Kihívás - második alkalom
Derékszögű háromszög
Egy derékszögű háromszög egyik befogója \(19\) centiméter. Az átfogója \(1\) centiméterrel nagyobb, mint az ismeretlen befogója.
Hány centiméter az átfogó?
A hiányzó befogót jelöljük \(x\)-szel! Ekkor az átfogó \(x+1\).
Írjuk fel a Pitagorasz-tételt!
\(19^2 + x^2 = (x+1)^2\)
Az egyenlet jobb oldalát nevezetes szorzat (azonosság) segítségével felbontva:
\(361 + x^2 = x^2 + 2x + 1\)
Vegyük észre, hogy \(x^2\) kiesik, ezután már csak \(2x\) marad és a számok.
Ezt rendezve megkapjuk, hogy \(x=180\).
Egy derékszögű háromszög egyik befogója \(252\) centiméter. Az átfogója \(98\) centiméterrel nagyobb, mint az ismeretlen befogója.
Hány centiméter az átfogó?
A hiányzó befogót jelöljük \(x\)-szel! Ekkor az átfogó \(x+98\).
Írjuk fel a Pitagorasz-tételt!
\(252^2 + x^2 = (x+98)^2\)
Az egyenlet jobb oldalát nevezetes szorzat (azonosság) segítségével felbontva:
\(63504 + x^2 = x^2 + 196x + 9604\)
Vegyük észre, hogy \(x^2\) kiesik, ezután már csak \(196x\) marad és a számok.
Ezt rendezve megkapjuk, hogy \(x=275\).
Egy derékszögű háromszög egyik befogója \(252\) centiméter. Az átfogója \(196\) centiméterrel nagyobb, mint az ismeretlen befogója.
Hány centiméter az átfogó?
A hiányzó befogót jelöljük \(x\)-szel! Ekkor az átfogó \(x+196\).
Írjuk fel a Pitagorasz-tételt!
\(252^2 + x^2 = (x+196)^2\)
Az egyenlet jobb oldalát nevezetes szorzat (azonosság) segítségével felbontva:
\(63504 + x^2 = x^2 + 392x + 38416\)
Vegyük észre, hogy \(x^2\) kiesik, ezután már csak \(392x\) marad és a számok.
Ezt rendezve megkapjuk, hogy \(x=64\).
Egy derékszögű háromszög egyik befogója \(160\) centiméter. Az átfogója \(80\) centiméterrel nagyobb, mint az ismeretlen befogója.
Hány centiméter a hiányzó befogó?
A hiányzó befogót jelöljük \(x\)-szel! Ekkor az átfogó \(x+80\).
Írjuk fel a Pitagorasz-tételt!
\(160^2 + x^2 = (x+80)^2\)
Az egyenlet jobb oldalát nevezetes szorzat (azonosság) segítségével felbontva:
\(25600 + x^2 = x^2 + 160x + 6400\)
Vegyük észre, hogy \(x^2\) kiesik, ezután már csak \(160x\) marad és a számok.
Ezt rendezve megkapjuk, hogy \(x=120\).
Egy derékszögű háromszög egyik befogója \(70\) centiméter. Az átfogója \(14\) centiméterrel nagyobb, mint az ismeretlen befogója.
Hány centiméter a hiányzó befogó?
A hiányzó befogót jelöljük \(x\)-szel! Ekkor az átfogó \(x+14\).
Írjuk fel a Pitagorasz-tételt!
\(70^2 + x^2 = (x+14)^2\)
Az egyenlet jobb oldalát nevezetes szorzat (azonosság) segítségével felbontva:
\(4900 + x^2 = x^2 + 28x + 196\)
Vegyük észre, hogy \(x^2\) kiesik, ezután már csak \(28x\) marad és a számok.
Ezt rendezve megkapjuk, hogy \(x=168\).
Függvények
Határozd meg az alábbi függvény szélsőértékének típusát, helyét és értékét!
Típusa: , helye: , értéke:
A szélsőérték ott lesz, ahol a függvény a legkisebb vagy legnagyobb értéket veszi fel. Grafikonon ez szemléletesen azt jelenti, hogy a legalacsonyabb vagy a legmagasabb hely. Értelemszerűen ha legalacsonyabb hely, akkor az minimum, a legmagasabb pedig a maximum.
A szélsőérték helyére az \(x\) koordináta ad választ (esetünkben \(x = -2\)), az értékére pedig az \(y\) koordináta (esetünkben \(y = 1\)).
Határozd meg az alábbi függvény szélsőértékének típusát, helyét és értékét!
Típusa: , helye: , értéke:
A szélsőérték ott lesz, ahol a függvény a legkisebb vagy legnagyobb értéket veszi fel. Grafikonon ez szemléletesen azt jelenti, hogy a legalacsonyabb vagy a legmagasabb hely. Értelemszerűen ha legalacsonyabb hely, akkor az minimum, a legmagasabb pedig a maximum.
A szélsőérték helyére az \(x\) koordináta ad választ (esetünkben \(x = 1\)), az értékére pedig az \(y\) koordináta (esetünkben \(y = 4\)).
Határozd meg az alábbi függvény szélsőértékének típusát, helyét és értékét!
Típusa: , helye: , értéke:
A szélsőérték ott lesz, ahol a függvény a legkisebb vagy legnagyobb értéket veszi fel. Grafikonon ez szemléletesen azt jelenti, hogy a legalacsonyabb vagy a legmagasabb hely. Értelemszerűen ha legalacsonyabb hely, akkor az minimum, a legmagasabb pedig a maximum.
A szélsőérték helyére az \(x\) koordináta ad választ (esetünkben \(x = 3\)), az értékére pedig az \(y\) koordináta (esetünkben \(y = -1\)).
Határozd meg az alábbi függvény szélsőértékének típusát, helyét és értékét!
Típusa: , helye: , értéke:
A szélsőérték ott lesz, ahol a függvény a legkisebb vagy legnagyobb értéket veszi fel. Grafikonon ez szemléletesen azt jelenti, hogy a legalacsonyabb vagy a legmagasabb hely. Értelemszerűen ha legalacsonyabb hely, akkor az minimum, a legmagasabb pedig a maximum.
A szélsőérték helyére az \(x\) koordináta ad választ (esetünkben \(x = 1\)), az értékére pedig az \(y\) koordináta (esetünkben \(y = -2\)).
Határozd meg az alábbi függvény szélsőértékének típusát, helyét és értékét!
Típusa: , helye: , értéke:
A szélsőérték ott lesz, ahol a függvény a legkisebb vagy legnagyobb értéket veszi fel. Grafikonon ez szemléletesen azt jelenti, hogy a legalacsonyabb vagy a legmagasabb hely. Értelemszerűen ha legalacsonyabb hely, akkor az minimum, a legmagasabb pedig a maximum.
A szélsőérték helyére az \(x\) koordináta ad választ (esetünkben \(x = 4\)), az értékére pedig az \(y\) koordináta (esetünkben \(y = -3\)).
Sokszög
Egy sokszög átlóinak száma 7874.
Hány oldalú a sokszög?
Egy n-oldalú sokszög átlóinak száma: \(\frac{n\cdot(n-3)}{2}\).
Azaz az alábbi egyenlet írható fel, ahol n az ismeretlen: \(\frac{n(n-3)}{2} = 7874\). (Természetesen, ha zavar, akkor az \(n\) helyett lehet \(x\) is.)
Az egyenletet beszorozzuk kettővel: \(n(n-3) = 15748\)
Felbontjuk bal oldalon a zárójelet: \(n^2 - 3n = 15748\). Észrevesszük, hogy ez egy másodfokú egyenlet (ott az \(n^2\)!), amelyet nullára redukálunk:
\(n^2 - 3n - 15748 = 0\)
Ezt a megoldóképlettel (vagy számológéppel) megoldjuk.
Az egyenletnek két megoldása van: \(n_1 = 127\) és \(n_2 = -124\). Nyilván az \(n_2\), mivel negatív, így nem lehet a feladatnak megoldása.
Válasz: a sokszögnek 127 oldala van.
Egy sokszög átlóinak száma 4464.
Hány oldalú a sokszög?
Egy n-oldalú sokszög átlóinak száma: \(\frac{n\cdot(n-3)}{2}\).
Azaz az alábbi egyenlet írható fel, ahol n az ismeretlen: \(\frac{n(n-3)}{2} = 4464\). (Természetesen, ha zavar, akkor az \(n\) helyett lehet \(x\) is.)
Az egyenletet beszorozzuk kettővel: \(n(n-3) = 8928\)
Felbontjuk bal oldalon a zárójelet: \(n^2 - 3n = 8928\). Észrevesszük, hogy ez egy másodfokú egyenlet (ott az \(n^2\)!), amelyet nullára redukálunk:
\(n^2 - 3n - 8928 = 0\)
Ezt a megoldóképlettel (vagy számológéppel) megoldjuk.
Az egyenletnek két megoldása van: \(n_1 = 96\) és \(n_2 = -93\). Nyilván az \(n_2\), mivel negatív, így nem lehet a feladatnak megoldása.
Válasz: a sokszögnek 96 oldala van.
Egy sokszög átlóinak száma 15930.
Hány oldalú a sokszög?
Egy n-oldalú sokszög átlóinak száma: \(\frac{n\cdot(n-3)}{2}\).
Azaz az alábbi egyenlet írható fel, ahol n az ismeretlen: \(\frac{n(n-3)}{2} = 15930\). (Természetesen, ha zavar, akkor az \(n\) helyett lehet \(x\) is.)
Az egyenletet beszorozzuk kettővel: \(n(n-3) = 31860\)
Felbontjuk bal oldalon a zárójelet: \(n^2 - 3n = 31860\). Észrevesszük, hogy ez egy másodfokú egyenlet (ott az \(n^2\)!), amelyet nullára redukálunk:
\(n^2 - 3n - 31860 = 0\)
Ezt a megoldóképlettel (vagy számológéppel) megoldjuk.
Az egyenletnek két megoldása van: \(n_1 = 180\) és \(n_2 = -177\). Nyilván az \(n_2\), mivel negatív, így nem lehet a feladatnak megoldása.
Válasz: a sokszögnek 180 oldala van.
Egy sokszög átlóinak száma 350.
Hány oldalú a sokszög?
Egy n-oldalú sokszög átlóinak száma: \(\frac{n\cdot(n-3)}{2}\).
Azaz az alábbi egyenlet írható fel, ahol n az ismeretlen: \(\frac{n(n-3)}{2} = 350\). (Természetesen, ha zavar, akkor az \(n\) helyett lehet \(x\) is.)
Az egyenletet beszorozzuk kettővel: \(n(n-3) = 700\)
Felbontjuk bal oldalon a zárójelet: \(n^2 - 3n = 700\). Észrevesszük, hogy ez egy másodfokú egyenlet (ott az \(n^2\)!), amelyet nullára redukálunk:
\(n^2 - 3n - 700 = 0\)
Ezt a megoldóképlettel (vagy számológéppel) megoldjuk.
Az egyenletnek két megoldása van: \(n_1 = 28\) és \(n_2 = -25\). Nyilván az \(n_2\), mivel negatív, így nem lehet a feladatnak megoldása.
Válasz: a sokszögnek 28 oldala van.
Egy sokszög átlóinak száma 65.
Hány oldalú a sokszög?
Egy n-oldalú sokszög átlóinak száma: \(\frac{n\cdot(n-3)}{2}\).
Azaz az alábbi egyenlet írható fel, ahol n az ismeretlen: \(\frac{n(n-3)}{2} = 65\). (Természetesen, ha zavar, akkor az \(n\) helyett lehet \(x\) is.)
Az egyenletet beszorozzuk kettővel: \(n(n-3) = 130\)
Felbontjuk bal oldalon a zárójelet: \(n^2 - 3n = 130\). Észrevesszük, hogy ez egy másodfokú egyenlet (ott az \(n^2\)!), amelyet nullára redukálunk:
\(n^2 - 3n - 130 = 0\)
Ezt a megoldóképlettel (vagy számológéppel) megoldjuk.
Az egyenletnek két megoldása van: \(n_1 = 13\) és \(n_2 = -10\). Nyilván az \(n_2\), mivel negatív, így nem lehet a feladatnak megoldása.
Válasz: a sokszögnek 13 oldala van.
Másodfokú függvény
Adott a képlettel megadott \(f(x)=(x+1)^2-6\) függvény. Melyik grafikon a függvény képe?
Ha más nem, lehetséges értéktáblázatot készíteni:
| \(x\) | -7 | -6 | -5 | -4 | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | 30 | 19 | 10 | 3 | -2 | -5 | -6 | -5 | -2 | 3 | 10 | 19 | 30 | 43 | 58 |
Ezután ellenőrízni kell, hogy melyik grafikonra teljesül, hogy az adott \(x\)-hez az adott \(f(x)\)-et (\(y\)) rendeli.
Ha matekosan akarjuk megoldani, akkor az ún. függvénytranszformációs lépéseket kell ismerni. Ezek az alábbiak:
\(x^2\) helyett \(x^2 + 3\): 3-mal feltoljuk az alapgrafikont
\(x^2\) helyett \(x^2 - 3\): 3-mal letoljuk az alapgrafikont
\(x^2\) helyett \((x+3)^2\): 3-mal balra toljuk az alapgrafikont (igen, vízszintesen pont ellenkező irányba tolunk)
\(x^2\) helyett \((x-3)^2\): 3-mal jobbra toljuk az alapgrafikont
A lépések kombinálhatóak is, azaz az \((x-2)^2 + 3\) jelenti, hogy kettővel jobbra és hárommal felfelé tolunk.
Az esetünkben -1 egységgel jobbra és -6 egységgel felfelé.
Adott a képlettel megadott \(f(x)=(x+3)^2-1\) függvény. Melyik grafikon a függvény képe?
Ha más nem, lehetséges értéktáblázatot készíteni:
| \(x\) | -7 | -6 | -5 | -4 | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | 15 | 8 | 3 | 0 | -1 | 0 | 3 | 8 | 15 | 24 | 35 | 48 | 63 | 80 | 99 |
Ezután ellenőrízni kell, hogy melyik grafikonra teljesül, hogy az adott \(x\)-hez az adott \(f(x)\)-et (\(y\)) rendeli.
Ha matekosan akarjuk megoldani, akkor az ún. függvénytranszformációs lépéseket kell ismerni. Ezek az alábbiak:
\(x^2\) helyett \(x^2 + 3\): 3-mal feltoljuk az alapgrafikont
\(x^2\) helyett \(x^2 - 3\): 3-mal letoljuk az alapgrafikont
\(x^2\) helyett \((x+3)^2\): 3-mal balra toljuk az alapgrafikont (igen, vízszintesen pont ellenkező irányba tolunk)
\(x^2\) helyett \((x-3)^2\): 3-mal jobbra toljuk az alapgrafikont
A lépések kombinálhatóak is, azaz az \((x-2)^2 + 3\) jelenti, hogy kettővel jobbra és hárommal felfelé tolunk.
Az esetünkben -3 egységgel jobbra és -1 egységgel felfelé.
Adott a képlettel megadott \(f(x)=(x-4)^2-3\) függvény. Melyik grafikon a függvény képe?
Ha más nem, lehetséges értéktáblázatot készíteni:
| \(x\) | -7 | -6 | -5 | -4 | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | 118 | 97 | 78 | 61 | 46 | 33 | 22 | 13 | 6 | 1 | -2 | -3 | -2 | 1 | 6 |
Ezután ellenőrízni kell, hogy melyik grafikonra teljesül, hogy az adott \(x\)-hez az adott \(f(x)\)-et (\(y\)) rendeli.
Ha matekosan akarjuk megoldani, akkor az ún. függvénytranszformációs lépéseket kell ismerni. Ezek az alábbiak:
\(x^2\) helyett \(x^2 + 3\): 3-mal feltoljuk az alapgrafikont
\(x^2\) helyett \(x^2 - 3\): 3-mal letoljuk az alapgrafikont
\(x^2\) helyett \((x+3)^2\): 3-mal balra toljuk az alapgrafikont (igen, vízszintesen pont ellenkező irányba tolunk)
\(x^2\) helyett \((x-3)^2\): 3-mal jobbra toljuk az alapgrafikont
A lépések kombinálhatóak is, azaz az \((x-2)^2 + 3\) jelenti, hogy kettővel jobbra és hárommal felfelé tolunk.
Az esetünkben 4 egységgel jobbra és -3 egységgel felfelé.
Adott a képlettel megadott \(x\mapsto (x+1)^2-4\) függvény. Melyik grafikon a függvény képe?
Ha más nem, lehetséges értéktáblázatot készíteni:
| \(x\) | -7 | -6 | -5 | -4 | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | 32 | 21 | 12 | 5 | 0 | -3 | -4 | -3 | 0 | 5 | 12 | 21 | 32 | 45 | 60 |
Ezután ellenőrízni kell, hogy melyik grafikonra teljesül, hogy az adott \(x\)-hez az adott \(f(x)\)-et (\(y\)) rendeli.
Ha matekosan akarjuk megoldani, akkor az ún. függvénytranszformációs lépéseket kell ismerni. Ezek az alábbiak:
\(x^2\) helyett \(x^2 + 3\): 3-mal feltoljuk az alapgrafikont
\(x^2\) helyett \(x^2 - 3\): 3-mal letoljuk az alapgrafikont
\(x^2\) helyett \((x+3)^2\): 3-mal balra toljuk az alapgrafikont (igen, vízszintesen pont ellenkező irányba tolunk)
\(x^2\) helyett \((x-3)^2\): 3-mal jobbra toljuk az alapgrafikont
A lépések kombinálhatóak is, azaz az \((x-2)^2 + 3\) jelenti, hogy kettővel jobbra és hárommal felfelé tolunk.
Az esetünkben -1 egységgel jobbra és -4 egységgel felfelé.
Adott a képlettel megadott \(x\mapsto (x-4)^2-6\) függvény. Melyik grafikon a függvény képe?
Ha más nem, lehetséges értéktáblázatot készíteni:
| \(x\) | -7 | -6 | -5 | -4 | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | 115 | 94 | 75 | 58 | 43 | 30 | 19 | 10 | 3 | -2 | -5 | -6 | -5 | -2 | 3 |
Ezután ellenőrízni kell, hogy melyik grafikonra teljesül, hogy az adott \(x\)-hez az adott \(f(x)\)-et (\(y\)) rendeli.
Ha matekosan akarjuk megoldani, akkor az ún. függvénytranszformációs lépéseket kell ismerni. Ezek az alábbiak:
\(x^2\) helyett \(x^2 + 3\): 3-mal feltoljuk az alapgrafikont
\(x^2\) helyett \(x^2 - 3\): 3-mal letoljuk az alapgrafikont
\(x^2\) helyett \((x+3)^2\): 3-mal balra toljuk az alapgrafikont (igen, vízszintesen pont ellenkező irányba tolunk)
\(x^2\) helyett \((x-3)^2\): 3-mal jobbra toljuk az alapgrafikont
A lépések kombinálhatóak is, azaz az \((x-2)^2 + 3\) jelenti, hogy kettővel jobbra és hárommal felfelé tolunk.
Az esetünkben 4 egységgel jobbra és -6 egységgel felfelé.
Számrendszer
Váltsd át a(z) \(5400_{7}\) számot tizes számrendszerbe!
Írjuk fel a helyiérték-táblázatot (hatványalakokban):
| \(7^{3}\) | \(7^{2}\) | \(7^{1}\) | \(7^{0}\) |
| 5 | 4 | 0 | 0 |
Ha a helyiértékeket kiszámoljuk:
| 343 | 49 | 7 | 1 |
| 5 | 4 | 0 | 0 |
Összeadva: \(5\cdot 7^{3}+4\cdot 7^{2}+0\cdot 7^{1}+0\cdot 7^{0} = 5\cdot 343+4\cdot 49+0\cdot 7+0\cdot 1 = 1911\).
Váltsd át a(z) \(5403_{6}\) számot tizes számrendszerbe!
Írjuk fel a helyiérték-táblázatot (hatványalakokban):
| \(6^{3}\) | \(6^{2}\) | \(6^{1}\) | \(6^{0}\) |
| 5 | 4 | 0 | 3 |
Ha a helyiértékeket kiszámoljuk:
| 216 | 36 | 6 | 1 |
| 5 | 4 | 0 | 3 |
Összeadva: \(5\cdot 6^{3}+4\cdot 6^{2}+0\cdot 6^{1}+3\cdot 6^{0} = 5\cdot 216+4\cdot 36+0\cdot 6+3\cdot 1 = 1227\).
Váltsd át a(z) \(276_{8}\) számot tizes számrendszerbe!
Írjuk fel a helyiérték-táblázatot (hatványalakokban):
| \(8^{2}\) | \(8^{1}\) | \(8^{0}\) |
| 2 | 7 | 6 |
Ha a helyiértékeket kiszámoljuk:
| 64 | 8 | 1 |
| 2 | 7 | 6 |
Összeadva: \(2\cdot 8^{2}+7\cdot 8^{1}+6\cdot 8^{0} = 2\cdot 64+7\cdot 8+6\cdot 1 = 190\).
Váltsd át a(z) \(320_{4}\) számot tizes számrendszerbe!
Írjuk fel a helyiérték-táblázatot (hatványalakokban):
| \(4^{2}\) | \(4^{1}\) | \(4^{0}\) |
| 3 | 2 | 0 |
Ha a helyiértékeket kiszámoljuk:
| 16 | 4 | 1 |
| 3 | 2 | 0 |
Összeadva: \(3\cdot 4^{2}+2\cdot 4^{1}+0\cdot 4^{0} = 3\cdot 16+2\cdot 4+0\cdot 1 = 56\).
Váltsd át a(z) \(2101_{3}\) számot tizes számrendszerbe!
Írjuk fel a helyiérték-táblázatot (hatványalakokban):
| \(3^{3}\) | \(3^{2}\) | \(3^{1}\) | \(3^{0}\) |
| 2 | 1 | 0 | 1 |
Ha a helyiértékeket kiszámoljuk:
| 27 | 9 | 3 | 1 |
| 2 | 1 | 0 | 1 |
Összeadva: \(2\cdot 3^{3}+1\cdot 3^{2}+0\cdot 3^{1}+1\cdot 3^{0} = 2\cdot 27+1\cdot 9+0\cdot 3+1\cdot 1 = 64\).
Trigonometria
Melyik szögfüggvényt lehet használni, ha a színezett (nem fekete) oldalakat és a színezett (nem derékszög) szög között szeretnénk kapcsolatot felírni?
Abból kell kiindulni, hogy a megadott szöghöz képest a derékszögű háromszögnek melyik oldalai adottak (vannak beszínezve).
Lépések a szögfüggvény megtalálásához:
ha az átfogó az egyik (a derékszöggel szemben), akkor szinusz vagy koszinusz. Ellenkező esetben tangens, és kész vagyunk.
ha a befogók közül a színezett oldalon van a jelölt szög ("szög melletti befogó"), akkor koszinusz. Ha nincs rajta a szög a színezett befogón ("szöggel szemközti befogó"), akkor szinusz.
Ugye, nem is nehéz kitalálni, hogy a szinusz? Próbáld meg újra, hogy biztosan menjen!
Melyik szögfüggvényt lehet használni, ha a színezett (nem fekete) oldalakat és a színezett (nem derékszög) szög között szeretnénk kapcsolatot felírni?
Abból kell kiindulni, hogy a megadott szöghöz képest a derékszögű háromszögnek melyik oldalai adottak (vannak beszínezve).
Lépések a szögfüggvény megtalálásához:
ha az átfogó az egyik (a derékszöggel szemben), akkor szinusz vagy koszinusz. Ellenkező esetben tangens, és kész vagyunk.
ha a befogók közül a színezett oldalon van a jelölt szög ("szög melletti befogó"), akkor koszinusz. Ha nincs rajta a szög a színezett befogón ("szöggel szemközti befogó"), akkor szinusz.
Ugye, nem is nehéz kitalálni, hogy a szinusz? Próbáld meg újra, hogy biztosan menjen!
Melyik szögfüggvényt lehet használni, ha a színezett (nem fekete) oldalakat és a színezett (nem derékszög) szög között szeretnénk kapcsolatot felírni?
Abból kell kiindulni, hogy a megadott szöghöz képest a derékszögű háromszögnek melyik oldalai adottak (vannak beszínezve).
Lépések a szögfüggvény megtalálásához:
ha az átfogó az egyik (a derékszöggel szemben), akkor szinusz vagy koszinusz. Ellenkező esetben tangens, és kész vagyunk.
ha a befogók közül a színezett oldalon van a jelölt szög ("szög melletti befogó"), akkor koszinusz. Ha nincs rajta a szög a színezett befogón ("szöggel szemközti befogó"), akkor szinusz.
Ugye, nem is nehéz kitalálni, hogy a szinusz? Próbáld meg újra, hogy biztosan menjen!
Melyik szögfüggvényt lehet használni, ha a színezett (nem fekete) oldalakat és a színezett (nem derékszög) szög között szeretnénk kapcsolatot felírni?
Abból kell kiindulni, hogy a megadott szöghöz képest a derékszögű háromszögnek melyik oldalai adottak (vannak beszínezve).
Lépések a szögfüggvény megtalálásához:
ha az átfogó az egyik (a derékszöggel szemben), akkor szinusz vagy koszinusz. Ellenkező esetben tangens, és kész vagyunk.
ha a befogók közül a színezett oldalon van a jelölt szög ("szög melletti befogó"), akkor koszinusz. Ha nincs rajta a szög a színezett befogón ("szöggel szemközti befogó"), akkor szinusz.
Ugye, nem is nehéz kitalálni, hogy a szinusz? Próbáld meg újra, hogy biztosan menjen!
Melyik szögfüggvényt lehet használni, ha a színezett (nem fekete) oldalakat és a színezett (nem derékszög) szög között szeretnénk kapcsolatot felírni?
Abból kell kiindulni, hogy a megadott szöghöz képest a derékszögű háromszögnek melyik oldalai adottak (vannak beszínezve).
Lépések a szögfüggvény megtalálásához:
ha az átfogó az egyik (a derékszöggel szemben), akkor szinusz vagy koszinusz. Ellenkező esetben tangens, és kész vagyunk.
ha a befogók közül a színezett oldalon van a jelölt szög ("szög melletti befogó"), akkor koszinusz. Ha nincs rajta a szög a színezett befogón ("szöggel szemközti befogó"), akkor szinusz.
Ugye, nem is nehéz kitalálni, hogy a tangens? Próbáld meg újra, hogy biztosan menjen!
Valószínűség
Egy gyártósoron készülő alkatrészeknél a tapasztalatok szerint 54% a selejt aránya. A minőségellenőrzés során 27 darab alkatrészt vizsgálnak meg a gyártásból.
Mekkora a valószínűsége annak, hogy pontosan 21 darab selejtes lesz közöttük?
A végeredményt 3 tizedesjegyre kerekítve add meg!
\({27\choose 21}\cdot 0.54^{21}\cdot (1-0.54)^{27-21}\)
Kiszámolva: 0.00673166242746863
Egy gyártósoron készülő alkatrészeknél a tapasztalatok szerint 35% a selejt aránya. A minőségellenőrzés során 54 darab alkatrészt vizsgálnak meg a gyártásból.
Mekkora a valószínűsége annak, hogy pontosan 19 darab selejtes lesz közöttük?
A végeredményt 3 tizedesjegyre kerekítve add meg!
\({54\choose 19}\cdot 0.35^{19}\cdot (1-0.35)^{54-19}\)
Kiszámolva: 0.113044926865751
Egy mobilalkalmazás fejlesztői azt tapasztalták, hogy az alkalmazás új funkcióját kipróbáló felhasználók 42%-a később is rendszeresen használja azt. Egy nap 59 új felhasználó próbálja ki a funkciót.
Mekkora a valószínűsége annak, hogy pontosan 28 felhasználó fogja később is rendszeresen használni?
A végeredményt 3 tizedesjegyre kerekítve add meg!
\({59\choose 28}\cdot 0.42^{28}\cdot (1-0.42)^{59-28}\)
Kiszámolva: 0.0724617702225949
Egy gyártósoron készülő alkatrészeknél a tapasztalatok szerint 64% a selejt aránya. A minőségellenőrzés során 37 darab alkatrészt vizsgálnak meg a gyártásból.
Mekkora a valószínűsége annak, hogy pontosan 21 darab selejtes lesz közöttük?
A végeredményt 3 tizedesjegyre kerekítve add meg!
\({37\choose 21}\cdot 0.64^{21}\cdot (1-0.64)^{37-21}\)
Kiszámolva: 0.0871751761757757
Egy gyártósoron készülő alkatrészeknél a tapasztalatok szerint 69% a selejt aránya. A minőségellenőrzés során 27 darab alkatrészt vizsgálnak meg a gyártásból.
Mekkora a valószínűsége annak, hogy pontosan 21 darab selejtes lesz közöttük?
A végeredményt 3 tizedesjegyre kerekítve add meg!
\({27\choose 21}\cdot 0.69^{21}\cdot (1-0.69)^{27-21}\)
Kiszámolva: 0.108469453336895
Egy gyártósoron készülő alkatrészeknél a tapasztalatok szerint 10% a selejt aránya. A minőségellenőrzés során 58 darab alkatrészt vizsgálnak meg a gyártásból.
Mekkora a valószínűsége annak, hogy pontosan 6 darab selejtes lesz közöttük?
A végeredményt 3 tizedesjegyre kerekítve add meg!
\({58\choose 6}\cdot 0.1^{6}\cdot (1-0.1)^{58-6}\)
Kiszámolva: 0.168966726219923
Egy gyártósoron készülő alkatrészeknél a tapasztalatok szerint 80% a selejt aránya. A minőségellenőrzés során 55 darab alkatrészt vizsgálnak meg a gyártásból.
Mekkora a valószínűsége annak, hogy pontosan 48 darab selejtes lesz közöttük?
A végeredményt 3 tizedesjegyre kerekítve add meg!
\({55\choose 48}\cdot 0.8^{48}\cdot (1-0.8)^{55-48}\)
Kiszámolva: 0.057925625458464
Egy mobilalkalmazás fejlesztői azt tapasztalták, hogy az alkalmazás új funkcióját kipróbáló felhasználók 27%-a később is rendszeresen használja azt. Egy nap 26 új felhasználó próbálja ki a funkciót.
Mekkora a valószínűsége annak, hogy pontosan 6 felhasználó fogja később is rendszeresen használni?
A végeredményt 3 tizedesjegyre kerekítve add meg!
\({26\choose 6}\cdot 0.27^{6}\cdot (1-0.27)^{26-6}\)
Kiszámolva: 0.164741001129813
Egy mobilalkalmazás fejlesztői azt tapasztalták, hogy az alkalmazás új funkcióját kipróbáló felhasználók 71%-a később is rendszeresen használja azt. Egy nap 34 új felhasználó próbálja ki a funkciót.
Mekkora a valószínűsége annak, hogy pontosan 24 felhasználó fogja később is rendszeresen használni?
A végeredményt 3 tizedesjegyre kerekítve add meg!
\({34\choose 24}\cdot 0.71^{24}\cdot (1-0.71)^{34-24}\)
Kiszámolva: 0.14855122901042
Egy gyártósoron készülő alkatrészeknél a tapasztalatok szerint 95% a selejt aránya. A minőségellenőrzés során 42 darab alkatrészt vizsgálnak meg a gyártásból.
Mekkora a valószínűsége annak, hogy pontosan 40 darab selejtes lesz közöttük?
A végeredményt 3 tizedesjegyre kerekítve add meg!
\({42\choose 40}\cdot 0.95^{40}\cdot (1-0.95)^{42-40}\)
Kiszámolva: 0.276622417006385
Várható érték
Mennyi a várható értéke az alábbi eloszlásnak?
| \(X\) | 29 | 50 | 89 |
| \(P(X)\) | 0.48 | 0.09 | 0.43 |
Lényegében az \(X\cdot P(X)\) szorzatokat kell kiszámolni és összeadni:
\(29 \cdot 0.48 + 50 \cdot 0.09 + 89 \cdot 0.43\)
Mennyi a várható értéke az alábbi eloszlásnak?
| \(X\) | 20 | 23 | 50 |
| \(P(X)\) | 0.25 | 0.47 | 0.28 |
Lényegében az \(X\cdot P(X)\) szorzatokat kell kiszámolni és összeadni:
\(20 \cdot 0.25 + 23 \cdot 0.47 + 50 \cdot 0.28\)
Mennyi a várható értéke az alábbi eloszlásnak?
| \(X\) | 23 | 94 | 99 |
| \(P(X)\) | 0.38 | 0.58 | 0.04 |
Lényegében az \(X\cdot P(X)\) szorzatokat kell kiszámolni és összeadni:
\(23 \cdot 0.38 + 94 \cdot 0.58 + 99 \cdot 0.04\)
Mennyi a várható értéke az alábbi eloszlásnak?
| \(X\) | 33 | 39 | 48 | 91 | 99 |
| \(P(X)\) | 0.03 | 0.5 | 0.13 | 0.09 | 0.25 |
Lényegében az \(X\cdot P(X)\) szorzatokat kell kiszámolni és összeadni:
\(33 \cdot 0.03 + 39 \cdot 0.5 + 48 \cdot 0.13 + 91 \cdot 0.09 + 99 \cdot 0.25\)
Mennyi a várható értéke az alábbi eloszlásnak?
| \(X\) | 39 | 41 | 58 | 90 |
| \(P(X)\) | 0.14 | 0.03 | 0.66 | 0.17 |
Lényegében az \(X\cdot P(X)\) szorzatokat kell kiszámolni és összeadni:
\(39 \cdot 0.14 + 41 \cdot 0.03 + 58 \cdot 0.66 + 90 \cdot 0.17\)