le:
\(\displaystyle m(t) = m_0\cdot 2^{-t/T_{1/2}}\),
ahol \(m(t)\) a még megmaradt anyag tömege \(t\) időpontban, \(m_0\) a kezdeti anyag tömege, \(T_{1/2}\) a felezési idő, \(t\) az eltelt idő (órában).
Egy radioaktív izotóp kezdetben 500 mg volt, és felezési ideje 52 óra. Mennyi anyag marad 237 óra elteltével? Válaszodat milligrammban, 2 tizedes jegyre kerekítve add meg!
Adatok kigyűjtése
A képletben megjelenő jelöléseket használva:
\(m_0 = 500\) (mg)
\(T_{1/2} = 52\) (óra)
\(t = 237\) (óra)
Behelyettesítés
A megadott képletbe behelyettesítve:
\(m(t) = 500\cdot 2^{-237 / 52}\),
majd kiszámolva: \(m(t) = 21.23\).
Figyelj arra, hogy a kitevőt rakd zárójelbe, vagy először azt számold ki külön és az eredmény kerüljön a kettő kitevőjébe!
Egy radioaktív anyag bomlását az alábbi exponenciális összefüggés írja le:
\(\displaystyle m(t) = m_0\cdot 2^{-t/T_{1/2}}\),
ahol \(m(t)\) a még megmaradt anyag tömege \(t\) időpontban, \(m_0\) a kezdeti anyag tömege, \(T_{1/2}\) a felezési idő, \(t\) az eltelt idő (órában).
Egy radioaktív izotóp kezdetben 1000 mg volt, és felezési ideje 114.25 óra. Mennyi anyag marad 1334.125 óra elteltével? Válaszodat milligrammban, 4 tizedes jegyre kerekítve add meg!
Adatok kigyűjtése
A képletben megjelenő jelöléseket használva:
\(m_0 = 1000\) (mg)
\(T_{1/2} = 114.25\) (óra)
\(t = 1334.125\) (óra)
Behelyettesítés
A megadott képletbe behelyettesítve:
\(m(t) = 1000\cdot 2^{-1334.125 / 114.25}\),
majd kiszámolva: \(m(t) = 0.3054\).
Figyelj arra, hogy a kitevőt rakd zárójelbe, vagy először azt számold ki külön és az eredmény kerüljön a kettő kitevőjébe!
Egy radioaktív anyag bomlását az alábbi exponenciális összefüggés írja le:
\(\displaystyle m(t) = m_0\cdot 2^{-t/T_{1/2}}\),
ahol \(m(t)\) a még megmaradt anyag tömege \(t\) időpontban, \(m_0\) a kezdeti anyag tömege, \(T_{1/2}\) a felezési idő, \(t\) az eltelt idő (órában).
Egy radioaktív izotóp kezdetben 1200 mg volt, és felezési ideje 125.25 óra. Mennyi anyag marad 140.625 óra elteltével? Válaszodat milligrammban, 1 tizedes jegyre kerekítve add meg!
Adatok kigyűjtése
A képletben megjelenő jelöléseket használva:
\(m_0 = 1200\) (mg)
\(T_{1/2} = 125.25\) (óra)
\(t = 140.625\) (óra)
Behelyettesítés
A megadott képletbe behelyettesítve:
\(m(t) = 1200\cdot 2^{-140.625 / 125.25}\),
majd kiszámolva: \(m(t) = 551.1\).
Figyelj arra, hogy a kitevőt rakd zárójelbe, vagy először azt számold ki külön és az eredmény kerüljön a kettő kitevőjébe!
Egy radioaktív anyag bomlását az alábbi exponenciális összefüggés írja le:
\(\displaystyle m(t) = m_0\cdot 2^{-t/T_{1/2}}\),
ahol \(m(t)\) a még megmaradt anyag tömege \(t\) időpontban, \(m_0\) a kezdeti anyag tömege, \(T_{1/2}\) a felezési idő, \(t\) az eltelt idő (órában).
Egy radioaktív izotóp kezdetben 1700 mg volt, és felezési ideje 13.75 óra. Mennyi anyag marad 96.875 óra elteltével? Válaszodat milligrammban, 2 tizedes jegyre kerekítve add meg!
Adatok kigyűjtése
A képletben megjelenő jelöléseket használva:
\(m_0 = 1700\) (mg)
\(T_{1/2} = 13.75\) (óra)
\(t = 96.875\) (óra)
Behelyettesítés
A megadott képletbe behelyettesítve:
\(m(t) = 1700\cdot 2^{-96.875 / 13.75}\),
majd kiszámolva: \(m(t) = 12.87\).
Figyelj arra, hogy a kitevőt rakd zárójelbe, vagy először azt számold ki külön és az eredmény kerüljön a kettő kitevőjébe!
Egy radioaktív anyag bomlását az alábbi exponenciális összefüggés írja le:
\(\displaystyle m(t) = m_0\cdot 2^{-t/T_{1/2}}\),
ahol \(m(t)\) a még megmaradt anyag tömege \(t\) időpontban, \(m_0\) a kezdeti anyag tömege, \(T_{1/2}\) a felezési idő, \(t\) az eltelt idő (órában).
Egy radioaktív izotóp kezdetben 700 mg volt, és felezési ideje 132.25 óra. Mennyi anyag marad 1285.125 óra elteltével? Válaszodat milligrammban, 4 tizedes jegyre kerekítve add meg!
Adatok kigyűjtése
A képletben megjelenő jelöléseket használva:
\(m_0 = 700\) (mg)
\(T_{1/2} = 132.25\) (óra)
\(t = 1285.125\) (óra)
Behelyettesítés
A megadott képletbe behelyettesítve:
\(m(t) = 700\cdot 2^{-1285.125 / 132.25}\),
majd kiszámolva: \(m(t) = 0.8315\).
Figyelj arra, hogy a kitevőt rakd zárójelbe, vagy először azt számold ki külön és az eredmény kerüljön a kettő kitevőjébe!
Kombinatorika
Egy kártyapakliban összesen 14 kártya van. Kezdeti kiosztáskor mindenki 3 lapot kap, a maradék 2 lap talonba kerül.
Hányféle kezdeti kiosztás lehetséges?
Összesen \(14 - 2 = 12\) kártyát osztanak ki úgy, hogy mindenki 3 kártyát kap, azaz \(\frac{12}{3} = 4\) fő játszik.
Az első játékos a teljes pakliból kap, ez \(\left(\begin{array}{c} 14 \\ 3 \end{array} \right)\)-féleképpen lehet, hiszen a kiosztás sorrendje nem számít.
A második játékos már csak \(11\) lapból kaphat (hiszen 3 lapot már kiosztottunk), ez \(\left(\begin{array}{c} 11 \\ 3 \end{array} \right)\)-féleképpen lehetséges.
És így tovább, a lehetőségeket pedig össze kell szorozni (hiszen és kötőszóval kapcsoljuk össze a lépéseket):
\(\left(\begin{array}{c} 14 \\ 3 \end{array} \right)\cdot\left(\begin{array}{c} 11 \\ 3 \end{array} \right)\cdot\left(\begin{array}{c} 8 \\ 3 \end{array} \right)\cdot\left(\begin{array}{c} 5 \\ 3 \end{array} \right) = 33633600\)
Egy kártyapakliban összesen 20 kártya van. Kezdeti kiosztáskor mindenki 6 lapot kap, a maradék 2 lap talonba kerül.
Hányféle kezdeti kiosztás lehetséges?
Összesen \(20 - 2 = 18\) kártyát osztanak ki úgy, hogy mindenki 6 kártyát kap, azaz \(\frac{18}{6} = 3\) fő játszik.
Az első játékos a teljes pakliból kap, ez \(\left(\begin{array}{c} 20 \\ 6 \end{array} \right)\)-féleképpen lehet, hiszen a kiosztás sorrendje nem számít.
A második játékos már csak \(14\) lapból kaphat (hiszen 6 lapot már kiosztottunk), ez \(\left(\begin{array}{c} 14 \\ 6 \end{array} \right)\)-féleképpen lehetséges.
És így tovább, a lehetőségeket pedig össze kell szorozni (hiszen és kötőszóval kapcsoljuk össze a lépéseket):
\(\left(\begin{array}{c} 20 \\ 6 \end{array} \right)\cdot\left(\begin{array}{c} 14 \\ 6 \end{array} \right)\cdot\left(\begin{array}{c} 8 \\ 6 \end{array} \right) = 3259095840\)
Egy kártyapakliban összesen 17 kártya van. Kezdeti kiosztáskor mindenki 5 lapot kap, a maradék 2 lap talonba kerül.
Hányféle kezdeti kiosztás lehetséges?
Összesen \(17 - 2 = 15\) kártyát osztanak ki úgy, hogy mindenki 5 kártyát kap, azaz \(\frac{15}{5} = 3\) fő játszik.
Az első játékos a teljes pakliból kap, ez \(\left(\begin{array}{c} 17 \\ 5 \end{array} \right)\)-féleképpen lehet, hiszen a kiosztás sorrendje nem számít.
A második játékos már csak \(12\) lapból kaphat (hiszen 5 lapot már kiosztottunk), ez \(\left(\begin{array}{c} 12 \\ 5 \end{array} \right)\)-féleképpen lehetséges.
És így tovább, a lehetőségeket pedig össze kell szorozni (hiszen és kötőszóval kapcsoljuk össze a lépéseket):
\(\left(\begin{array}{c} 17 \\ 5 \end{array} \right)\cdot\left(\begin{array}{c} 12 \\ 5 \end{array} \right)\cdot\left(\begin{array}{c} 7 \\ 5 \end{array} \right) = 102918816\)
Egy kártyapakliban összesen 7 kártya van. Kezdeti kiosztáskor mindenki 3 lapot kap, a maradék 1 lap talonba kerül.
Hányféle kezdeti kiosztás lehetséges?
Összesen \(7 - 1 = 6\) kártyát osztanak ki úgy, hogy mindenki 3 kártyát kap, azaz \(\frac{6}{3} = 2\) fő játszik.
Az első játékos a teljes pakliból kap, ez \(\left(\begin{array}{c} 7 \\ 3 \end{array} \right)\)-féleképpen lehet, hiszen a kiosztás sorrendje nem számít.
A második játékos már csak \(4\) lapból kaphat (hiszen 3 lapot már kiosztottunk), ez \(\left(\begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array} \right)\)-féleképpen lehetséges.
És így tovább, a lehetőségeket pedig össze kell szorozni (hiszen és kötőszóval kapcsoljuk össze a lépéseket):
\(\left(\begin{array}{c} 7 \\ 3 \end{array} \right)\cdot\left(\begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array} \right) = 140\)
Egy kártyapakliban összesen 11 kártya van. Kezdeti kiosztáskor mindenki 5 lapot kap, a maradék 1 lap talonba kerül.
Hányféle kezdeti kiosztás lehetséges?
Összesen \(11 - 1 = 10\) kártyát osztanak ki úgy, hogy mindenki 5 kártyát kap, azaz \(\frac{10}{5} = 2\) fő játszik.
Az első játékos a teljes pakliból kap, ez \(\left(\begin{array}{c} 11 \\ 5 \end{array} \right)\)-féleképpen lehet, hiszen a kiosztás sorrendje nem számít.
A második játékos már csak \(6\) lapból kaphat (hiszen 5 lapot már kiosztottunk), ez \(\left(\begin{array}{c} 6 \\ 5 \end{array} \right)\)-féleképpen lehetséges.
És így tovább, a lehetőségeket pedig össze kell szorozni (hiszen és kötőszóval kapcsoljuk össze a lépéseket):
\(\left(\begin{array}{c} 11 \\ 5 \end{array} \right)\cdot\left(\begin{array}{c} 6 \\ 5 \end{array} \right) = 2772\)
Sorozatok
Egy tartalomgyártó úgy dönt, hogy egy nagyobb projekt keretében 3 hónapon át minden héten elkészít egy videót, amelyek hossza fokozatosan növekszik. Az első videó 4 perc, minden következő videó pedig 39 másodperccel hosszabb, mint az előző.
Mivel a projekt 12 hétig tart, a készítő szeretné tudni, hány percnyi videót gyárt összesen ez alatt a 12 hét alatt, hogy ezt feltüntethesse a közönségének szóló összefoglalóban.
A videók hossza egy számtani sorozatot alkot, amelynek első tagja \(a_1 = 4\) (perc), a differenciája pedig \(d = \frac{39}{60} = 0.65\) (perc).
A feladat az összes 12 videó összhosszát kérdezi, azaz a kérdés most az \(S_n\).
A képlet szerint: \(S_{12} = 12\cdot \frac{2\cdot 4 + (12 - 1)\cdot 0.65}{2}\)
Kiszámolva: 90.9 perc.
Megjegyzés: természetesen fel lehet írni az összes tagot egyesével és azokat összeadni:
\(4 + 4.65 + 5.3 + 5.95 + 6.6 + 7.25 + 7.9 + 8.55 + 9.2 + 9.85 + 10.5 + 11.15 = 90.9\).
Egy tartalomgyártó úgy dönt, hogy egy nagyobb projekt keretében 5 hónapon át minden héten elkészít egy videót, amelyek hossza fokozatosan növekszik. Az első videó 7 perc, minden következő videó pedig 9 másodperccel hosszabb, mint az előző.
Mivel a projekt 20 hétig tart, a készítő szeretné tudni, hány percnyi videót gyárt összesen ez alatt a 20 hét alatt, hogy ezt feltüntethesse a közönségének szóló összefoglalóban.
A videók hossza egy számtani sorozatot alkot, amelynek első tagja \(a_1 = 7\) (perc), a differenciája pedig \(d = \frac{9}{60} = 0.15\) (perc).
A feladat az összes 20 videó összhosszát kérdezi, azaz a kérdés most az \(S_n\).
A képlet szerint: \(S_{20} = 20\cdot \frac{2\cdot 7 + (20 - 1)\cdot 0.15}{2}\)
Kiszámolva: 168.5 perc.
Megjegyzés: természetesen fel lehet írni az összes tagot egyesével és azokat összeadni:
\(7 + 7.15 + 7.3 + 7.45 + 7.6 + 7.75 + 7.9 + 8.05 + 8.2 + 8.35 + 8.5 + 8.65 + 8.8 + 8.95 + 9.1 + 9.25 + 9.4 + 9.55 + 9.7 + 9.85 = 168.5\).
Egy tartalomgyártó úgy dönt, hogy egy nagyobb projekt keretében 4 hónapon át minden héten elkészít egy videót, amelyek hossza fokozatosan növekszik. Az első videó 2 perc, minden következő videó pedig 21 másodperccel hosszabb, mint az előző.
Mivel a projekt 16 hétig tart, a készítő szeretné tudni, hány percnyi videót gyárt összesen ez alatt a 16 hét alatt, hogy ezt feltüntethesse a közönségének szóló összefoglalóban.
A videók hossza egy számtani sorozatot alkot, amelynek első tagja \(a_1 = 2\) (perc), a differenciája pedig \(d = \frac{21}{60} = 0.35\) (perc).
A feladat az összes 16 videó összhosszát kérdezi, azaz a kérdés most az \(S_n\).
A képlet szerint: \(S_{16} = 16\cdot \frac{2\cdot 2 + (16 - 1)\cdot 0.35}{2}\)
Kiszámolva: 74 perc.
Megjegyzés: természetesen fel lehet írni az összes tagot egyesével és azokat összeadni:
\(2 + 2.35 + 2.7 + 3.05 + 3.4 + 3.75 + 4.1 + 4.45 + 4.8 + 5.15 + 5.5 + 5.85 + 6.2 + 6.55 + 6.9 + 7.25 = 74\).
Egy tartalomgyártó úgy dönt, hogy egy nagyobb projekt keretében 2 hónapon át minden héten elkészít egy videót, amelyek hossza fokozatosan növekszik. Az első videó 2 perc, minden következő videó pedig 3 másodperccel hosszabb, mint az előző.
Mivel a projekt 8 hétig tart, a készítő szeretné tudni, hány percnyi videót gyárt összesen ez alatt a 8 hét alatt, hogy ezt feltüntethesse a közönségének szóló összefoglalóban.
A videók hossza egy számtani sorozatot alkot, amelynek első tagja \(a_1 = 2\) (perc), a differenciája pedig \(d = \frac{3}{60} = 0.05\) (perc).
A feladat az összes 8 videó összhosszát kérdezi, azaz a kérdés most az \(S_n\).
A képlet szerint: \(S_{8} = 8\cdot \frac{2\cdot 2 + (8 - 1)\cdot 0.05}{2}\)
Kiszámolva: 17.4 perc.
Megjegyzés: természetesen fel lehet írni az összes tagot egyesével és azokat összeadni:
\(2 + 2.05 + 2.1 + 2.15 + 2.2 + 2.25 + 2.3 + 2.35 = 17.4\).
Egy tartalomgyártó úgy dönt, hogy egy nagyobb projekt keretében 3 hónapon át minden héten elkészít egy videót, amelyek hossza fokozatosan növekszik. Az első videó 8 perc, minden következő videó pedig 27 másodperccel hosszabb, mint az előző.
Mivel a projekt 12 hétig tart, a készítő szeretné tudni, hány percnyi videót gyárt összesen ez alatt a 12 hét alatt, hogy ezt feltüntethesse a közönségének szóló összefoglalóban.
A videók hossza egy számtani sorozatot alkot, amelynek első tagja \(a_1 = 8\) (perc), a differenciája pedig \(d = \frac{27}{60} = 0.45\) (perc).
A feladat az összes 12 videó összhosszát kérdezi, azaz a kérdés most az \(S_n\).
A képlet szerint: \(S_{12} = 12\cdot \frac{2\cdot 8 + (12 - 1)\cdot 0.45}{2}\)
Kiszámolva: 125.7 perc.
Megjegyzés: természetesen fel lehet írni az összes tagot egyesével és azokat összeadni:
\(8 + 8.45 + 8.9 + 9.35 + 9.8 + 10.25 + 10.7 + 11.15 + 11.6 + 12.05 + 12.5 + 12.95 = 125.7\).
Térgeometria
A holdkutató robot hátán egy különleges üzemanyagtartály van. A tartály teste henger alakú, sugara 32 cm, magassága 89 cm, tetejét pedig egy kúp alakú zárófedél fedi, amelynek magassága 8 cm.
A mérnökök tudni szeretnék, hogy
mennyi üzemanyag fér a tartályba, köbcentiméter mértékegységben:
és mekkora felületet kell hőálló bevonattal ellátni négyzetcentiméter mértékegységben (a henger alját nem kell számítani):
A mérnököknek elegendő egy tizedes jegyre kerekített érték!
A test két egyszerű testből áll össze: egy hengerből és egy kúpból.
A henger adatai: \(r = 32\), \(m_h = 89\).
A kúp adatai: \(r = 32\), \(m_k = 8\).
Térfogat
A henger térfogata: \(V_h = r^2\pi m_h = 32^2\cdot\pi\cdot 89\approx 286312.19\)
A kúp térfogata: \(V_k = \frac{r^2\pi m_k}{3} = \frac{32^2\pi 8}{3}\approx 8578.64\)
A keresett térfogat a két térfogat összege: \(V = V_h + V_k = 286312.19 + 8578.64 \approx 294890.8\)
Felszín
A kúp és a henger felszínéből is csak a palástok felszíne kell, az alapkör területe nem!
Henger palástja: \(A_h = 2r\pi m = 2\cdot 32\pi\cdot 89\approx 17894.51\)
A kúp palástjához először ki kell számolni a kúp alkotóját. A kúp magasságával és az alkotójával együtt derékszögű háromszöget alkotnak, azaz:
\(m^2 + r^2 = a^2\), vagyis \(8^2 + 32^2 = a^2\), ebből \(a\approx 32.985\).
A kúp palástja: \(A_k = r\pi a = 32\pi \cdot 32.985 \approx 3316.01\).
A két terület együtt: \(A = A_h + A_k = 17894.51 + 3316.01\approx 21210.5\).
A holdkutató robot hátán egy különleges üzemanyagtartály van. A tartály teste henger alakú, sugara 31 cm, magassága 81 cm, tetejét pedig egy kúp alakú zárófedél fedi, amelynek magassága 13 cm.
A mérnökök tudni szeretnék, hogy
mennyi üzemanyag fér a tartályba, köbcentiméter mértékegységben:
és mekkora felületet kell hőálló bevonattal ellátni négyzetcentiméter mértékegységben (a henger alját nem kell számítani):
A mérnököknek elegendő egy tizedes jegyre kerekített érték!
A test két egyszerű testből áll össze: egy hengerből és egy kúpból.
A henger adatai: \(r = 31\), \(m_h = 81\).
A kúp adatai: \(r = 31\), \(m_k = 13\).
Térfogat
A henger térfogata: \(V_h = r^2\pi m_h = 31^2\cdot\pi\cdot 81\approx 244544.71\)
A kúp térfogata: \(V_k = \frac{r^2\pi m_k}{3} = \frac{31^2\pi 13}{3}\approx 13082.64\)
A keresett térfogat a két térfogat összege: \(V = V_h + V_k = 244544.71 + 13082.64 \approx 257627.4\)
Felszín
A kúp és a henger felszínéből is csak a palástok felszíne kell, az alapkör területe nem!
Henger palástja: \(A_h = 2r\pi m = 2\cdot 31\pi\cdot 81\approx 15777.08\)
A kúp palástjához először ki kell számolni a kúp alkotóját. A kúp magasságával és az alkotójával együtt derékszögű háromszöget alkotnak, azaz:
\(m^2 + r^2 = a^2\), vagyis \(13^2 + 31^2 = a^2\), ebből \(a\approx 33.615\).
A kúp palástja: \(A_k = r\pi a = 31\pi \cdot 33.615 \approx 3273.74\).
A két terület együtt: \(A = A_h + A_k = 15777.08 + 3273.74\approx 19050.8\).
A holdkutató robot hátán egy különleges üzemanyagtartály van. A tartály teste henger alakú, sugara 11 cm, magassága 27 cm, tetejét pedig egy kúp alakú zárófedél fedi, amelynek magassága 11 cm.
A mérnökök tudni szeretnék, hogy
mennyi üzemanyag fér a tartályba, köbcentiméter mértékegységben:
és mekkora felületet kell hőálló bevonattal ellátni négyzetcentiméter mértékegységben (a henger alját nem kell számítani):
A mérnököknek elegendő egy tizedes jegyre kerekített érték!
A test két egyszerű testből áll össze: egy hengerből és egy kúpból.
A henger adatai: \(r = 11\), \(m_h = 27\).
A kúp adatai: \(r = 11\), \(m_k = 11\).
Térfogat
A henger térfogata: \(V_h = r^2\pi m_h = 11^2\cdot\pi\cdot 27\approx 10263.58\)
A kúp térfogata: \(V_k = \frac{r^2\pi m_k}{3} = \frac{11^2\pi 11}{3}\approx 1393.82\)
A keresett térfogat a két térfogat összege: \(V = V_h + V_k = 10263.58 + 1393.82 \approx 11657.4\)
Felszín
A kúp és a henger felszínéből is csak a palástok felszíne kell, az alapkör területe nem!
Henger palástja: \(A_h = 2r\pi m = 2\cdot 11\pi\cdot 27\approx 1866.11\)
A kúp palástjához először ki kell számolni a kúp alkotóját. A kúp magasságával és az alkotójával együtt derékszögű háromszöget alkotnak, azaz:
\(m^2 + r^2 = a^2\), vagyis \(11^2 + 11^2 = a^2\), ebből \(a\approx 15.556\).
A kúp palástja: \(A_k = r\pi a = 11\pi \cdot 15.556 \approx 537.58\).
A két terület együtt: \(A = A_h + A_k = 1866.11 + 537.58\approx 2403.7\).
A holdkutató robot hátán egy különleges üzemanyagtartály van. A tartály teste henger alakú, sugara 19 cm, magassága 50 cm, tetejét pedig egy kúp alakú zárófedél fedi, amelynek magassága 5 cm.
A mérnökök tudni szeretnék, hogy
mennyi üzemanyag fér a tartályba, köbcentiméter mértékegységben:
és mekkora felületet kell hőálló bevonattal ellátni négyzetcentiméter mértékegységben (a henger alját nem kell számítani):
A mérnököknek elegendő egy tizedes jegyre kerekített érték!
A test két egyszerű testből áll össze: egy hengerből és egy kúpból.
A henger adatai: \(r = 19\), \(m_h = 50\).
A kúp adatai: \(r = 19\), \(m_k = 5\).
Térfogat
A henger térfogata: \(V_h = r^2\pi m_h = 19^2\cdot\pi\cdot 50\approx 56705.75\)
A kúp térfogata: \(V_k = \frac{r^2\pi m_k}{3} = \frac{19^2\pi 5}{3}\approx 1890.19\)
A keresett térfogat a két térfogat összege: \(V = V_h + V_k = 56705.75 + 1890.19 \approx 58595.9\)
Felszín
A kúp és a henger felszínéből is csak a palástok felszíne kell, az alapkör területe nem!
Henger palástja: \(A_h = 2r\pi m = 2\cdot 19\pi\cdot 50\approx 5969.03\)
A kúp palástjához először ki kell számolni a kúp alkotóját. A kúp magasságával és az alkotójával együtt derékszögű háromszöget alkotnak, azaz:
\(m^2 + r^2 = a^2\), vagyis \(5^2 + 19^2 = a^2\), ebből \(a\approx 19.647\).
A kúp palástja: \(A_k = r\pi a = 19\pi \cdot 19.647 \approx 1172.73\).
A két terület együtt: \(A = A_h + A_k = 5969.03 + 1172.73\approx 7141.8\).
A holdkutató robot hátán egy különleges üzemanyagtartály van. A tartály teste henger alakú, sugara 38 cm, magassága 84 cm, tetejét pedig egy kúp alakú zárófedél fedi, amelynek magassága 6 cm.
A mérnökök tudni szeretnék, hogy
mennyi üzemanyag fér a tartályba, köbcentiméter mértékegységben:
és mekkora felületet kell hőálló bevonattal ellátni négyzetcentiméter mértékegységben (a henger alját nem kell számítani):
A mérnököknek elegendő egy tizedes jegyre kerekített érték!
A test két egyszerű testből áll össze: egy hengerből és egy kúpból.
A henger adatai: \(r = 38\), \(m_h = 84\).
A kúp adatai: \(r = 38\), \(m_k = 6\).
Térfogat
A henger térfogata: \(V_h = r^2\pi m_h = 38^2\cdot\pi\cdot 84\approx 381062.62\)
A kúp térfogata: \(V_k = \frac{r^2\pi m_k}{3} = \frac{38^2\pi 6}{3}\approx 9072.92\)
A keresett térfogat a két térfogat összege: \(V = V_h + V_k = 381062.62 + 9072.92 \approx 390135.5\)
Felszín
A kúp és a henger felszínéből is csak a palástok felszíne kell, az alapkör területe nem!
Henger palástja: \(A_h = 2r\pi m = 2\cdot 38\pi\cdot 84\approx 20055.93\)
A kúp palástjához először ki kell számolni a kúp alkotóját. A kúp magasságával és az alkotójával együtt derékszögű háromszöget alkotnak, azaz:
\(m^2 + r^2 = a^2\), vagyis \(6^2 + 38^2 = a^2\), ebből \(a\approx 38.471\).
A kúp palástja: \(A_k = r\pi a = 38\pi \cdot 38.471 \approx 4592.69\).
A két terület együtt: \(A = A_h + A_k = 20055.93 + 4592.69\approx 24648.6\).