Kihívás - második alkalom
Derékszögű háromszög
Egy derékszögű háromszög egyik befogója \(21\) centiméter. Az átfogója \(9\) centiméterrel nagyobb, mint az ismeretlen befogója.
Hány centiméter az átfogó?
A hiányzó befogót jelöljük \(x\)-szel! Ekkor az átfogó \(x+9\).
Írjuk fel a Pitagorasz-tételt!
\(21^2 + x^2 = (x+9)^2\)
Az egyenlet jobb oldalát nevezetes szorzat (azonosság) segítségével felbontva:
\(441 + x^2 = x^2 + 18x + 81\)
Vegyük észre, hogy \(x^2\) kiesik, ezután már csak \(18x\) marad és a számok.
Ezt rendezve megkapjuk, hogy \(x=20\).
Egy derékszögű háromszög egyik befogója \(126\) centiméter. Az átfogója \(42\) centiméterrel nagyobb, mint az ismeretlen befogója.
Hány centiméter az átfogó?
A hiányzó befogót jelöljük \(x\)-szel! Ekkor az átfogó \(x+42\).
Írjuk fel a Pitagorasz-tételt!
\(126^2 + x^2 = (x+42)^2\)
Az egyenlet jobb oldalát nevezetes szorzat (azonosság) segítségével felbontva:
\(15876 + x^2 = x^2 + 84x + 1764\)
Vegyük észre, hogy \(x^2\) kiesik, ezután már csak \(84x\) marad és a számok.
Ezt rendezve megkapjuk, hogy \(x=168\).
Egy derékszögű háromszög egyik befogója \(66\) centiméter. Az átfogója \(6\) centiméterrel nagyobb, mint az ismeretlen befogója.
Hány centiméter a hiányzó befogó?
A hiányzó befogót jelöljük \(x\)-szel! Ekkor az átfogó \(x+6\).
Írjuk fel a Pitagorasz-tételt!
\(66^2 + x^2 = (x+6)^2\)
Az egyenlet jobb oldalát nevezetes szorzat (azonosság) segítségével felbontva:
\(4356 + x^2 = x^2 + 12x + 36\)
Vegyük észre, hogy \(x^2\) kiesik, ezután már csak \(12x\) marad és a számok.
Ezt rendezve megkapjuk, hogy \(x=360\).
Egy derékszögű háromszög egyik befogója \(275\) centiméter. Az átfogója \(121\) centiméterrel nagyobb, mint az ismeretlen befogója.
Hány centiméter a hiányzó befogó?
A hiányzó befogót jelöljük \(x\)-szel! Ekkor az átfogó \(x+121\).
Írjuk fel a Pitagorasz-tételt!
\(275^2 + x^2 = (x+121)^2\)
Az egyenlet jobb oldalát nevezetes szorzat (azonosság) segítségével felbontva:
\(75625 + x^2 = x^2 + 242x + 14641\)
Vegyük észre, hogy \(x^2\) kiesik, ezután már csak \(242x\) marad és a számok.
Ezt rendezve megkapjuk, hogy \(x=252\).
Egy derékszögű háromszög egyik befogója \(120\) centiméter. Az átfogója \(24\) centiméterrel nagyobb, mint az ismeretlen befogója.
Hány centiméter a hiányzó befogó?
A hiányzó befogót jelöljük \(x\)-szel! Ekkor az átfogó \(x+24\).
Írjuk fel a Pitagorasz-tételt!
\(120^2 + x^2 = (x+24)^2\)
Az egyenlet jobb oldalát nevezetes szorzat (azonosság) segítségével felbontva:
\(14400 + x^2 = x^2 + 48x + 576\)
Vegyük észre, hogy \(x^2\) kiesik, ezután már csak \(48x\) marad és a számok.
Ezt rendezve megkapjuk, hogy \(x=288\).
Függvények
Határozd meg az alábbi függvény szélsőértékének típusát, helyét és értékét!
Típusa: , helye: , értéke:
A szélsőérték ott lesz, ahol a függvény a legkisebb vagy legnagyobb értéket veszi fel. Grafikonon ez szemléletesen azt jelenti, hogy a legalacsonyabb vagy a legmagasabb hely. Értelemszerűen ha legalacsonyabb hely, akkor az minimum, a legmagasabb pedig a maximum.
A szélsőérték helyére az \(x\) koordináta ad választ (esetünkben \(x = 2\)), az értékére pedig az \(y\) koordináta (esetünkben \(y = 5\)).
Határozd meg az alábbi függvény szélsőértékének típusát, helyét és értékét!
Típusa: , helye: , értéke:
A szélsőérték ott lesz, ahol a függvény a legkisebb vagy legnagyobb értéket veszi fel. Grafikonon ez szemléletesen azt jelenti, hogy a legalacsonyabb vagy a legmagasabb hely. Értelemszerűen ha legalacsonyabb hely, akkor az minimum, a legmagasabb pedig a maximum.
A szélsőérték helyére az \(x\) koordináta ad választ (esetünkben \(x = -1\)), az értékére pedig az \(y\) koordináta (esetünkben \(y = 6\)).
Határozd meg az alábbi függvény szélsőértékének típusát, helyét és értékét!
Típusa: , helye: , értéke:
A szélsőérték ott lesz, ahol a függvény a legkisebb vagy legnagyobb értéket veszi fel. Grafikonon ez szemléletesen azt jelenti, hogy a legalacsonyabb vagy a legmagasabb hely. Értelemszerűen ha legalacsonyabb hely, akkor az minimum, a legmagasabb pedig a maximum.
A szélsőérték helyére az \(x\) koordináta ad választ (esetünkben \(x = 4\)), az értékére pedig az \(y\) koordináta (esetünkben \(y = 7\)).
Határozd meg az alábbi függvény szélsőértékének típusát, helyét és értékét!
Típusa: , helye: , értéke:
A szélsőérték ott lesz, ahol a függvény a legkisebb vagy legnagyobb értéket veszi fel. Grafikonon ez szemléletesen azt jelenti, hogy a legalacsonyabb vagy a legmagasabb hely. Értelemszerűen ha legalacsonyabb hely, akkor az minimum, a legmagasabb pedig a maximum.
A szélsőérték helyére az \(x\) koordináta ad választ (esetünkben \(x = -3\)), az értékére pedig az \(y\) koordináta (esetünkben \(y = 6\)).
Határozd meg az alábbi függvény szélsőértékének típusát, helyét és értékét!
Típusa: , helye: , értéke:
A szélsőérték ott lesz, ahol a függvény a legkisebb vagy legnagyobb értéket veszi fel. Grafikonon ez szemléletesen azt jelenti, hogy a legalacsonyabb vagy a legmagasabb hely. Értelemszerűen ha legalacsonyabb hely, akkor az minimum, a legmagasabb pedig a maximum.
A szélsőérték helyére az \(x\) koordináta ad választ (esetünkben \(x = 1\)), az értékére pedig az \(y\) koordináta (esetünkben \(y = 8\)).
Sokszög
Egy sokszög átlóinak száma 15224.
Hány oldalú a sokszög?
Egy n-oldalú sokszög átlóinak száma: \(\frac{n\cdot(n-3)}{2}\).
Azaz az alábbi egyenlet írható fel, ahol n az ismeretlen: \(\frac{n(n-3)}{2} = 15224\). (Természetesen, ha zavar, akkor az \(n\) helyett lehet \(x\) is.)
Az egyenletet beszorozzuk kettővel: \(n(n-3) = 30448\)
Felbontjuk bal oldalon a zárójelet: \(n^2 - 3n = 30448\). Észrevesszük, hogy ez egy másodfokú egyenlet (ott az \(n^2\)!), amelyet nullára redukálunk:
\(n^2 - 3n - 30448 = 0\)
Ezt a megoldóképlettel (vagy számológéppel) megoldjuk.
Az egyenletnek két megoldása van: \(n_1 = 176\) és \(n_2 = -173\). Nyilván az \(n_2\), mivel negatív, így nem lehet a feladatnak megoldása.
Válasz: a sokszögnek 176 oldala van.
Egy sokszög átlóinak száma 1952.
Hány oldalú a sokszög?
Egy n-oldalú sokszög átlóinak száma: \(\frac{n\cdot(n-3)}{2}\).
Azaz az alábbi egyenlet írható fel, ahol n az ismeretlen: \(\frac{n(n-3)}{2} = 1952\). (Természetesen, ha zavar, akkor az \(n\) helyett lehet \(x\) is.)
Az egyenletet beszorozzuk kettővel: \(n(n-3) = 3904\)
Felbontjuk bal oldalon a zárójelet: \(n^2 - 3n = 3904\). Észrevesszük, hogy ez egy másodfokú egyenlet (ott az \(n^2\)!), amelyet nullára redukálunk:
\(n^2 - 3n - 3904 = 0\)
Ezt a megoldóképlettel (vagy számológéppel) megoldjuk.
Az egyenletnek két megoldása van: \(n_1 = 64\) és \(n_2 = -61\). Nyilván az \(n_2\), mivel negatív, így nem lehet a feladatnak megoldása.
Válasz: a sokszögnek 64 oldala van.
Egy sokszög átlóinak száma 4949.
Hány oldalú a sokszög?
Egy n-oldalú sokszög átlóinak száma: \(\frac{n\cdot(n-3)}{2}\).
Azaz az alábbi egyenlet írható fel, ahol n az ismeretlen: \(\frac{n(n-3)}{2} = 4949\). (Természetesen, ha zavar, akkor az \(n\) helyett lehet \(x\) is.)
Az egyenletet beszorozzuk kettővel: \(n(n-3) = 9898\)
Felbontjuk bal oldalon a zárójelet: \(n^2 - 3n = 9898\). Észrevesszük, hogy ez egy másodfokú egyenlet (ott az \(n^2\)!), amelyet nullára redukálunk:
\(n^2 - 3n - 9898 = 0\)
Ezt a megoldóképlettel (vagy számológéppel) megoldjuk.
Az egyenletnek két megoldása van: \(n_1 = 101\) és \(n_2 = -98\). Nyilván az \(n_2\), mivel negatív, így nem lehet a feladatnak megoldása.
Válasz: a sokszögnek 101 oldala van.
Egy sokszög átlóinak száma 1652.
Hány oldalú a sokszög?
Egy n-oldalú sokszög átlóinak száma: \(\frac{n\cdot(n-3)}{2}\).
Azaz az alábbi egyenlet írható fel, ahol n az ismeretlen: \(\frac{n(n-3)}{2} = 1652\). (Természetesen, ha zavar, akkor az \(n\) helyett lehet \(x\) is.)
Az egyenletet beszorozzuk kettővel: \(n(n-3) = 3304\)
Felbontjuk bal oldalon a zárójelet: \(n^2 - 3n = 3304\). Észrevesszük, hogy ez egy másodfokú egyenlet (ott az \(n^2\)!), amelyet nullára redukálunk:
\(n^2 - 3n - 3304 = 0\)
Ezt a megoldóképlettel (vagy számológéppel) megoldjuk.
Az egyenletnek két megoldása van: \(n_1 = 59\) és \(n_2 = -56\). Nyilván az \(n_2\), mivel negatív, így nem lehet a feladatnak megoldása.
Válasz: a sokszögnek 59 oldala van.
Egy sokszög átlóinak száma 119.
Hány oldalú a sokszög?
Egy n-oldalú sokszög átlóinak száma: \(\frac{n\cdot(n-3)}{2}\).
Azaz az alábbi egyenlet írható fel, ahol n az ismeretlen: \(\frac{n(n-3)}{2} = 119\). (Természetesen, ha zavar, akkor az \(n\) helyett lehet \(x\) is.)
Az egyenletet beszorozzuk kettővel: \(n(n-3) = 238\)
Felbontjuk bal oldalon a zárójelet: \(n^2 - 3n = 238\). Észrevesszük, hogy ez egy másodfokú egyenlet (ott az \(n^2\)!), amelyet nullára redukálunk:
\(n^2 - 3n - 238 = 0\)
Ezt a megoldóképlettel (vagy számológéppel) megoldjuk.
Az egyenletnek két megoldása van: \(n_1 = 17\) és \(n_2 = -14\). Nyilván az \(n_2\), mivel negatív, így nem lehet a feladatnak megoldása.
Válasz: a sokszögnek 17 oldala van.
Másodfokú függvény
Adott a képlettel megadott \(x\mapsto (x+1)^2+3\) függvény. Melyik grafikon a függvény képe?
Ha más nem, lehetséges értéktáblázatot készíteni:
| \(x\) | -7 | -6 | -5 | -4 | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | 39 | 28 | 19 | 12 | 7 | 4 | 3 | 4 | 7 | 12 | 19 | 28 | 39 | 52 | 67 |
Ezután ellenőrízni kell, hogy melyik grafikonra teljesül, hogy az adott \(x\)-hez az adott \(f(x)\)-et (\(y\)) rendeli.
Ha matekosan akarjuk megoldani, akkor az ún. függvénytranszformációs lépéseket kell ismerni. Ezek az alábbiak:
\(x^2\) helyett \(x^2 + 3\): 3-mal feltoljuk az alapgrafikont
\(x^2\) helyett \(x^2 - 3\): 3-mal letoljuk az alapgrafikont
\(x^2\) helyett \((x+3)^2\): 3-mal balra toljuk az alapgrafikont (igen, vízszintesen pont ellenkező irányba tolunk)
\(x^2\) helyett \((x-3)^2\): 3-mal jobbra toljuk az alapgrafikont
A lépések kombinálhatóak is, azaz az \((x-2)^2 + 3\) jelenti, hogy kettővel jobbra és hárommal felfelé tolunk.
Az esetünkben -1 egységgel jobbra és 3 egységgel felfelé.
Adott a képlettel megadott \(f(x)=(x-2)^2-5\) függvény. Melyik grafikon a függvény képe?
Ha más nem, lehetséges értéktáblázatot készíteni:
| \(x\) | -7 | -6 | -5 | -4 | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | 76 | 59 | 44 | 31 | 20 | 11 | 4 | -1 | -4 | -5 | -4 | -1 | 4 | 11 | 20 |
Ezután ellenőrízni kell, hogy melyik grafikonra teljesül, hogy az adott \(x\)-hez az adott \(f(x)\)-et (\(y\)) rendeli.
Ha matekosan akarjuk megoldani, akkor az ún. függvénytranszformációs lépéseket kell ismerni. Ezek az alábbiak:
\(x^2\) helyett \(x^2 + 3\): 3-mal feltoljuk az alapgrafikont
\(x^2\) helyett \(x^2 - 3\): 3-mal letoljuk az alapgrafikont
\(x^2\) helyett \((x+3)^2\): 3-mal balra toljuk az alapgrafikont (igen, vízszintesen pont ellenkező irányba tolunk)
\(x^2\) helyett \((x-3)^2\): 3-mal jobbra toljuk az alapgrafikont
A lépések kombinálhatóak is, azaz az \((x-2)^2 + 3\) jelenti, hogy kettővel jobbra és hárommal felfelé tolunk.
Az esetünkben 2 egységgel jobbra és -5 egységgel felfelé.
Adott a képlettel megadott \(x\mapsto (x+1)^2+2\) függvény. Melyik grafikon a függvény képe?
Ha más nem, lehetséges értéktáblázatot készíteni:
| \(x\) | -7 | -6 | -5 | -4 | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | 38 | 27 | 18 | 11 | 6 | 3 | 2 | 3 | 6 | 11 | 18 | 27 | 38 | 51 | 66 |
Ezután ellenőrízni kell, hogy melyik grafikonra teljesül, hogy az adott \(x\)-hez az adott \(f(x)\)-et (\(y\)) rendeli.
Ha matekosan akarjuk megoldani, akkor az ún. függvénytranszformációs lépéseket kell ismerni. Ezek az alábbiak:
\(x^2\) helyett \(x^2 + 3\): 3-mal feltoljuk az alapgrafikont
\(x^2\) helyett \(x^2 - 3\): 3-mal letoljuk az alapgrafikont
\(x^2\) helyett \((x+3)^2\): 3-mal balra toljuk az alapgrafikont (igen, vízszintesen pont ellenkező irányba tolunk)
\(x^2\) helyett \((x-3)^2\): 3-mal jobbra toljuk az alapgrafikont
A lépések kombinálhatóak is, azaz az \((x-2)^2 + 3\) jelenti, hogy kettővel jobbra és hárommal felfelé tolunk.
Az esetünkben -1 egységgel jobbra és 2 egységgel felfelé.
Adott a képlettel megadott \(x\mapsto (x-4)^2-2\) függvény. Melyik grafikon a függvény képe?
Ha más nem, lehetséges értéktáblázatot készíteni:
| \(x\) | -7 | -6 | -5 | -4 | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | 119 | 98 | 79 | 62 | 47 | 34 | 23 | 14 | 7 | 2 | -1 | -2 | -1 | 2 | 7 |
Ezután ellenőrízni kell, hogy melyik grafikonra teljesül, hogy az adott \(x\)-hez az adott \(f(x)\)-et (\(y\)) rendeli.
Ha matekosan akarjuk megoldani, akkor az ún. függvénytranszformációs lépéseket kell ismerni. Ezek az alábbiak:
\(x^2\) helyett \(x^2 + 3\): 3-mal feltoljuk az alapgrafikont
\(x^2\) helyett \(x^2 - 3\): 3-mal letoljuk az alapgrafikont
\(x^2\) helyett \((x+3)^2\): 3-mal balra toljuk az alapgrafikont (igen, vízszintesen pont ellenkező irányba tolunk)
\(x^2\) helyett \((x-3)^2\): 3-mal jobbra toljuk az alapgrafikont
A lépések kombinálhatóak is, azaz az \((x-2)^2 + 3\) jelenti, hogy kettővel jobbra és hárommal felfelé tolunk.
Az esetünkben 4 egységgel jobbra és -2 egységgel felfelé.
Adott a képlettel megadott \(f(x)=(x-2)^2-5\) függvény. Melyik grafikon a függvény képe?
Ha más nem, lehetséges értéktáblázatot készíteni:
| \(x\) | -7 | -6 | -5 | -4 | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | 76 | 59 | 44 | 31 | 20 | 11 | 4 | -1 | -4 | -5 | -4 | -1 | 4 | 11 | 20 |
Ezután ellenőrízni kell, hogy melyik grafikonra teljesül, hogy az adott \(x\)-hez az adott \(f(x)\)-et (\(y\)) rendeli.
Ha matekosan akarjuk megoldani, akkor az ún. függvénytranszformációs lépéseket kell ismerni. Ezek az alábbiak:
\(x^2\) helyett \(x^2 + 3\): 3-mal feltoljuk az alapgrafikont
\(x^2\) helyett \(x^2 - 3\): 3-mal letoljuk az alapgrafikont
\(x^2\) helyett \((x+3)^2\): 3-mal balra toljuk az alapgrafikont (igen, vízszintesen pont ellenkező irányba tolunk)
\(x^2\) helyett \((x-3)^2\): 3-mal jobbra toljuk az alapgrafikont
A lépések kombinálhatóak is, azaz az \((x-2)^2 + 3\) jelenti, hogy kettővel jobbra és hárommal felfelé tolunk.
Az esetünkben 2 egységgel jobbra és -5 egységgel felfelé.
Számrendszer
Váltsd át a(z) \(13000_{4}\) számot tizes számrendszerbe!
Írjuk fel a helyiérték-táblázatot (hatványalakokban):
| \(4^{4}\) | \(4^{3}\) | \(4^{2}\) | \(4^{1}\) | \(4^{0}\) |
| 1 | 3 | 0 | 0 | 0 |
Ha a helyiértékeket kiszámoljuk:
| 256 | 64 | 16 | 4 | 1 |
| 1 | 3 | 0 | 0 | 0 |
Összeadva: \(1\cdot 4^{4}+3\cdot 4^{3}+0\cdot 4^{2}+0\cdot 4^{1}+0\cdot 4^{0} = 1\cdot 256+3\cdot 64+0\cdot 16+0\cdot 4+0\cdot 1 = 448\).
Váltsd át a(z) \(22001_{3}\) számot tizes számrendszerbe!
Írjuk fel a helyiérték-táblázatot (hatványalakokban):
| \(3^{4}\) | \(3^{3}\) | \(3^{2}\) | \(3^{1}\) | \(3^{0}\) |
| 2 | 2 | 0 | 0 | 1 |
Ha a helyiértékeket kiszámoljuk:
| 81 | 27 | 9 | 3 | 1 |
| 2 | 2 | 0 | 0 | 1 |
Összeadva: \(2\cdot 3^{4}+2\cdot 3^{3}+0\cdot 3^{2}+0\cdot 3^{1}+1\cdot 3^{0} = 2\cdot 81+2\cdot 27+0\cdot 9+0\cdot 3+1\cdot 1 = 217\).
Váltsd át a(z) \(8524_{9}\) számot tizes számrendszerbe!
Írjuk fel a helyiérték-táblázatot (hatványalakokban):
| \(9^{3}\) | \(9^{2}\) | \(9^{1}\) | \(9^{0}\) |
| 8 | 5 | 2 | 4 |
Ha a helyiértékeket kiszámoljuk:
| 729 | 81 | 9 | 1 |
| 8 | 5 | 2 | 4 |
Összeadva: \(8\cdot 9^{3}+5\cdot 9^{2}+2\cdot 9^{1}+4\cdot 9^{0} = 8\cdot 729+5\cdot 81+2\cdot 9+4\cdot 1 = 6259\).
Váltsd át a(z) \(454_{6}\) számot tizes számrendszerbe!
Írjuk fel a helyiérték-táblázatot (hatványalakokban):
| \(6^{2}\) | \(6^{1}\) | \(6^{0}\) |
| 4 | 5 | 4 |
Ha a helyiértékeket kiszámoljuk:
| 36 | 6 | 1 |
| 4 | 5 | 4 |
Összeadva: \(4\cdot 6^{2}+5\cdot 6^{1}+4\cdot 6^{0} = 4\cdot 36+5\cdot 6+4\cdot 1 = 178\).
Váltsd át a(z) \(215_{6}\) számot tizes számrendszerbe!
Írjuk fel a helyiérték-táblázatot (hatványalakokban):
| \(6^{2}\) | \(6^{1}\) | \(6^{0}\) |
| 2 | 1 | 5 |
Ha a helyiértékeket kiszámoljuk:
| 36 | 6 | 1 |
| 2 | 1 | 5 |
Összeadva: \(2\cdot 6^{2}+1\cdot 6^{1}+5\cdot 6^{0} = 2\cdot 36+1\cdot 6+5\cdot 1 = 83\).
Trigonometria
Melyik szögfüggvényt lehet használni, ha a színezett (nem fekete) oldalakat és a színezett (nem derékszög) szög között szeretnénk kapcsolatot felírni?
Abból kell kiindulni, hogy a megadott szöghöz képest a derékszögű háromszögnek melyik oldalai adottak (vannak beszínezve).
Lépések a szögfüggvény megtalálásához:
ha az átfogó az egyik (a derékszöggel szemben), akkor szinusz vagy koszinusz. Ellenkező esetben tangens, és kész vagyunk.
ha a befogók közül a színezett oldalon van a jelölt szög ("szög melletti befogó"), akkor koszinusz. Ha nincs rajta a szög a színezett befogón ("szöggel szemközti befogó"), akkor szinusz.
Ugye, nem is nehéz kitalálni, hogy a koszinusz? Próbáld meg újra, hogy biztosan menjen!
Melyik szögfüggvényt lehet használni, ha a színezett (nem fekete) oldalakat és a színezett (nem derékszög) szög között szeretnénk kapcsolatot felírni?
Abból kell kiindulni, hogy a megadott szöghöz képest a derékszögű háromszögnek melyik oldalai adottak (vannak beszínezve).
Lépések a szögfüggvény megtalálásához:
ha az átfogó az egyik (a derékszöggel szemben), akkor szinusz vagy koszinusz. Ellenkező esetben tangens, és kész vagyunk.
ha a befogók közül a színezett oldalon van a jelölt szög ("szög melletti befogó"), akkor koszinusz. Ha nincs rajta a szög a színezett befogón ("szöggel szemközti befogó"), akkor szinusz.
Ugye, nem is nehéz kitalálni, hogy a tangens? Próbáld meg újra, hogy biztosan menjen!
Melyik szögfüggvényt lehet használni, ha a színezett (nem fekete) oldalakat és a színezett (nem derékszög) szög között szeretnénk kapcsolatot felírni?
Abból kell kiindulni, hogy a megadott szöghöz képest a derékszögű háromszögnek melyik oldalai adottak (vannak beszínezve).
Lépések a szögfüggvény megtalálásához:
ha az átfogó az egyik (a derékszöggel szemben), akkor szinusz vagy koszinusz. Ellenkező esetben tangens, és kész vagyunk.
ha a befogók közül a színezett oldalon van a jelölt szög ("szög melletti befogó"), akkor koszinusz. Ha nincs rajta a szög a színezett befogón ("szöggel szemközti befogó"), akkor szinusz.
Ugye, nem is nehéz kitalálni, hogy a koszinusz? Próbáld meg újra, hogy biztosan menjen!
Melyik szögfüggvényt lehet használni, ha a színezett (nem fekete) oldalakat és a színezett (nem derékszög) szög között szeretnénk kapcsolatot felírni?
Abból kell kiindulni, hogy a megadott szöghöz képest a derékszögű háromszögnek melyik oldalai adottak (vannak beszínezve).
Lépések a szögfüggvény megtalálásához:
ha az átfogó az egyik (a derékszöggel szemben), akkor szinusz vagy koszinusz. Ellenkező esetben tangens, és kész vagyunk.
ha a befogók közül a színezett oldalon van a jelölt szög ("szög melletti befogó"), akkor koszinusz. Ha nincs rajta a szög a színezett befogón ("szöggel szemközti befogó"), akkor szinusz.
Ugye, nem is nehéz kitalálni, hogy a tangens? Próbáld meg újra, hogy biztosan menjen!
Melyik szögfüggvényt lehet használni, ha a színezett (nem fekete) oldalakat és a színezett (nem derékszög) szög között szeretnénk kapcsolatot felírni?
Abból kell kiindulni, hogy a megadott szöghöz képest a derékszögű háromszögnek melyik oldalai adottak (vannak beszínezve).
Lépések a szögfüggvény megtalálásához:
ha az átfogó az egyik (a derékszöggel szemben), akkor szinusz vagy koszinusz. Ellenkező esetben tangens, és kész vagyunk.
ha a befogók közül a színezett oldalon van a jelölt szög ("szög melletti befogó"), akkor koszinusz. Ha nincs rajta a szög a színezett befogón ("szöggel szemközti befogó"), akkor szinusz.
Ugye, nem is nehéz kitalálni, hogy a szinusz? Próbáld meg újra, hogy biztosan menjen!
Valószínűség
Egy mobilalkalmazás fejlesztői azt tapasztalták, hogy az alkalmazás új funkcióját kipróbáló felhasználók 21%-a később is rendszeresen használja azt. Egy nap 41 új felhasználó próbálja ki a funkciót.
Mekkora a valószínűsége annak, hogy pontosan 6 felhasználó fogja később is rendszeresen használni?
A végeredményt 3 tizedesjegyre kerekítve add meg!
\({41\choose 6}\cdot 0.21^{6}\cdot (1-0.21)^{41-6}\)
Kiszámolva: 0.100722789195502
Egy gyártósoron készülő alkatrészeknél a tapasztalatok szerint 90% a selejt aránya. A minőségellenőrzés során 44 darab alkatrészt vizsgálnak meg a gyártásból.
Mekkora a valószínűsége annak, hogy pontosan 39 darab selejtes lesz közöttük?
A végeredményt 3 tizedesjegyre kerekítve add meg!
\({44\choose 39}\cdot 0.9^{39}\cdot (1-0.9)^{44-39}\)
Kiszámolva: 0.178357301349572
Egy gyártósoron készülő alkatrészeknél a tapasztalatok szerint 37% a selejt aránya. A minőségellenőrzés során 40 darab alkatrészt vizsgálnak meg a gyártásból.
Mekkora a valószínűsége annak, hogy pontosan 13 darab selejtes lesz közöttük?
A végeredményt 3 tizedesjegyre kerekítve add meg!
\({40\choose 13}\cdot 0.37^{13}\cdot (1-0.37)^{40-13}\)
Kiszámolva: 0.111995148235672
Egy gyártósoron készülő alkatrészeknél a tapasztalatok szerint 50% a selejt aránya. A minőségellenőrzés során 11 darab alkatrészt vizsgálnak meg a gyártásból.
Mekkora a valószínűsége annak, hogy pontosan 3 darab selejtes lesz közöttük?
A végeredményt 3 tizedesjegyre kerekítve add meg!
\({11\choose 3}\cdot 0.5^{3}\cdot (1-0.5)^{11-3}\)
Kiszámolva: 0.08056640625
Egy gyártósoron készülő alkatrészeknél a tapasztalatok szerint 23% a selejt aránya. A minőségellenőrzés során 11 darab alkatrészt vizsgálnak meg a gyártásból.
Mekkora a valószínűsége annak, hogy pontosan 1 darab selejtes lesz közöttük?
A végeredményt 3 tizedesjegyre kerekítve add meg!
\({11\choose 1}\cdot 0.23^{1}\cdot (1-0.23)^{11-1}\)
Kiszámolva: 0.185365015956431
Egy mobilalkalmazás fejlesztői azt tapasztalták, hogy az alkalmazás új funkcióját kipróbáló felhasználók 49%-a később is rendszeresen használja azt. Egy nap 53 új felhasználó próbálja ki a funkciót.
Mekkora a valószínűsége annak, hogy pontosan 31 felhasználó fogja később is rendszeresen használni?
A végeredményt 3 tizedesjegyre kerekítve add meg!
\({53\choose 31}\cdot 0.49^{31}\cdot (1-0.49)^{53-31}\)
Kiszámolva: 0.0424383270784104
Egy gyártósoron készülő alkatrészeknél a tapasztalatok szerint 87% a selejt aránya. A minőségellenőrzés során 6 darab alkatrészt vizsgálnak meg a gyártásból.
Mekkora a valószínűsége annak, hogy pontosan 4 darab selejtes lesz közöttük?
A végeredményt 3 tizedesjegyre kerekítve add meg!
\({6\choose 4}\cdot 0.87^{4}\cdot (1-0.87)^{6-4}\)
Kiszámolva: 0.145229544135
Egy gyártósoron készülő alkatrészeknél a tapasztalatok szerint 30% a selejt aránya. A minőségellenőrzés során 33 darab alkatrészt vizsgálnak meg a gyártásból.
Mekkora a valószínűsége annak, hogy pontosan 6 darab selejtes lesz közöttük?
A végeredményt 3 tizedesjegyre kerekítve add meg!
\({33\choose 6}\cdot 0.3^{6}\cdot (1-0.3)^{33-6}\)
Kiszámolva: 0.0530572832137678
Egy mobilalkalmazás fejlesztői azt tapasztalták, hogy az alkalmazás új funkcióját kipróbáló felhasználók 85%-a később is rendszeresen használja azt. Egy nap 13 új felhasználó próbálja ki a funkciót.
Mekkora a valószínűsége annak, hogy pontosan 11 felhasználó fogja később is rendszeresen használni?
A végeredményt 3 tizedesjegyre kerekítve add meg!
\({13\choose 11}\cdot 0.85^{11}\cdot (1-0.85)^{13-11}\)
Kiszámolva: 0.293687392675273
Egy mobilalkalmazás fejlesztői azt tapasztalták, hogy az alkalmazás új funkcióját kipróbáló felhasználók 96%-a később is rendszeresen használja azt. Egy nap 12 új felhasználó próbálja ki a funkciót.
Mekkora a valószínűsége annak, hogy pontosan 12 felhasználó fogja később is rendszeresen használni?
A végeredményt 3 tizedesjegyre kerekítve add meg!
\({12\choose 12}\cdot 0.96^{12}\cdot (1-0.96)^{12-12}\)
Kiszámolva: 0.612709757329767
Várható érték
Mennyi a várható értéke az alábbi eloszlásnak?
| \(X\) | 8 | 16 | 40 | 42 | 69 | 80 |
| \(P(X)\) | 0.01 | 0.31 | 0.15 | 0.02 | 0.16 | 0.35 |
Lényegében az \(X\cdot P(X)\) szorzatokat kell kiszámolni és összeadni:
\(8 \cdot 0.01 + 16 \cdot 0.31 + 40 \cdot 0.15 + 42 \cdot 0.02 + 69 \cdot 0.16 + 80 \cdot 0.35\)
Mennyi a várható értéke az alábbi eloszlásnak?
| \(X\) | 10 | 31 | 48 |
| \(P(X)\) | 0.2 | 0.03 | 0.77 |
Lényegében az \(X\cdot P(X)\) szorzatokat kell kiszámolni és összeadni:
\(10 \cdot 0.2 + 31 \cdot 0.03 + 48 \cdot 0.77\)
Mennyi a várható értéke az alábbi eloszlásnak?
| \(X\) | 12 | 46 | 59 |
| \(P(X)\) | 0.1 | 0.35 | 0.55 |
Lényegében az \(X\cdot P(X)\) szorzatokat kell kiszámolni és összeadni:
\(12 \cdot 0.1 + 46 \cdot 0.35 + 59 \cdot 0.55\)
Mennyi a várható értéke az alábbi eloszlásnak?
| \(X\) | 15 | 21 | 42 | 49 | 51 |
| \(P(X)\) | 0.36 | 0.07 | 0.11 | 0.44 | 0.02 |
Lényegében az \(X\cdot P(X)\) szorzatokat kell kiszámolni és összeadni:
\(15 \cdot 0.36 + 21 \cdot 0.07 + 42 \cdot 0.11 + 49 \cdot 0.44 + 51 \cdot 0.02\)
Mennyi a várható értéke az alábbi eloszlásnak?
| \(X\) | 32 | 64 | 68 | 81 |
| \(P(X)\) | 0.07 | 0.22 | 0.05 | 0.66 |
Lényegében az \(X\cdot P(X)\) szorzatokat kell kiszámolni és összeadni:
\(32 \cdot 0.07 + 64 \cdot 0.22 + 68 \cdot 0.05 + 81 \cdot 0.66\)