Kihívás - első alkalom
Szöveges feladat
Egy raktárban 205 darab áruval több van, mint egy másik raktárban lévő áru mennyiségének kétszerese.
Ha az egyik raktárból 75 darab árut elvisznek, a másikba pedig 220 darab árut visznek, a két raktárban ugyanannyi áru lesz.
Hány darab áru volt eredetileg az egyes raktárakban?
| egyik raktárban | |
| másik raktárban |
A második raktárban levő áru mennyiségét jelöljük \(x\)-szel (darab egységben). Azért a második raktárban levőét, mert ahhoz viszonyítja a feladat az első raktárban levő mennyiséget (ld. "mint egy másik raktárban").
Ekkor az első raktárban levő áru mennyisége \(2x+205\) darab.
A szállítások után az egyik raktárban \(2x+205 - 75\), a másikban \(x + 220\) darab áru lesz.
Az előbbi pontban a két kifejezés egyenlősége adja az egyenletet ("ugyanannyi áru lesz"): \(2x+205 - 75 = x + 220\)
Az egyenlet megoldása: \(x = 90\). Ez a második raktárban eredetileg tárolt áru mennyisége.
Az első raktárban levő eredeti mennyiséget pedig az először felírt \(2x+205\) képletbe helyettesítés után kapjuk meg: \(2\cdot 90 +205 = 385\).
Egy raktárban 182 tonna áruval kevesebb van, mint egy másik raktárban lévő áru mennyiségének háromszorosa.
Ha az egyik raktárból 67 tonna árut elvisznek, a másikba pedig 155 tonna árut visznek, a két raktárban ugyanannyi áru lesz.
Hány tonna áru volt eredetileg az egyes raktárakban?
| egyik raktárban | |
| másik raktárban |
A második raktárban levő áru mennyiségét jelöljük \(x\)-szel (tonna egységben). Azért a második raktárban levőét, mert ahhoz viszonyítja a feladat az első raktárban levő mennyiséget (ld. "mint egy másik raktárban").
Ekkor az első raktárban levő áru mennyisége \(3x-182\) tonna.
A szállítások után az egyik raktárban \(3x-182 - 67\), a másikban \(x + 155\) tonna áru lesz.
Az előbbi pontban a két kifejezés egyenlősége adja az egyenletet ("ugyanannyi áru lesz"): \(3x-182 - 67 = x + 155\)
Az egyenlet megoldása: \(x = 202\). Ez a második raktárban eredetileg tárolt áru mennyisége.
Az első raktárban levő eredeti mennyiséget pedig az először felírt \(3x-182\) képletbe helyettesítés után kapjuk meg: \(3\cdot 202 -182 = 424\).
Egy raktárban 1260 darab áruval kevesebb van, mint egy másik raktárban lévő áru mennyiségének ötszöröse.
Ha az egyik raktárból 53 darab árut elvisznek, a másikba pedig 95 darab árut visznek, a két raktárban ugyanannyi áru lesz.
Hány darab áru volt eredetileg az egyes raktárakban?
| egyik raktárban | |
| másik raktárban |
A második raktárban levő áru mennyiségét jelöljük \(x\)-szel (darab egységben). Azért a második raktárban levőét, mert ahhoz viszonyítja a feladat az első raktárban levő mennyiséget (ld. "mint egy másik raktárban").
Ekkor az első raktárban levő áru mennyisége \(5x-1260\) darab.
A szállítások után az egyik raktárban \(5x-1260 - 53\), a másikban \(x + 95\) darab áru lesz.
Az előbbi pontban a két kifejezés egyenlősége adja az egyenletet ("ugyanannyi áru lesz"): \(5x-1260 - 53 = x + 95\)
Az egyenlet megoldása: \(x = 352\). Ez a második raktárban eredetileg tárolt áru mennyisége.
Az első raktárban levő eredeti mennyiséget pedig az először felírt \(5x-1260\) képletbe helyettesítés után kapjuk meg: \(5\cdot 352 -1260 = 500\).
Egy raktárban 24 darab áruval kevesebb van, mint egy másik raktárban lévő áru mennyiségének kétszerese.
Ha az egyik raktárból 49 darab árut elvisznek, a másikba pedig 85 darab árut visznek, a két raktárban ugyanannyi áru lesz.
Hány darab áru volt eredetileg az egyes raktárakban?
| egyik raktárban | |
| másik raktárban |
A második raktárban levő áru mennyiségét jelöljük \(x\)-szel (darab egységben). Azért a második raktárban levőét, mert ahhoz viszonyítja a feladat az első raktárban levő mennyiséget (ld. "mint egy másik raktárban").
Ekkor az első raktárban levő áru mennyisége \(2x-24\) darab.
A szállítások után az egyik raktárban \(2x-24 - 49\), a másikban \(x + 85\) darab áru lesz.
Az előbbi pontban a két kifejezés egyenlősége adja az egyenletet ("ugyanannyi áru lesz"): \(2x-24 - 49 = x + 85\)
Az egyenlet megoldása: \(x = 158\). Ez a második raktárban eredetileg tárolt áru mennyisége.
Az első raktárban levő eredeti mennyiséget pedig az először felírt \(2x-24\) képletbe helyettesítés után kapjuk meg: \(2\cdot 158 -24 = 292\).
Egy raktárban 195 tonna áruval kevesebb van, mint egy másik raktárban lévő áru mennyiségének kétszerese.
Ha az egyik raktárból 68 tonna árut elvisznek, a másikba pedig 41 tonna árut visznek, a két raktárban ugyanannyi áru lesz.
Hány tonna áru volt eredetileg az egyes raktárakban?
| egyik raktárban | |
| másik raktárban |
A második raktárban levő áru mennyiségét jelöljük \(x\)-szel (tonna egységben). Azért a második raktárban levőét, mert ahhoz viszonyítja a feladat az első raktárban levő mennyiséget (ld. "mint egy másik raktárban").
Ekkor az első raktárban levő áru mennyisége \(2x-195\) tonna.
A szállítások után az egyik raktárban \(2x-195 - 68\), a másikban \(x + 41\) tonna áru lesz.
Az előbbi pontban a két kifejezés egyenlősége adja az egyenletet ("ugyanannyi áru lesz"): \(2x-195 - 68 = x + 41\)
Az egyenlet megoldása: \(x = 304\). Ez a második raktárban eredetileg tárolt áru mennyisége.
Az első raktárban levő eredeti mennyiséget pedig az először felírt \(2x-195\) képletbe helyettesítés után kapjuk meg: \(2\cdot 304 -195 = 413\).
Háromszögek
Egy háromszög egy belső szöge \(18^\circ\), egy másik szög külső szöge \(31^\circ\).
Hány fokos a harmadik szöge?
Első megoldás
A külső szög mellett fekvő belső szög a külső szög kiegészítő szöge (180 fokra egészítik ki egymást), azaz \(180^\circ - 31^\circ = 149^\circ\).
Ezután a két ismert belső szög (a megadott \(18^\circ\) és a most kiszámolt \(149^\circ\)) összegét kivonjuk a 180 fokból.
Másik megoldás
Egy háromszög külső szöge megegyezik a nem mellette fekvő két belső szög összegével.
Azaz a megadott külső szög egyenlő a megadott belső és a hiányzó belső szög összegével, tehát a külső szögből kivonjuk a megadott belső szöget: \(31^\circ - 18^\circ\).
Egy háromszög egy belső szöge \(8^\circ\), egy másik szög külső szöge \(24^\circ\).
Hány fokos a harmadik szöge?
Első megoldás
A külső szög mellett fekvő belső szög a külső szög kiegészítő szöge (180 fokra egészítik ki egymást), azaz \(180^\circ - 24^\circ = 156^\circ\).
Ezután a két ismert belső szög (a megadott \(8^\circ\) és a most kiszámolt \(156^\circ\)) összegét kivonjuk a 180 fokból.
Másik megoldás
Egy háromszög külső szöge megegyezik a nem mellette fekvő két belső szög összegével.
Azaz a megadott külső szög egyenlő a megadott belső és a hiányzó belső szög összegével, tehát a külső szögből kivonjuk a megadott belső szöget: \(24^\circ - 8^\circ\).
Egy háromszög egy belső szöge \(87^\circ\), egy másik szög külső szöge \(178^\circ\).
Hány fokos a harmadik szöge?
Első megoldás
A külső szög mellett fekvő belső szög a külső szög kiegészítő szöge (180 fokra egészítik ki egymást), azaz \(180^\circ - 178^\circ = 2^\circ\).
Ezután a két ismert belső szög (a megadott \(87^\circ\) és a most kiszámolt \(2^\circ\)) összegét kivonjuk a 180 fokból.
Másik megoldás
Egy háromszög külső szöge megegyezik a nem mellette fekvő két belső szög összegével.
Azaz a megadott külső szög egyenlő a megadott belső és a hiányzó belső szög összegével, tehát a külső szögből kivonjuk a megadott belső szöget: \(178^\circ - 87^\circ\).
Egy háromszög egy belső szöge \(156^\circ\), egy másik szög külső szöge \(157^\circ\).
Hány fokos a harmadik szöge?
Első megoldás
A külső szög mellett fekvő belső szög a külső szög kiegészítő szöge (180 fokra egészítik ki egymást), azaz \(180^\circ - 157^\circ = 23^\circ\).
Ezután a két ismert belső szög (a megadott \(156^\circ\) és a most kiszámolt \(23^\circ\)) összegét kivonjuk a 180 fokból.
Másik megoldás
Egy háromszög külső szöge megegyezik a nem mellette fekvő két belső szög összegével.
Azaz a megadott külső szög egyenlő a megadott belső és a hiányzó belső szög összegével, tehát a külső szögből kivonjuk a megadott belső szöget: \(157^\circ - 156^\circ\).
Egy háromszög egy belső szöge \(64^\circ\), egy másik szög külső szöge \(113^\circ\).
Hány fokos a harmadik szöge?
Első megoldás
A külső szög mellett fekvő belső szög a külső szög kiegészítő szöge (180 fokra egészítik ki egymást), azaz \(180^\circ - 113^\circ = 67^\circ\).
Ezután a két ismert belső szög (a megadott \(64^\circ\) és a most kiszámolt \(67^\circ\)) összegét kivonjuk a 180 fokból.
Másik megoldás
Egy háromszög külső szöge megegyezik a nem mellette fekvő két belső szög összegével.
Azaz a megadott külső szög egyenlő a megadott belső és a hiányzó belső szög összegével, tehát a külső szögből kivonjuk a megadott belső szöget: \(113^\circ - 64^\circ\).
Logika
Melyik állítás az alábbi állítás tagadása?
Albert inge kék.
A tagadás egy olyan állítás, amely pontosan akkor igaz, ha az eredeti állítás hamis. És persze akkor hamis, amikor az eredeti állítás igaz. Minden konkrét esetre érvényes!
Azaz ha egy tárgy kék színű, annak nem tagadása az, hogy az a tárgy pl. zöld, mivel ha épp piros, akkor az eredeti állítás (kék) is hamis és az is hamis, hogy zöld.
Ha egy tárgy kék, annak nem tagadása, hogy egy másik tárgy is kék (vagy épp nem kék), mivel a két tárgy színe független egymástól.
Összegezve: egy ilyen egyszerű állítás tagadása az, hogy a jelző (jelen esetben a szín) elé egy "nem"-szócskát teszünk.
Melyik állítás az alábbi állítás tagadása?
Bertold hátizsákja kék.
A tagadás egy olyan állítás, amely pontosan akkor igaz, ha az eredeti állítás hamis. És persze akkor hamis, amikor az eredeti állítás igaz. Minden konkrét esetre érvényes!
Azaz ha egy tárgy kék színű, annak nem tagadása az, hogy az a tárgy pl. fekete, mivel ha épp fehér, akkor az eredeti állítás (kék) is hamis és az is hamis, hogy fekete.
Ha egy tárgy kék, annak nem tagadása, hogy egy másik tárgy is kék (vagy épp nem kék), mivel a két tárgy színe független egymástól.
Összegezve: egy ilyen egyszerű állítás tagadása az, hogy a jelző (jelen esetben a szín) elé egy "nem"-szócskát teszünk.
Melyik állítás az alábbi állítás tagadása?
Bertold inge zöld.
A tagadás egy olyan állítás, amely pontosan akkor igaz, ha az eredeti állítás hamis. És persze akkor hamis, amikor az eredeti állítás igaz. Minden konkrét esetre érvényes!
Azaz ha egy tárgy zöld színű, annak nem tagadása az, hogy az a tárgy pl. piros, mivel ha épp fekete, akkor az eredeti állítás (zöld) is hamis és az is hamis, hogy piros.
Ha egy tárgy zöld, annak nem tagadása, hogy egy másik tárgy is zöld (vagy épp nem zöld), mivel a két tárgy színe független egymástól.
Összegezve: egy ilyen egyszerű állítás tagadása az, hogy a jelző (jelen esetben a szín) elé egy "nem"-szócskát teszünk.
Melyik állítás az alábbi állítás tagadása?
Albert hátizsákja fehér.
A tagadás egy olyan állítás, amely pontosan akkor igaz, ha az eredeti állítás hamis. És persze akkor hamis, amikor az eredeti állítás igaz. Minden konkrét esetre érvényes!
Azaz ha egy tárgy fehér színű, annak nem tagadása az, hogy az a tárgy pl. zöld, mivel ha épp kék, akkor az eredeti állítás (fehér) is hamis és az is hamis, hogy zöld.
Ha egy tárgy fehér, annak nem tagadása, hogy egy másik tárgy is fehér (vagy épp nem fehér), mivel a két tárgy színe független egymástól.
Összegezve: egy ilyen egyszerű állítás tagadása az, hogy a jelző (jelen esetben a szín) elé egy "nem"-szócskát teszünk.
Melyik állítás az alábbi állítás tagadása?
Csongor táskája fehér.
A tagadás egy olyan állítás, amely pontosan akkor igaz, ha az eredeti állítás hamis. És persze akkor hamis, amikor az eredeti állítás igaz. Minden konkrét esetre érvényes!
Azaz ha egy tárgy fehér színű, annak nem tagadása az, hogy az a tárgy pl. zöld, mivel ha épp kék, akkor az eredeti állítás (fehér) is hamis és az is hamis, hogy zöld.
Ha egy tárgy fehér, annak nem tagadása, hogy egy másik tárgy is fehér (vagy épp nem fehér), mivel a két tárgy színe független egymástól.
Összegezve: egy ilyen egyszerű állítás tagadása az, hogy a jelző (jelen esetben a szín) elé egy "nem"-szócskát teszünk.
Másodfokú egyenlet
Határozd meg az alábbi egyenlet gyökeit (megoldásait)!
\(0 = -17,5x-7x^{2}\)
| \(x_1=\) | |
| \(x_2=\) |
(Az \(x_1\) legyen a nagyobbik, \(x_2\) a kisebbik megoldás!)
Az egyenletet először nullára kell redukálni:
\(7x^{2}+17,5x = 0\) (vagy \(0 = -7x^{2}-17,5x\))
Ezután a megoldóképletbe kell behelyettesíteni vagy a számológép megfelelő funkcióját használni.
A megoldások: \(x_1 = 0\) és \(x_2 = -2.5\).
Határozd meg az alábbi egyenlet gyökeit (megoldásait)!
\(-x^{2}+x = -32,8125\)
| \(x_1=\) | |
| \(x_2=\) |
(Az \(x_1\) legyen a nagyobbik, \(x_2\) a kisebbik megoldás!)
Az egyenletet először nullára kell redukálni:
\(-x^{2}+x+32,8125 = 0\) (vagy \(0 = x^{2}-x-32,8125\))
Ezután a megoldóképletbe kell behelyettesíteni vagy a számológép megfelelő funkcióját használni.
A megoldások: \(x_1 = 6.25\) és \(x_2 = -5.25\).
Határozd meg az alábbi egyenlet gyökeit (megoldásait)!
\(-2x^{2}+18,5x = 42\)
| \(x_1=\) | |
| \(x_2=\) |
(Az \(x_1\) legyen a nagyobbik, \(x_2\) a kisebbik megoldás!)
Az egyenletet először nullára kell redukálni:
\(-2x^{2}+18,5x-42 = 0\) (vagy \(0 = 2x^{2}-18,5x+42\))
Ezután a megoldóképletbe kell behelyettesíteni vagy a számológép megfelelő funkcióját használni.
A megoldások: \(x_1 = 5.25\) és \(x_2 = 4\).
Határozd meg az alábbi egyenlet gyökeit (megoldásait)!
\(10x = -5x^{2}+75\)
| \(x_1=\) | |
| \(x_2=\) |
(Az \(x_1\) legyen a nagyobbik, \(x_2\) a kisebbik megoldás!)
Az egyenletet először nullára kell redukálni:
\(5x^{2}+10x-75 = 0\) (vagy \(0 = -5x^{2}-10x+75\))
Ezután a megoldóképletbe kell behelyettesíteni vagy a számológép megfelelő funkcióját használni.
A megoldások: \(x_1 = 3\) és \(x_2 = -5\).
Határozd meg az alábbi egyenlet gyökeit (megoldásait)!
\(-46,5x = 11,25+6x^{2}\)
| \(x_1=\) | |
| \(x_2=\) |
(Az \(x_1\) legyen a nagyobbik, \(x_2\) a kisebbik megoldás!)
Az egyenletet először nullára kell redukálni:
\(-6x^{2}-46,5x-11,25 = 0\) (vagy \(0 = 6x^{2}+46,5x+11,25\))
Ezután a megoldóképletbe kell behelyettesíteni vagy a számológép megfelelő funkcióját használni.
A megoldások: \(x_1 = -0.25\) és \(x_2 = -7.5\).
Exponenciális
Egy radioaktív anyag bomlását az alábbi exponenciális összefüggés írja le:
\(\displaystyle m(t) = m_0\cdot 2^{-t/T_{1/2}}\),
ahol \(m(t)\) a még megmaradt anyag tömege \(t\) időpontban, \(m_0\) a kezdeti anyag tömege, \(T_{1/2}\) a felezési idő, \(t\) az eltelt idő (órában).
Egy radioaktív izotóp kezdetben 2000 mg volt, és felezési ideje 141.25 óra. Mennyi anyag marad 1036.625 óra elteltével? Válaszodat milligrammban, 2 tizedes jegyre kerekítve add meg!
Adatok kigyűjtése
A képletben megjelenő jelöléseket használva:
\(m_0 = 2000\) (mg)
\(T_{1/2} = 141.25\) (óra)
\(t = 1036.625\) (óra)
Behelyettesítés
A megadott képletbe behelyettesítve:
\(m(t) = 2000\cdot 2^{-1036.625 / 141.25}\),
majd kiszámolva: \(m(t) = 12.35\).
Figyelj arra, hogy a kitevőt rakd zárójelbe, vagy először azt számold ki külön és az eredmény kerüljön a kettő kitevőjébe!
Egy radioaktív anyag bomlását az alábbi exponenciális összefüggés írja le:
\(\displaystyle m(t) = m_0\cdot 2^{-t/T_{1/2}}\),
ahol \(m(t)\) a még megmaradt anyag tömege \(t\) időpontban, \(m_0\) a kezdeti anyag tömege, \(T_{1/2}\) a felezési idő, \(t\) az eltelt idő (órában).
Egy radioaktív izotóp kezdetben 1100 mg volt, és felezési ideje 95 óra. Mennyi anyag marad 740.5 óra elteltével? Válaszodat milligrammban, 3 tizedes jegyre kerekítve add meg!
Adatok kigyűjtése
A képletben megjelenő jelöléseket használva:
\(m_0 = 1100\) (mg)
\(T_{1/2} = 95\) (óra)
\(t = 740.5\) (óra)
Behelyettesítés
A megadott képletbe behelyettesítve:
\(m(t) = 1100\cdot 2^{-740.5 / 95}\),
majd kiszámolva: \(m(t) = 4.954\).
Figyelj arra, hogy a kitevőt rakd zárójelbe, vagy először azt számold ki külön és az eredmény kerüljön a kettő kitevőjébe!
Egy radioaktív anyag bomlását az alábbi exponenciális összefüggés írja le:
\(\displaystyle m(t) = m_0\cdot 2^{-t/T_{1/2}}\),
ahol \(m(t)\) a még megmaradt anyag tömege \(t\) időpontban, \(m_0\) a kezdeti anyag tömege, \(T_{1/2}\) a felezési idő, \(t\) az eltelt idő (órában).
Egy radioaktív izotóp kezdetben 2000 mg volt, és felezési ideje 50 óra. Mennyi anyag marad 394 óra elteltével? Válaszodat milligrammban, 3 tizedes jegyre kerekítve add meg!
Adatok kigyűjtése
A képletben megjelenő jelöléseket használva:
\(m_0 = 2000\) (mg)
\(T_{1/2} = 50\) (óra)
\(t = 394\) (óra)
Behelyettesítés
A megadott képletbe behelyettesítve:
\(m(t) = 2000\cdot 2^{-394 / 50}\),
majd kiszámolva: \(m(t) = 8.49\).
Figyelj arra, hogy a kitevőt rakd zárójelbe, vagy először azt számold ki külön és az eredmény kerüljön a kettő kitevőjébe!
Egy radioaktív anyag bomlását az alábbi exponenciális összefüggés írja le:
\(\displaystyle m(t) = m_0\cdot 2^{-t/T_{1/2}}\),
ahol \(m(t)\) a még megmaradt anyag tömege \(t\) időpontban, \(m_0\) a kezdeti anyag tömege, \(T_{1/2}\) a felezési idő, \(t\) az eltelt idő (órában).
Egy radioaktív izotóp kezdetben 500 mg volt, és felezési ideje 53.25 óra. Mennyi anyag marad 292.625 óra elteltével? Válaszodat milligrammban, 2 tizedes jegyre kerekítve add meg!
Adatok kigyűjtése
A képletben megjelenő jelöléseket használva:
\(m_0 = 500\) (mg)
\(T_{1/2} = 53.25\) (óra)
\(t = 292.625\) (óra)
Behelyettesítés
A megadott képletbe behelyettesítve:
\(m(t) = 500\cdot 2^{-292.625 / 53.25}\),
majd kiszámolva: \(m(t) = 11.08\).
Figyelj arra, hogy a kitevőt rakd zárójelbe, vagy először azt számold ki külön és az eredmény kerüljön a kettő kitevőjébe!
Egy radioaktív anyag bomlását az alábbi exponenciális összefüggés írja le:
\(\displaystyle m(t) = m_0\cdot 2^{-t/T_{1/2}}\),
ahol \(m(t)\) a még megmaradt anyag tömege \(t\) időpontban, \(m_0\) a kezdeti anyag tömege, \(T_{1/2}\) a felezési idő, \(t\) az eltelt idő (órában).
Egy radioaktív izotóp kezdetben 1100 mg volt, és felezési ideje 134.25 óra. Mennyi anyag marad 1617.125 óra elteltével? Válaszodat milligrammban, 4 tizedes jegyre kerekítve add meg!
Adatok kigyűjtése
A képletben megjelenő jelöléseket használva:
\(m_0 = 1100\) (mg)
\(T_{1/2} = 134.25\) (óra)
\(t = 1617.125\) (óra)
Behelyettesítés
A megadott képletbe behelyettesítve:
\(m(t) = 1100\cdot 2^{-1617.125 / 134.25}\),
majd kiszámolva: \(m(t) = 0.2602\).
Figyelj arra, hogy a kitevőt rakd zárójelbe, vagy először azt számold ki külön és az eredmény kerüljön a kettő kitevőjébe!
Kombinatorika
Egy kártyapakliban összesen 9 kártya van. Kezdeti kiosztáskor mindenki 4 lapot kap, a maradék 1 lap talonba kerül.
Hányféle kezdeti kiosztás lehetséges?
Összesen \(9 - 1 = 8\) kártyát osztanak ki úgy, hogy mindenki 4 kártyát kap, azaz \(\frac{8}{4} = 2\) fő játszik.
Az első játékos a teljes pakliból kap, ez \(\left(\begin{array}{c} 9 \\ 4 \end{array} \right)\)-féleképpen lehet, hiszen a kiosztás sorrendje nem számít.
A második játékos már csak \(5\) lapból kaphat (hiszen 4 lapot már kiosztottunk), ez \(\left(\begin{array}{c} 5 \\ 4 \end{array} \right)\)-féleképpen lehetséges.
És így tovább, a lehetőségeket pedig össze kell szorozni (hiszen és kötőszóval kapcsoljuk össze a lépéseket):
\(\left(\begin{array}{c} 9 \\ 4 \end{array} \right)\cdot\left(\begin{array}{c} 5 \\ 4 \end{array} \right) = 630\)
Egy kártyapakliban összesen 13 kártya van. Kezdeti kiosztáskor mindenki 4 lapot kap, a maradék 1 lap talonba kerül.
Hányféle kezdeti kiosztás lehetséges?
Összesen \(13 - 1 = 12\) kártyát osztanak ki úgy, hogy mindenki 4 kártyát kap, azaz \(\frac{12}{4} = 3\) fő játszik.
Az első játékos a teljes pakliból kap, ez \(\left(\begin{array}{c} 13 \\ 4 \end{array} \right)\)-féleképpen lehet, hiszen a kiosztás sorrendje nem számít.
A második játékos már csak \(9\) lapból kaphat (hiszen 4 lapot már kiosztottunk), ez \(\left(\begin{array}{c} 9 \\ 4 \end{array} \right)\)-féleképpen lehetséges.
És így tovább, a lehetőségeket pedig össze kell szorozni (hiszen és kötőszóval kapcsoljuk össze a lépéseket):
\(\left(\begin{array}{c} 13 \\ 4 \end{array} \right)\cdot\left(\begin{array}{c} 9 \\ 4 \end{array} \right)\cdot\left(\begin{array}{c} 5 \\ 4 \end{array} \right) = 450450\)
Egy kártyapakliban összesen 11 kártya van. Kezdeti kiosztáskor mindenki 3 lapot kap, a maradék 2 lap talonba kerül.
Hányféle kezdeti kiosztás lehetséges?
Összesen \(11 - 2 = 9\) kártyát osztanak ki úgy, hogy mindenki 3 kártyát kap, azaz \(\frac{9}{3} = 3\) fő játszik.
Az első játékos a teljes pakliból kap, ez \(\left(\begin{array}{c} 11 \\ 3 \end{array} \right)\)-féleképpen lehet, hiszen a kiosztás sorrendje nem számít.
A második játékos már csak \(8\) lapból kaphat (hiszen 3 lapot már kiosztottunk), ez \(\left(\begin{array}{c} 8 \\ 3 \end{array} \right)\)-féleképpen lehetséges.
És így tovább, a lehetőségeket pedig össze kell szorozni (hiszen és kötőszóval kapcsoljuk össze a lépéseket):
\(\left(\begin{array}{c} 11 \\ 3 \end{array} \right)\cdot\left(\begin{array}{c} 8 \\ 3 \end{array} \right)\cdot\left(\begin{array}{c} 5 \\ 3 \end{array} \right) = 92400\)
Egy kártyapakliban összesen 14 kártya van. Kezdeti kiosztáskor mindenki 4 lapot kap, a maradék 2 lap talonba kerül.
Hányféle kezdeti kiosztás lehetséges?
Összesen \(14 - 2 = 12\) kártyát osztanak ki úgy, hogy mindenki 4 kártyát kap, azaz \(\frac{12}{4} = 3\) fő játszik.
Az első játékos a teljes pakliból kap, ez \(\left(\begin{array}{c} 14 \\ 4 \end{array} \right)\)-féleképpen lehet, hiszen a kiosztás sorrendje nem számít.
A második játékos már csak \(10\) lapból kaphat (hiszen 4 lapot már kiosztottunk), ez \(\left(\begin{array}{c} 10 \\ 4 \end{array} \right)\)-féleképpen lehetséges.
És így tovább, a lehetőségeket pedig össze kell szorozni (hiszen és kötőszóval kapcsoljuk össze a lépéseket):
\(\left(\begin{array}{c} 14 \\ 4 \end{array} \right)\cdot\left(\begin{array}{c} 10 \\ 4 \end{array} \right)\cdot\left(\begin{array}{c} 6 \\ 4 \end{array} \right) = 3153150\)
Egy kártyapakliban összesen 14 kártya van. Kezdeti kiosztáskor mindenki 3 lapot kap, a maradék 2 lap talonba kerül.
Hányféle kezdeti kiosztás lehetséges?
Összesen \(14 - 2 = 12\) kártyát osztanak ki úgy, hogy mindenki 3 kártyát kap, azaz \(\frac{12}{3} = 4\) fő játszik.
Az első játékos a teljes pakliból kap, ez \(\left(\begin{array}{c} 14 \\ 3 \end{array} \right)\)-féleképpen lehet, hiszen a kiosztás sorrendje nem számít.
A második játékos már csak \(11\) lapból kaphat (hiszen 3 lapot már kiosztottunk), ez \(\left(\begin{array}{c} 11 \\ 3 \end{array} \right)\)-féleképpen lehetséges.
És így tovább, a lehetőségeket pedig össze kell szorozni (hiszen és kötőszóval kapcsoljuk össze a lépéseket):
\(\left(\begin{array}{c} 14 \\ 3 \end{array} \right)\cdot\left(\begin{array}{c} 11 \\ 3 \end{array} \right)\cdot\left(\begin{array}{c} 8 \\ 3 \end{array} \right)\cdot\left(\begin{array}{c} 5 \\ 3 \end{array} \right) = 33633600\)
Sorozatok
Egy tartalomgyártó úgy dönt, hogy egy nagyobb projekt keretében 6 hónapon át minden héten elkészít egy videót, amelyek hossza fokozatosan növekszik. Az első videó 8 perc, minden következő videó pedig 12 másodperccel hosszabb, mint az előző.
Mivel a projekt 24 hétig tart, a készítő szeretné tudni, hány percnyi videót gyárt összesen ez alatt a 24 hét alatt, hogy ezt feltüntethesse a közönségének szóló összefoglalóban.
A videók hossza egy számtani sorozatot alkot, amelynek első tagja \(a_1 = 8\) (perc), a differenciája pedig \(d = \frac{12}{60} = 0.2\) (perc).
A feladat az összes 24 videó összhosszát kérdezi, azaz a kérdés most az \(S_n\).
A képlet szerint: \(S_{24} = 24\cdot \frac{2\cdot 8 + (24 - 1)\cdot 0.2}{2}\)
Kiszámolva: 247.2 perc.
Megjegyzés: természetesen fel lehet írni az összes tagot egyesével és azokat összeadni:
\(8 + 8.2 + 8.4 + 8.6 + 8.8 + 9 + 9.2 + 9.4 + 9.6 + 9.8 + 10 + 10.2 + 10.4 + 10.6 + 10.8 + 11 + 11.2 + 11.4 + 11.6 + 11.8 + 12 + 12.2 + 12.4 + 12.6 = 247.2\).
Egy tartalomgyártó úgy dönt, hogy egy nagyobb projekt keretében 3 hónapon át minden héten elkészít egy videót, amelyek hossza fokozatosan növekszik. Az első videó 4 perc, minden következő videó pedig 36 másodperccel hosszabb, mint az előző.
Mivel a projekt 12 hétig tart, a készítő szeretné tudni, hány percnyi videót gyárt összesen ez alatt a 12 hét alatt, hogy ezt feltüntethesse a közönségének szóló összefoglalóban.
A videók hossza egy számtani sorozatot alkot, amelynek első tagja \(a_1 = 4\) (perc), a differenciája pedig \(d = \frac{36}{60} = 0.6\) (perc).
A feladat az összes 12 videó összhosszát kérdezi, azaz a kérdés most az \(S_n\).
A képlet szerint: \(S_{12} = 12\cdot \frac{2\cdot 4 + (12 - 1)\cdot 0.6}{2}\)
Kiszámolva: 87.6 perc.
Megjegyzés: természetesen fel lehet írni az összes tagot egyesével és azokat összeadni:
\(4 + 4.6 + 5.2 + 5.8 + 6.4 + 7 + 7.6 + 8.2 + 8.8 + 9.4 + 10 + 10.6 = 87.6\).
Egy tartalomgyártó úgy dönt, hogy egy nagyobb projekt keretében 6 hónapon át minden héten elkészít egy videót, amelyek hossza fokozatosan növekszik. Az első videó 7 perc, minden következő videó pedig 6 másodperccel hosszabb, mint az előző.
Mivel a projekt 24 hétig tart, a készítő szeretné tudni, hány percnyi videót gyárt összesen ez alatt a 24 hét alatt, hogy ezt feltüntethesse a közönségének szóló összefoglalóban.
A videók hossza egy számtani sorozatot alkot, amelynek első tagja \(a_1 = 7\) (perc), a differenciája pedig \(d = \frac{6}{60} = 0.1\) (perc).
A feladat az összes 24 videó összhosszát kérdezi, azaz a kérdés most az \(S_n\).
A képlet szerint: \(S_{24} = 24\cdot \frac{2\cdot 7 + (24 - 1)\cdot 0.1}{2}\)
Kiszámolva: 195.6 perc.
Megjegyzés: természetesen fel lehet írni az összes tagot egyesével és azokat összeadni:
\(7 + 7.1 + 7.2 + 7.3 + 7.4 + 7.5 + 7.6 + 7.7 + 7.8 + 7.9 + 8 + 8.1 + 8.2 + 8.3 + 8.4 + 8.5 + 8.6 + 8.7 + 8.8 + 8.9 + 9 + 9.1 + 9.2 + 9.3 = 195.6\).
Egy tartalomgyártó úgy dönt, hogy egy nagyobb projekt keretében 2 hónapon át minden héten elkészít egy videót, amelyek hossza fokozatosan növekszik. Az első videó 3 perc, minden következő videó pedig 9 másodperccel hosszabb, mint az előző.
Mivel a projekt 8 hétig tart, a készítő szeretné tudni, hány percnyi videót gyárt összesen ez alatt a 8 hét alatt, hogy ezt feltüntethesse a közönségének szóló összefoglalóban.
A videók hossza egy számtani sorozatot alkot, amelynek első tagja \(a_1 = 3\) (perc), a differenciája pedig \(d = \frac{9}{60} = 0.15\) (perc).
A feladat az összes 8 videó összhosszát kérdezi, azaz a kérdés most az \(S_n\).
A képlet szerint: \(S_{8} = 8\cdot \frac{2\cdot 3 + (8 - 1)\cdot 0.15}{2}\)
Kiszámolva: 28.2 perc.
Megjegyzés: természetesen fel lehet írni az összes tagot egyesével és azokat összeadni:
\(3 + 3.15 + 3.3 + 3.45 + 3.6 + 3.75 + 3.9 + 4.05 = 28.2\).
Egy tartalomgyártó úgy dönt, hogy egy nagyobb projekt keretében 5 hónapon át minden héten elkészít egy videót, amelyek hossza fokozatosan növekszik. Az első videó 7 perc, minden következő videó pedig 36 másodperccel hosszabb, mint az előző.
Mivel a projekt 20 hétig tart, a készítő szeretné tudni, hány percnyi videót gyárt összesen ez alatt a 20 hét alatt, hogy ezt feltüntethesse a közönségének szóló összefoglalóban.
A videók hossza egy számtani sorozatot alkot, amelynek első tagja \(a_1 = 7\) (perc), a differenciája pedig \(d = \frac{36}{60} = 0.6\) (perc).
A feladat az összes 20 videó összhosszát kérdezi, azaz a kérdés most az \(S_n\).
A képlet szerint: \(S_{20} = 20\cdot \frac{2\cdot 7 + (20 - 1)\cdot 0.6}{2}\)
Kiszámolva: 254 perc.
Megjegyzés: természetesen fel lehet írni az összes tagot egyesével és azokat összeadni:
\(7 + 7.6 + 8.2 + 8.8 + 9.4 + 10 + 10.6 + 11.2 + 11.8 + 12.4 + 13 + 13.6 + 14.2 + 14.8 + 15.4 + 16 + 16.6 + 17.2 + 17.8 + 18.4 = 254\).
Térgeometria
A holdkutató robot hátán egy különleges üzemanyagtartály van. A tartály teste henger alakú, sugara 22 cm, magassága 65 cm, tetejét pedig egy kúp alakú zárófedél fedi, amelynek magassága 11 cm.
A mérnökök tudni szeretnék, hogy
mennyi üzemanyag fér a tartályba, köbcentiméter mértékegységben:
és mekkora felületet kell hőálló bevonattal ellátni négyzetcentiméter mértékegységben (a henger alját nem kell számítani):
A mérnököknek elegendő egy tizedes jegyre kerekített érték!
A test két egyszerű testből áll össze: egy hengerből és egy kúpból.
A henger adatai: \(r = 22\), \(m_h = 65\).
A kúp adatai: \(r = 22\), \(m_k = 11\).
Térfogat
A henger térfogata: \(V_h = r^2\pi m_h = 22^2\cdot\pi\cdot 65\approx 98834.5\)
A kúp térfogata: \(V_k = \frac{r^2\pi m_k}{3} = \frac{22^2\pi 11}{3}\approx 5575.28\)
A keresett térfogat a két térfogat összege: \(V = V_h + V_k = 98834.5 + 5575.28 \approx 104409.8\)
Felszín
A kúp és a henger felszínéből is csak a palástok felszíne kell, az alapkör területe nem!
Henger palástja: \(A_h = 2r\pi m = 2\cdot 22\pi\cdot 65\approx 8984.95\)
A kúp palástjához először ki kell számolni a kúp alkotóját. A kúp magasságával és az alkotójával együtt derékszögű háromszöget alkotnak, azaz:
\(m^2 + r^2 = a^2\), vagyis \(11^2 + 22^2 = a^2\), ebből \(a\approx 24.597\).
A kúp palástja: \(A_k = r\pi a = 22\pi \cdot 24.597 \approx 1700.02\).
A két terület együtt: \(A = A_h + A_k = 8984.95 + 1700.02\approx 10685\).
A holdkutató robot hátán egy különleges üzemanyagtartály van. A tartály teste henger alakú, sugara 38 cm, magassága 99 cm, tetejét pedig egy kúp alakú zárófedél fedi, amelynek magassága 10 cm.
A mérnökök tudni szeretnék, hogy
mennyi üzemanyag fér a tartályba, köbcentiméter mértékegységben:
és mekkora felületet kell hőálló bevonattal ellátni négyzetcentiméter mértékegységben (a henger alját nem kell számítani):
A mérnököknek elegendő egy tizedes jegyre kerekített érték!
A test két egyszerű testből áll össze: egy hengerből és egy kúpból.
A henger adatai: \(r = 38\), \(m_h = 99\).
A kúp adatai: \(r = 38\), \(m_k = 10\).
Térfogat
A henger térfogata: \(V_h = r^2\pi m_h = 38^2\cdot\pi\cdot 99\approx 449109.52\)
A kúp térfogata: \(V_k = \frac{r^2\pi m_k}{3} = \frac{38^2\pi 10}{3}\approx 15121.53\)
A keresett térfogat a két térfogat összege: \(V = V_h + V_k = 449109.52 + 15121.53 \approx 464231.1\)
Felszín
A kúp és a henger felszínéből is csak a palástok felszíne kell, az alapkör területe nem!
Henger palástja: \(A_h = 2r\pi m = 2\cdot 38\pi\cdot 99\approx 23637.34\)
A kúp palástjához először ki kell számolni a kúp alkotóját. A kúp magasságával és az alkotójával együtt derékszögű háromszöget alkotnak, azaz:
\(m^2 + r^2 = a^2\), vagyis \(10^2 + 38^2 = a^2\), ebből \(a\approx 39.294\).
A kúp palástja: \(A_k = r\pi a = 38\pi \cdot 39.294 \approx 4690.94\).
A két terület együtt: \(A = A_h + A_k = 23637.34 + 4690.94\approx 28328.3\).
A holdkutató robot hátán egy különleges üzemanyagtartály van. A tartály teste henger alakú, sugara 34 cm, magassága 71 cm, tetejét pedig egy kúp alakú zárófedél fedi, amelynek magassága 15 cm.
A mérnökök tudni szeretnék, hogy
mennyi üzemanyag fér a tartályba, köbcentiméter mértékegységben:
és mekkora felületet kell hőálló bevonattal ellátni négyzetcentiméter mértékegységben (a henger alját nem kell számítani):
A mérnököknek elegendő egy tizedes jegyre kerekített érték!
A test két egyszerű testből áll össze: egy hengerből és egy kúpból.
A henger adatai: \(r = 34\), \(m_h = 71\).
A kúp adatai: \(r = 34\), \(m_k = 15\).
Térfogat
A henger térfogata: \(V_h = r^2\pi m_h = 34^2\cdot\pi\cdot 71\approx 257849.36\)
A kúp térfogata: \(V_k = \frac{r^2\pi m_k}{3} = \frac{34^2\pi 15}{3}\approx 18158.41\)
A keresett térfogat a két térfogat összege: \(V = V_h + V_k = 257849.36 + 18158.41 \approx 276007.8\)
Felszín
A kúp és a henger felszínéből is csak a palástok felszíne kell, az alapkör területe nem!
Henger palástja: \(A_h = 2r\pi m = 2\cdot 34\pi\cdot 71\approx 15167.61\)
A kúp palástjához először ki kell számolni a kúp alkotóját. A kúp magasságával és az alkotójával együtt derékszögű háromszöget alkotnak, azaz:
\(m^2 + r^2 = a^2\), vagyis \(15^2 + 34^2 = a^2\), ebből \(a\approx 37.162\).
A kúp palástja: \(A_k = r\pi a = 34\pi \cdot 37.162 \approx 3969.43\).
A két terület együtt: \(A = A_h + A_k = 15167.61 + 3969.43\approx 19137\).
A holdkutató robot hátán egy különleges üzemanyagtartály van. A tartály teste henger alakú, sugara 22 cm, magassága 63 cm, tetejét pedig egy kúp alakú zárófedél fedi, amelynek magassága 8 cm.
A mérnökök tudni szeretnék, hogy
mennyi üzemanyag fér a tartályba, köbcentiméter mértékegységben:
és mekkora felületet kell hőálló bevonattal ellátni négyzetcentiméter mértékegységben (a henger alját nem kell számítani):
A mérnököknek elegendő egy tizedes jegyre kerekített érték!
A test két egyszerű testből áll össze: egy hengerből és egy kúpból.
A henger adatai: \(r = 22\), \(m_h = 63\).
A kúp adatai: \(r = 22\), \(m_k = 8\).
Térfogat
A henger térfogata: \(V_h = r^2\pi m_h = 22^2\cdot\pi\cdot 63\approx 95793.44\)
A kúp térfogata: \(V_k = \frac{r^2\pi m_k}{3} = \frac{22^2\pi 8}{3}\approx 4054.75\)
A keresett térfogat a két térfogat összege: \(V = V_h + V_k = 95793.44 + 4054.75 \approx 99848.2\)
Felszín
A kúp és a henger felszínéből is csak a palástok felszíne kell, az alapkör területe nem!
Henger palástja: \(A_h = 2r\pi m = 2\cdot 22\pi\cdot 63\approx 8708.49\)
A kúp palástjához először ki kell számolni a kúp alkotóját. A kúp magasságával és az alkotójával együtt derékszögű háromszöget alkotnak, azaz:
\(m^2 + r^2 = a^2\), vagyis \(8^2 + 22^2 = a^2\), ebből \(a\approx 23.409\).
A kúp palástja: \(A_k = r\pi a = 22\pi \cdot 23.409 \approx 1617.91\).
A két terület együtt: \(A = A_h + A_k = 8708.49 + 1617.91\approx 10326.4\).
A holdkutató robot hátán egy különleges üzemanyagtartály van. A tartály teste henger alakú, sugara 14 cm, magassága 37 cm, tetejét pedig egy kúp alakú zárófedél fedi, amelynek magassága 10 cm.
A mérnökök tudni szeretnék, hogy
mennyi üzemanyag fér a tartályba, köbcentiméter mértékegységben:
és mekkora felületet kell hőálló bevonattal ellátni négyzetcentiméter mértékegységben (a henger alját nem kell számítani):
A mérnököknek elegendő egy tizedes jegyre kerekített érték!
A test két egyszerű testből áll össze: egy hengerből és egy kúpból.
A henger adatai: \(r = 14\), \(m_h = 37\).
A kúp adatai: \(r = 14\), \(m_k = 10\).
Térfogat
A henger térfogata: \(V_h = r^2\pi m_h = 14^2\cdot\pi\cdot 37\approx 22782.83\)
A kúp térfogata: \(V_k = \frac{r^2\pi m_k}{3} = \frac{14^2\pi 10}{3}\approx 2052.51\)
A keresett térfogat a két térfogat összege: \(V = V_h + V_k = 22782.83 + 2052.51 \approx 24835.3\)
Felszín
A kúp és a henger felszínéből is csak a palástok felszíne kell, az alapkör területe nem!
Henger palástja: \(A_h = 2r\pi m = 2\cdot 14\pi\cdot 37\approx 3254.69\)
A kúp palástjához először ki kell számolni a kúp alkotóját. A kúp magasságával és az alkotójával együtt derékszögű háromszöget alkotnak, azaz:
\(m^2 + r^2 = a^2\), vagyis \(10^2 + 14^2 = a^2\), ebből \(a\approx 17.205\).
A kúp palástja: \(A_k = r\pi a = 14\pi \cdot 17.205 \approx 756.72\).
A két terület együtt: \(A = A_h + A_k = 3254.69 + 756.72\approx 4011.4\).