Kihívás - második alkalom
Derékszögű háromszög
Egy derékszögű háromszög egyik befogója \(288\) centiméter. Az átfogója \(96\) centiméterrel nagyobb, mint az ismeretlen befogója.
Hány centiméter a hiányzó befogó?
A hiányzó befogót jelöljük \(x\)-szel! Ekkor az átfogó \(x+96\).
Írjuk fel a Pitagorasz-tételt!
\(288^2 + x^2 = (x+96)^2\)
Az egyenlet jobb oldalát nevezetes szorzat (azonosság) segítségével felbontva:
\(82944 + x^2 = x^2 + 192x + 9216\)
Vegyük észre, hogy \(x^2\) kiesik, ezután már csak \(192x\) marad és a számok.
Ezt rendezve megkapjuk, hogy \(x=384\).
Egy derékszögű háromszög egyik befogója \(15\) centiméter. Az átfogója \(3\) centiméterrel nagyobb, mint az ismeretlen befogója.
Hány centiméter az átfogó?
A hiányzó befogót jelöljük \(x\)-szel! Ekkor az átfogó \(x+3\).
Írjuk fel a Pitagorasz-tételt!
\(15^2 + x^2 = (x+3)^2\)
Az egyenlet jobb oldalát nevezetes szorzat (azonosság) segítségével felbontva:
\(225 + x^2 = x^2 + 6x + 9\)
Vegyük észre, hogy \(x^2\) kiesik, ezután már csak \(6x\) marad és a számok.
Ezt rendezve megkapjuk, hogy \(x=36\).
Egy derékszögű háromszög egyik befogója \(315\) centiméter. Az átfogója \(189\) centiméterrel nagyobb, mint az ismeretlen befogója.
Hány centiméter a hiányzó befogó?
A hiányzó befogót jelöljük \(x\)-szel! Ekkor az átfogó \(x+189\).
Írjuk fel a Pitagorasz-tételt!
\(315^2 + x^2 = (x+189)^2\)
Az egyenlet jobb oldalát nevezetes szorzat (azonosság) segítségével felbontva:
\(99225 + x^2 = x^2 + 378x + 35721\)
Vegyük észre, hogy \(x^2\) kiesik, ezután már csak \(378x\) marad és a számok.
Ezt rendezve megkapjuk, hogy \(x=168\).
Egy derékszögű háromszög egyik befogója \(60\) centiméter. Az átfogója \(10\) centiméterrel nagyobb, mint az ismeretlen befogója.
Hány centiméter a hiányzó befogó?
A hiányzó befogót jelöljük \(x\)-szel! Ekkor az átfogó \(x+10\).
Írjuk fel a Pitagorasz-tételt!
\(60^2 + x^2 = (x+10)^2\)
Az egyenlet jobb oldalát nevezetes szorzat (azonosság) segítségével felbontva:
\(3600 + x^2 = x^2 + 20x + 100\)
Vegyük észre, hogy \(x^2\) kiesik, ezután már csak \(20x\) marad és a számok.
Ezt rendezve megkapjuk, hogy \(x=175\).
Egy derékszögű háromszög egyik befogója \(90\) centiméter. Az átfogója \(54\) centiméterrel nagyobb, mint az ismeretlen befogója.
Hány centiméter a hiányzó befogó?
A hiányzó befogót jelöljük \(x\)-szel! Ekkor az átfogó \(x+54\).
Írjuk fel a Pitagorasz-tételt!
\(90^2 + x^2 = (x+54)^2\)
Az egyenlet jobb oldalát nevezetes szorzat (azonosság) segítségével felbontva:
\(8100 + x^2 = x^2 + 108x + 2916\)
Vegyük észre, hogy \(x^2\) kiesik, ezután már csak \(108x\) marad és a számok.
Ezt rendezve megkapjuk, hogy \(x=48\).
Függvények
Határozd meg az alábbi függvény szélsőértékének típusát, helyét és értékét!
Típusa: , helye: , értéke:
A szélsőérték ott lesz, ahol a függvény a legkisebb vagy legnagyobb értéket veszi fel. Grafikonon ez szemléletesen azt jelenti, hogy a legalacsonyabb vagy a legmagasabb hely. Értelemszerűen ha legalacsonyabb hely, akkor az minimum, a legmagasabb pedig a maximum.
A szélsőérték helyére az \(x\) koordináta ad választ (esetünkben \(x = 5\)), az értékére pedig az \(y\) koordináta (esetünkben \(y = 3\)).
Határozd meg az alábbi függvény szélsőértékének típusát, helyét és értékét!
Típusa: , helye: , értéke:
A szélsőérték ott lesz, ahol a függvény a legkisebb vagy legnagyobb értéket veszi fel. Grafikonon ez szemléletesen azt jelenti, hogy a legalacsonyabb vagy a legmagasabb hely. Értelemszerűen ha legalacsonyabb hely, akkor az minimum, a legmagasabb pedig a maximum.
A szélsőérték helyére az \(x\) koordináta ad választ (esetünkben \(x = 4\)), az értékére pedig az \(y\) koordináta (esetünkben \(y = -6\)).
Határozd meg az alábbi függvény szélsőértékének típusát, helyét és értékét!
Típusa: , helye: , értéke:
A szélsőérték ott lesz, ahol a függvény a legkisebb vagy legnagyobb értéket veszi fel. Grafikonon ez szemléletesen azt jelenti, hogy a legalacsonyabb vagy a legmagasabb hely. Értelemszerűen ha legalacsonyabb hely, akkor az minimum, a legmagasabb pedig a maximum.
A szélsőérték helyére az \(x\) koordináta ad választ (esetünkben \(x = -1\)), az értékére pedig az \(y\) koordináta (esetünkben \(y = 4\)).
Határozd meg az alábbi függvény szélsőértékének típusát, helyét és értékét!
Típusa: , helye: , értéke:
A szélsőérték ott lesz, ahol a függvény a legkisebb vagy legnagyobb értéket veszi fel. Grafikonon ez szemléletesen azt jelenti, hogy a legalacsonyabb vagy a legmagasabb hely. Értelemszerűen ha legalacsonyabb hely, akkor az minimum, a legmagasabb pedig a maximum.
A szélsőérték helyére az \(x\) koordináta ad választ (esetünkben \(x = -2\)), az értékére pedig az \(y\) koordináta (esetünkben \(y = -7\)).
Határozd meg az alábbi függvény szélsőértékének típusát, helyét és értékét!
Típusa: , helye: , értéke:
A szélsőérték ott lesz, ahol a függvény a legkisebb vagy legnagyobb értéket veszi fel. Grafikonon ez szemléletesen azt jelenti, hogy a legalacsonyabb vagy a legmagasabb hely. Értelemszerűen ha legalacsonyabb hely, akkor az minimum, a legmagasabb pedig a maximum.
A szélsőérték helyére az \(x\) koordináta ad választ (esetünkben \(x = -4\)), az értékére pedig az \(y\) koordináta (esetünkben \(y = -2\)).
Sokszög
Egy sokszög átlóinak száma 10584.
Hány oldalú a sokszög?
Egy n-oldalú sokszög átlóinak száma: \(\frac{n\cdot(n-3)}{2}\).
Azaz az alábbi egyenlet írható fel, ahol n az ismeretlen: \(\frac{n(n-3)}{2} = 10584\). (Természetesen, ha zavar, akkor az \(n\) helyett lehet \(x\) is.)
Az egyenletet beszorozzuk kettővel: \(n(n-3) = 21168\)
Felbontjuk bal oldalon a zárójelet: \(n^2 - 3n = 21168\). Észrevesszük, hogy ez egy másodfokú egyenlet (ott az \(n^2\)!), amelyet nullára redukálunk:
\(n^2 - 3n - 21168 = 0\)
Ezt a megoldóképlettel (vagy számológéppel) megoldjuk.
Az egyenletnek két megoldása van: \(n_1 = 147\) és \(n_2 = -144\). Nyilván az \(n_2\), mivel negatív, így nem lehet a feladatnak megoldása.
Válasz: a sokszögnek 147 oldala van.
Egy sokszög átlóinak száma 299.
Hány oldalú a sokszög?
Egy n-oldalú sokszög átlóinak száma: \(\frac{n\cdot(n-3)}{2}\).
Azaz az alábbi egyenlet írható fel, ahol n az ismeretlen: \(\frac{n(n-3)}{2} = 299\). (Természetesen, ha zavar, akkor az \(n\) helyett lehet \(x\) is.)
Az egyenletet beszorozzuk kettővel: \(n(n-3) = 598\)
Felbontjuk bal oldalon a zárójelet: \(n^2 - 3n = 598\). Észrevesszük, hogy ez egy másodfokú egyenlet (ott az \(n^2\)!), amelyet nullára redukálunk:
\(n^2 - 3n - 598 = 0\)
Ezt a megoldóképlettel (vagy számológéppel) megoldjuk.
Az egyenletnek két megoldása van: \(n_1 = 26\) és \(n_2 = -23\). Nyilván az \(n_2\), mivel negatív, így nem lehet a feladatnak megoldása.
Válasz: a sokszögnek 26 oldala van.
Egy sokszög átlóinak száma 4277.
Hány oldalú a sokszög?
Egy n-oldalú sokszög átlóinak száma: \(\frac{n\cdot(n-3)}{2}\).
Azaz az alábbi egyenlet írható fel, ahol n az ismeretlen: \(\frac{n(n-3)}{2} = 4277\). (Természetesen, ha zavar, akkor az \(n\) helyett lehet \(x\) is.)
Az egyenletet beszorozzuk kettővel: \(n(n-3) = 8554\)
Felbontjuk bal oldalon a zárójelet: \(n^2 - 3n = 8554\). Észrevesszük, hogy ez egy másodfokú egyenlet (ott az \(n^2\)!), amelyet nullára redukálunk:
\(n^2 - 3n - 8554 = 0\)
Ezt a megoldóképlettel (vagy számológéppel) megoldjuk.
Az egyenletnek két megoldása van: \(n_1 = 94\) és \(n_2 = -91\). Nyilván az \(n_2\), mivel negatív, így nem lehet a feladatnak megoldása.
Válasz: a sokszögnek 94 oldala van.
Egy sokszög átlóinak száma 2484.
Hány oldalú a sokszög?
Egy n-oldalú sokszög átlóinak száma: \(\frac{n\cdot(n-3)}{2}\).
Azaz az alábbi egyenlet írható fel, ahol n az ismeretlen: \(\frac{n(n-3)}{2} = 2484\). (Természetesen, ha zavar, akkor az \(n\) helyett lehet \(x\) is.)
Az egyenletet beszorozzuk kettővel: \(n(n-3) = 4968\)
Felbontjuk bal oldalon a zárójelet: \(n^2 - 3n = 4968\). Észrevesszük, hogy ez egy másodfokú egyenlet (ott az \(n^2\)!), amelyet nullára redukálunk:
\(n^2 - 3n - 4968 = 0\)
Ezt a megoldóképlettel (vagy számológéppel) megoldjuk.
Az egyenletnek két megoldása van: \(n_1 = 72\) és \(n_2 = -69\). Nyilván az \(n_2\), mivel negatív, így nem lehet a feladatnak megoldása.
Válasz: a sokszögnek 72 oldala van.
Egy sokszög átlóinak száma 15050.
Hány oldalú a sokszög?
Egy n-oldalú sokszög átlóinak száma: \(\frac{n\cdot(n-3)}{2}\).
Azaz az alábbi egyenlet írható fel, ahol n az ismeretlen: \(\frac{n(n-3)}{2} = 15050\). (Természetesen, ha zavar, akkor az \(n\) helyett lehet \(x\) is.)
Az egyenletet beszorozzuk kettővel: \(n(n-3) = 30100\)
Felbontjuk bal oldalon a zárójelet: \(n^2 - 3n = 30100\). Észrevesszük, hogy ez egy másodfokú egyenlet (ott az \(n^2\)!), amelyet nullára redukálunk:
\(n^2 - 3n - 30100 = 0\)
Ezt a megoldóképlettel (vagy számológéppel) megoldjuk.
Az egyenletnek két megoldása van: \(n_1 = 175\) és \(n_2 = -172\). Nyilván az \(n_2\), mivel negatív, így nem lehet a feladatnak megoldása.
Válasz: a sokszögnek 175 oldala van.
Másodfokú függvény
Adott a képlettel megadott \(f(x)=(x-2)^2-6\) függvény. Melyik grafikon a függvény képe?
Ha más nem, lehetséges értéktáblázatot készíteni:
| \(x\) | -7 | -6 | -5 | -4 | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | 75 | 58 | 43 | 30 | 19 | 10 | 3 | -2 | -5 | -6 | -5 | -2 | 3 | 10 | 19 |
Ezután ellenőrízni kell, hogy melyik grafikonra teljesül, hogy az adott \(x\)-hez az adott \(f(x)\)-et (\(y\)) rendeli.
Ha matekosan akarjuk megoldani, akkor az ún. függvénytranszformációs lépéseket kell ismerni. Ezek az alábbiak:
\(x^2\) helyett \(x^2 + 3\): 3-mal feltoljuk az alapgrafikont
\(x^2\) helyett \(x^2 - 3\): 3-mal letoljuk az alapgrafikont
\(x^2\) helyett \((x+3)^2\): 3-mal balra toljuk az alapgrafikont (igen, vízszintesen pont ellenkező irányba tolunk)
\(x^2\) helyett \((x-3)^2\): 3-mal jobbra toljuk az alapgrafikont
A lépések kombinálhatóak is, azaz az \((x-2)^2 + 3\) jelenti, hogy kettővel jobbra és hárommal felfelé tolunk.
Az esetünkben 2 egységgel jobbra és -6 egységgel felfelé.
Adott a képlettel megadott \(f(x)=(x-4)^2-4\) függvény. Melyik grafikon a függvény képe?
Ha más nem, lehetséges értéktáblázatot készíteni:
| \(x\) | -7 | -6 | -5 | -4 | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | 117 | 96 | 77 | 60 | 45 | 32 | 21 | 12 | 5 | 0 | -3 | -4 | -3 | 0 | 5 |
Ezután ellenőrízni kell, hogy melyik grafikonra teljesül, hogy az adott \(x\)-hez az adott \(f(x)\)-et (\(y\)) rendeli.
Ha matekosan akarjuk megoldani, akkor az ún. függvénytranszformációs lépéseket kell ismerni. Ezek az alábbiak:
\(x^2\) helyett \(x^2 + 3\): 3-mal feltoljuk az alapgrafikont
\(x^2\) helyett \(x^2 - 3\): 3-mal letoljuk az alapgrafikont
\(x^2\) helyett \((x+3)^2\): 3-mal balra toljuk az alapgrafikont (igen, vízszintesen pont ellenkező irányba tolunk)
\(x^2\) helyett \((x-3)^2\): 3-mal jobbra toljuk az alapgrafikont
A lépések kombinálhatóak is, azaz az \((x-2)^2 + 3\) jelenti, hogy kettővel jobbra és hárommal felfelé tolunk.
Az esetünkben 4 egységgel jobbra és -4 egységgel felfelé.
Adott a képlettel megadott \(f(x)=(x-2)^2-2\) függvény. Melyik grafikon a függvény képe?
Ha más nem, lehetséges értéktáblázatot készíteni:
| \(x\) | -7 | -6 | -5 | -4 | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | 79 | 62 | 47 | 34 | 23 | 14 | 7 | 2 | -1 | -2 | -1 | 2 | 7 | 14 | 23 |
Ezután ellenőrízni kell, hogy melyik grafikonra teljesül, hogy az adott \(x\)-hez az adott \(f(x)\)-et (\(y\)) rendeli.
Ha matekosan akarjuk megoldani, akkor az ún. függvénytranszformációs lépéseket kell ismerni. Ezek az alábbiak:
\(x^2\) helyett \(x^2 + 3\): 3-mal feltoljuk az alapgrafikont
\(x^2\) helyett \(x^2 - 3\): 3-mal letoljuk az alapgrafikont
\(x^2\) helyett \((x+3)^2\): 3-mal balra toljuk az alapgrafikont (igen, vízszintesen pont ellenkező irányba tolunk)
\(x^2\) helyett \((x-3)^2\): 3-mal jobbra toljuk az alapgrafikont
A lépések kombinálhatóak is, azaz az \((x-2)^2 + 3\) jelenti, hogy kettővel jobbra és hárommal felfelé tolunk.
Az esetünkben 2 egységgel jobbra és -2 egységgel felfelé.
Adott a képlettel megadott \(f(x)=(x+1)^2+3\) függvény. Melyik grafikon a függvény képe?
Ha más nem, lehetséges értéktáblázatot készíteni:
| \(x\) | -7 | -6 | -5 | -4 | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | 39 | 28 | 19 | 12 | 7 | 4 | 3 | 4 | 7 | 12 | 19 | 28 | 39 | 52 | 67 |
Ezután ellenőrízni kell, hogy melyik grafikonra teljesül, hogy az adott \(x\)-hez az adott \(f(x)\)-et (\(y\)) rendeli.
Ha matekosan akarjuk megoldani, akkor az ún. függvénytranszformációs lépéseket kell ismerni. Ezek az alábbiak:
\(x^2\) helyett \(x^2 + 3\): 3-mal feltoljuk az alapgrafikont
\(x^2\) helyett \(x^2 - 3\): 3-mal letoljuk az alapgrafikont
\(x^2\) helyett \((x+3)^2\): 3-mal balra toljuk az alapgrafikont (igen, vízszintesen pont ellenkező irányba tolunk)
\(x^2\) helyett \((x-3)^2\): 3-mal jobbra toljuk az alapgrafikont
A lépések kombinálhatóak is, azaz az \((x-2)^2 + 3\) jelenti, hogy kettővel jobbra és hárommal felfelé tolunk.
Az esetünkben -1 egységgel jobbra és 3 egységgel felfelé.
Adott a képlettel megadott \(f(x)=(x-4)^2-1\) függvény. Melyik grafikon a függvény képe?
Ha más nem, lehetséges értéktáblázatot készíteni:
| \(x\) | -7 | -6 | -5 | -4 | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | 120 | 99 | 80 | 63 | 48 | 35 | 24 | 15 | 8 | 3 | 0 | -1 | 0 | 3 | 8 |
Ezután ellenőrízni kell, hogy melyik grafikonra teljesül, hogy az adott \(x\)-hez az adott \(f(x)\)-et (\(y\)) rendeli.
Ha matekosan akarjuk megoldani, akkor az ún. függvénytranszformációs lépéseket kell ismerni. Ezek az alábbiak:
\(x^2\) helyett \(x^2 + 3\): 3-mal feltoljuk az alapgrafikont
\(x^2\) helyett \(x^2 - 3\): 3-mal letoljuk az alapgrafikont
\(x^2\) helyett \((x+3)^2\): 3-mal balra toljuk az alapgrafikont (igen, vízszintesen pont ellenkező irányba tolunk)
\(x^2\) helyett \((x-3)^2\): 3-mal jobbra toljuk az alapgrafikont
A lépések kombinálhatóak is, azaz az \((x-2)^2 + 3\) jelenti, hogy kettővel jobbra és hárommal felfelé tolunk.
Az esetünkben 4 egységgel jobbra és -1 egységgel felfelé.
Számrendszer
Váltsd át a(z) \(20_{3}\) számot tizes számrendszerbe!
Írjuk fel a helyiérték-táblázatot (hatványalakokban):
| \(3^{1}\) | \(3^{0}\) |
| 2 | 0 |
Ha a helyiértékeket kiszámoljuk:
| 3 | 1 |
| 2 | 0 |
Összeadva: \(2\cdot 3^{1}+0\cdot 3^{0} = 2\cdot 3+0\cdot 1 = 6\).
Váltsd át a(z) \(32201_{4}\) számot tizes számrendszerbe!
Írjuk fel a helyiérték-táblázatot (hatványalakokban):
| \(4^{4}\) | \(4^{3}\) | \(4^{2}\) | \(4^{1}\) | \(4^{0}\) |
| 3 | 2 | 2 | 0 | 1 |
Ha a helyiértékeket kiszámoljuk:
| 256 | 64 | 16 | 4 | 1 |
| 3 | 2 | 2 | 0 | 1 |
Összeadva: \(3\cdot 4^{4}+2\cdot 4^{3}+2\cdot 4^{2}+0\cdot 4^{1}+1\cdot 4^{0} = 3\cdot 256+2\cdot 64+2\cdot 16+0\cdot 4+1\cdot 1 = 929\).
Váltsd át a(z) \(100_{2}\) számot tizes számrendszerbe!
Írjuk fel a helyiérték-táblázatot (hatványalakokban):
| \(2^{2}\) | \(2^{1}\) | \(2^{0}\) |
| 1 | 0 | 0 |
Ha a helyiértékeket kiszámoljuk:
| 4 | 2 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
Összeadva: \(1\cdot 2^{2}+0\cdot 2^{1}+0\cdot 2^{0} = 1\cdot 4+0\cdot 2+0\cdot 1 = 4\).
Váltsd át a(z) \(222_{3}\) számot tizes számrendszerbe!
Írjuk fel a helyiérték-táblázatot (hatványalakokban):
| \(3^{2}\) | \(3^{1}\) | \(3^{0}\) |
| 2 | 2 | 2 |
Ha a helyiértékeket kiszámoljuk:
| 9 | 3 | 1 |
| 2 | 2 | 2 |
Összeadva: \(2\cdot 3^{2}+2\cdot 3^{1}+2\cdot 3^{0} = 2\cdot 9+2\cdot 3+2\cdot 1 = 26\).
Váltsd át a(z) \(100_{2}\) számot tizes számrendszerbe!
Írjuk fel a helyiérték-táblázatot (hatványalakokban):
| \(2^{2}\) | \(2^{1}\) | \(2^{0}\) |
| 1 | 0 | 0 |
Ha a helyiértékeket kiszámoljuk:
| 4 | 2 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
Összeadva: \(1\cdot 2^{2}+0\cdot 2^{1}+0\cdot 2^{0} = 1\cdot 4+0\cdot 2+0\cdot 1 = 4\).
Trigonometria
Melyik szögfüggvényt lehet használni, ha a színezett (nem fekete) oldalakat és a színezett (nem derékszög) szög között szeretnénk kapcsolatot felírni?
Abból kell kiindulni, hogy a megadott szöghöz képest a derékszögű háromszögnek melyik oldalai adottak (vannak beszínezve).
Lépések a szögfüggvény megtalálásához:
ha az átfogó az egyik (a derékszöggel szemben), akkor szinusz vagy koszinusz. Ellenkező esetben tangens, és kész vagyunk.
ha a befogók közül a színezett oldalon van a jelölt szög ("szög melletti befogó"), akkor koszinusz. Ha nincs rajta a szög a színezett befogón ("szöggel szemközti befogó"), akkor szinusz.
Ugye, nem is nehéz kitalálni, hogy a tangens? Próbáld meg újra, hogy biztosan menjen!
Melyik szögfüggvényt lehet használni, ha a színezett (nem fekete) oldalakat és a színezett (nem derékszög) szög között szeretnénk kapcsolatot felírni?
Abból kell kiindulni, hogy a megadott szöghöz képest a derékszögű háromszögnek melyik oldalai adottak (vannak beszínezve).
Lépések a szögfüggvény megtalálásához:
ha az átfogó az egyik (a derékszöggel szemben), akkor szinusz vagy koszinusz. Ellenkező esetben tangens, és kész vagyunk.
ha a befogók közül a színezett oldalon van a jelölt szög ("szög melletti befogó"), akkor koszinusz. Ha nincs rajta a szög a színezett befogón ("szöggel szemközti befogó"), akkor szinusz.
Ugye, nem is nehéz kitalálni, hogy a tangens? Próbáld meg újra, hogy biztosan menjen!
Melyik szögfüggvényt lehet használni, ha a színezett (nem fekete) oldalakat és a színezett (nem derékszög) szög között szeretnénk kapcsolatot felírni?
Abból kell kiindulni, hogy a megadott szöghöz képest a derékszögű háromszögnek melyik oldalai adottak (vannak beszínezve).
Lépések a szögfüggvény megtalálásához:
ha az átfogó az egyik (a derékszöggel szemben), akkor szinusz vagy koszinusz. Ellenkező esetben tangens, és kész vagyunk.
ha a befogók közül a színezett oldalon van a jelölt szög ("szög melletti befogó"), akkor koszinusz. Ha nincs rajta a szög a színezett befogón ("szöggel szemközti befogó"), akkor szinusz.
Ugye, nem is nehéz kitalálni, hogy a tangens? Próbáld meg újra, hogy biztosan menjen!
Melyik szögfüggvényt lehet használni, ha a színezett (nem fekete) oldalakat és a színezett (nem derékszög) szög között szeretnénk kapcsolatot felírni?
Abból kell kiindulni, hogy a megadott szöghöz képest a derékszögű háromszögnek melyik oldalai adottak (vannak beszínezve).
Lépések a szögfüggvény megtalálásához:
ha az átfogó az egyik (a derékszöggel szemben), akkor szinusz vagy koszinusz. Ellenkező esetben tangens, és kész vagyunk.
ha a befogók közül a színezett oldalon van a jelölt szög ("szög melletti befogó"), akkor koszinusz. Ha nincs rajta a szög a színezett befogón ("szöggel szemközti befogó"), akkor szinusz.
Ugye, nem is nehéz kitalálni, hogy a koszinusz? Próbáld meg újra, hogy biztosan menjen!
Melyik szögfüggvényt lehet használni, ha a színezett (nem fekete) oldalakat és a színezett (nem derékszög) szög között szeretnénk kapcsolatot felírni?
Abból kell kiindulni, hogy a megadott szöghöz képest a derékszögű háromszögnek melyik oldalai adottak (vannak beszínezve).
Lépések a szögfüggvény megtalálásához:
ha az átfogó az egyik (a derékszöggel szemben), akkor szinusz vagy koszinusz. Ellenkező esetben tangens, és kész vagyunk.
ha a befogók közül a színezett oldalon van a jelölt szög ("szög melletti befogó"), akkor koszinusz. Ha nincs rajta a szög a színezett befogón ("szöggel szemközti befogó"), akkor szinusz.
Ugye, nem is nehéz kitalálni, hogy a tangens? Próbáld meg újra, hogy biztosan menjen!
Valószínűség
Egy mobilalkalmazás fejlesztői azt tapasztalták, hogy az alkalmazás új funkcióját kipróbáló felhasználók 4%-a később is rendszeresen használja azt. Egy nap 43 új felhasználó próbálja ki a funkciót.
Mekkora a valószínűsége annak, hogy pontosan 2 felhasználó fogja később is rendszeresen használni?
A végeredményt 3 tizedesjegyre kerekítve add meg!
\({43\choose 2}\cdot 0.04^{2}\cdot (1-0.04)^{43-2}\)
Kiszámolva: 0.270974415136441
Egy mobilalkalmazás fejlesztői azt tapasztalták, hogy az alkalmazás új funkcióját kipróbáló felhasználók 97%-a később is rendszeresen használja azt. Egy nap 22 új felhasználó próbálja ki a funkciót.
Mekkora a valószínűsége annak, hogy pontosan 22 felhasználó fogja később is rendszeresen használni?
A végeredményt 3 tizedesjegyre kerekítve add meg!
\({22\choose 22}\cdot 0.97^{22}\cdot (1-0.97)^{22-22}\)
Kiszámolva: 0.511656097259776
Egy mobilalkalmazás fejlesztői azt tapasztalták, hogy az alkalmazás új funkcióját kipróbáló felhasználók 22%-a később is rendszeresen használja azt. Egy nap 58 új felhasználó próbálja ki a funkciót.
Mekkora a valószínűsége annak, hogy pontosan 10 felhasználó fogja később is rendszeresen használni?
A végeredményt 3 tizedesjegyre kerekítve add meg!
\({58\choose 10}\cdot 0.22^{10}\cdot (1-0.22)^{58-10}\)
Kiszámolva: 0.0916785010097799
Egy mobilalkalmazás fejlesztői azt tapasztalták, hogy az alkalmazás új funkcióját kipróbáló felhasználók 72%-a később is rendszeresen használja azt. Egy nap 17 új felhasználó próbálja ki a funkciót.
Mekkora a valószínűsége annak, hogy pontosan 13 felhasználó fogja később is rendszeresen használni?
A végeredményt 3 tizedesjegyre kerekítve add meg!
\({17\choose 13}\cdot 0.72^{13}\cdot (1-0.72)^{17-13}\)
Kiszámolva: 0.204423837174951
Egy mobilalkalmazás fejlesztői azt tapasztalták, hogy az alkalmazás új funkcióját kipróbáló felhasználók 21%-a később is rendszeresen használja azt. Egy nap 5 új felhasználó próbálja ki a funkciót.
Mekkora a valószínűsége annak, hogy pontosan 1 felhasználó fogja később is rendszeresen használni?
A végeredményt 3 tizedesjegyre kerekítve add meg!
\({5\choose 1}\cdot 0.21^{1}\cdot (1-0.21)^{5-1}\)
Kiszámolva: 0.4089758505
Egy gyártósoron készülő alkatrészeknél a tapasztalatok szerint 3% a selejt aránya. A minőségellenőrzés során 58 darab alkatrészt vizsgálnak meg a gyártásból.
Mekkora a valószínűsége annak, hogy pontosan 1 darab selejtes lesz közöttük?
A végeredményt 3 tizedesjegyre kerekítve add meg!
\({58\choose 1}\cdot 0.03^{1}\cdot (1-0.03)^{58-1}\)
Kiszámolva: 0.306575963239346
Egy gyártósoron készülő alkatrészeknél a tapasztalatok szerint 98% a selejt aránya. A minőségellenőrzés során 19 darab alkatrészt vizsgálnak meg a gyártásból.
Mekkora a valószínűsége annak, hogy pontosan 19 darab selejtes lesz közöttük?
A végeredményt 3 tizedesjegyre kerekítve add meg!
\({19\choose 19}\cdot 0.98^{19}\cdot (1-0.98)^{19-19}\)
Kiszámolva: 0.681232624239892
Egy mobilalkalmazás fejlesztői azt tapasztalták, hogy az alkalmazás új funkcióját kipróbáló felhasználók 7%-a később is rendszeresen használja azt. Egy nap 12 új felhasználó próbálja ki a funkciót.
Mekkora a valószínűsége annak, hogy pontosan 1 felhasználó fogja később is rendszeresen használni?
A végeredményt 3 tizedesjegyre kerekítve add meg!
\({12\choose 1}\cdot 0.07^{1}\cdot (1-0.07)^{12-1}\)
Kiszámolva: 0.378086978368464
Egy gyártósoron készülő alkatrészeknél a tapasztalatok szerint 37% a selejt aránya. A minőségellenőrzés során 55 darab alkatrészt vizsgálnak meg a gyártásból.
Mekkora a valószínűsége annak, hogy pontosan 20 darab selejtes lesz közöttük?
A végeredményt 3 tizedesjegyre kerekítve add meg!
\({55\choose 20}\cdot 0.37^{20}\cdot (1-0.37)^{55-20}\)
Kiszámolva: 0.110733023468817
Egy gyártósoron készülő alkatrészeknél a tapasztalatok szerint 90% a selejt aránya. A minőségellenőrzés során 41 darab alkatrészt vizsgálnak meg a gyártásból.
Mekkora a valószínűsége annak, hogy pontosan 35 darab selejtes lesz közöttük?
A végeredményt 3 tizedesjegyre kerekítve add meg!
\({41\choose 35}\cdot 0.9^{35}\cdot (1-0.9)^{41-35}\)
Kiszámolva: 0.112551583747855
Várható érték
Mennyi a várható értéke az alábbi eloszlásnak?
| \(X\) | 22 | 47 | 79 | 82 | 85 | 99 |
| \(P(X)\) | 0.28 | 0.26 | 0.12 | 0.1 | 0.05 | 0.19 |
Lényegében az \(X\cdot P(X)\) szorzatokat kell kiszámolni és összeadni:
\(22 \cdot 0.28 + 47 \cdot 0.26 + 79 \cdot 0.12 + 82 \cdot 0.1 + 85 \cdot 0.05 + 99 \cdot 0.19\)
Mennyi a várható értéke az alábbi eloszlásnak?
| \(X\) | 15 | 18 | 44 | 46 | 89 |
| \(P(X)\) | 0.4 | 0.36 | 0.11 | 0.11 | 0.02 |
Lényegében az \(X\cdot P(X)\) szorzatokat kell kiszámolni és összeadni:
\(15 \cdot 0.4 + 18 \cdot 0.36 + 44 \cdot 0.11 + 46 \cdot 0.11 + 89 \cdot 0.02\)
Mennyi a várható értéke az alábbi eloszlásnak?
| \(X\) | 4 | 41 | 53 | 57 | 62 | 81 |
| \(P(X)\) | 0.04 | 0.05 | 0.07 | 0.61 | 0.11 | 0.12 |
Lényegében az \(X\cdot P(X)\) szorzatokat kell kiszámolni és összeadni:
\(4 \cdot 0.04 + 41 \cdot 0.05 + 53 \cdot 0.07 + 57 \cdot 0.61 + 62 \cdot 0.11 + 81 \cdot 0.12\)
Mennyi a várható értéke az alábbi eloszlásnak?
| \(X\) | 10 | 65 | 95 |
| \(P(X)\) | 0.21 | 0.68 | 0.11 |
Lényegében az \(X\cdot P(X)\) szorzatokat kell kiszámolni és összeadni:
\(10 \cdot 0.21 + 65 \cdot 0.68 + 95 \cdot 0.11\)
Mennyi a várható értéke az alábbi eloszlásnak?
| \(X\) | 30 | 38 | 48 | 66 | 94 |
| \(P(X)\) | 0.38 | 0.05 | 0.01 | 0.17 | 0.39 |
Lényegében az \(X\cdot P(X)\) szorzatokat kell kiszámolni és összeadni:
\(30 \cdot 0.38 + 38 \cdot 0.05 + 48 \cdot 0.01 + 66 \cdot 0.17 + 94 \cdot 0.39\)