Kihívás - második alkalom
Derékszögű háromszög
Egy derékszögű háromszög egyik befogója \(376\) centiméter. Az átfogója \(188\) centiméterrel nagyobb, mint az ismeretlen befogója.
Hány centiméter az átfogó?
A hiányzó befogót jelöljük \(x\)-szel! Ekkor az átfogó \(x+188\).
Írjuk fel a Pitagorasz-tételt!
\(376^2 + x^2 = (x+188)^2\)
Az egyenlet jobb oldalát nevezetes szorzat (azonosság) segítségével felbontva:
\(141376 + x^2 = x^2 + 376x + 35344\)
Vegyük észre, hogy \(x^2\) kiesik, ezután már csak \(376x\) marad és a számok.
Ezt rendezve megkapjuk, hogy \(x=282\).
Egy derékszögű háromszög egyik befogója \(165\) centiméter. Az átfogója \(45\) centiméterrel nagyobb, mint az ismeretlen befogója.
Hány centiméter az átfogó?
A hiányzó befogót jelöljük \(x\)-szel! Ekkor az átfogó \(x+45\).
Írjuk fel a Pitagorasz-tételt!
\(165^2 + x^2 = (x+45)^2\)
Az egyenlet jobb oldalát nevezetes szorzat (azonosság) segítségével felbontva:
\(27225 + x^2 = x^2 + 90x + 2025\)
Vegyük észre, hogy \(x^2\) kiesik, ezután már csak \(90x\) marad és a számok.
Ezt rendezve megkapjuk, hogy \(x=280\).
Egy derékszögű háromszög egyik befogója \(12\) centiméter. Az átfogója \(4\) centiméterrel nagyobb, mint az ismeretlen befogója.
Hány centiméter az átfogó?
A hiányzó befogót jelöljük \(x\)-szel! Ekkor az átfogó \(x+4\).
Írjuk fel a Pitagorasz-tételt!
\(12^2 + x^2 = (x+4)^2\)
Az egyenlet jobb oldalát nevezetes szorzat (azonosság) segítségével felbontva:
\(144 + x^2 = x^2 + 8x + 16\)
Vegyük észre, hogy \(x^2\) kiesik, ezután már csak \(8x\) marad és a számok.
Ezt rendezve megkapjuk, hogy \(x=16\).
Egy derékszögű háromszög egyik befogója \(84\) centiméter. Az átfogója \(42\) centiméterrel nagyobb, mint az ismeretlen befogója.
Hány centiméter az átfogó?
A hiányzó befogót jelöljük \(x\)-szel! Ekkor az átfogó \(x+42\).
Írjuk fel a Pitagorasz-tételt!
\(84^2 + x^2 = (x+42)^2\)
Az egyenlet jobb oldalát nevezetes szorzat (azonosság) segítségével felbontva:
\(7056 + x^2 = x^2 + 84x + 1764\)
Vegyük észre, hogy \(x^2\) kiesik, ezután már csak \(84x\) marad és a számok.
Ezt rendezve megkapjuk, hogy \(x=63\).
Egy derékszögű háromszög egyik befogója \(240\) centiméter. Az átfogója \(120\) centiméterrel nagyobb, mint az ismeretlen befogója.
Hány centiméter a hiányzó befogó?
A hiányzó befogót jelöljük \(x\)-szel! Ekkor az átfogó \(x+120\).
Írjuk fel a Pitagorasz-tételt!
\(240^2 + x^2 = (x+120)^2\)
Az egyenlet jobb oldalát nevezetes szorzat (azonosság) segítségével felbontva:
\(57600 + x^2 = x^2 + 240x + 14400\)
Vegyük észre, hogy \(x^2\) kiesik, ezután már csak \(240x\) marad és a számok.
Ezt rendezve megkapjuk, hogy \(x=180\).
Függvények
Határozd meg az alábbi függvény szélsőértékének típusát, helyét és értékét!
Típusa: , helye: , értéke:
A szélsőérték ott lesz, ahol a függvény a legkisebb vagy legnagyobb értéket veszi fel. Grafikonon ez szemléletesen azt jelenti, hogy a legalacsonyabb vagy a legmagasabb hely. Értelemszerűen ha legalacsonyabb hely, akkor az minimum, a legmagasabb pedig a maximum.
A szélsőérték helyére az \(x\) koordináta ad választ (esetünkben \(x = -1\)), az értékére pedig az \(y\) koordináta (esetünkben \(y = 0\)).
Határozd meg az alábbi függvény szélsőértékének típusát, helyét és értékét!
Típusa: , helye: , értéke:
A szélsőérték ott lesz, ahol a függvény a legkisebb vagy legnagyobb értéket veszi fel. Grafikonon ez szemléletesen azt jelenti, hogy a legalacsonyabb vagy a legmagasabb hely. Értelemszerűen ha legalacsonyabb hely, akkor az minimum, a legmagasabb pedig a maximum.
A szélsőérték helyére az \(x\) koordináta ad választ (esetünkben \(x = 3\)), az értékére pedig az \(y\) koordináta (esetünkben \(y = 3\)).
Határozd meg az alábbi függvény szélsőértékének típusát, helyét és értékét!
Típusa: , helye: , értéke:
A szélsőérték ott lesz, ahol a függvény a legkisebb vagy legnagyobb értéket veszi fel. Grafikonon ez szemléletesen azt jelenti, hogy a legalacsonyabb vagy a legmagasabb hely. Értelemszerűen ha legalacsonyabb hely, akkor az minimum, a legmagasabb pedig a maximum.
A szélsőérték helyére az \(x\) koordináta ad választ (esetünkben \(x = -1\)), az értékére pedig az \(y\) koordináta (esetünkben \(y = -2\)).
Határozd meg az alábbi függvény szélsőértékének típusát, helyét és értékét!
Típusa: , helye: , értéke:
A szélsőérték ott lesz, ahol a függvény a legkisebb vagy legnagyobb értéket veszi fel. Grafikonon ez szemléletesen azt jelenti, hogy a legalacsonyabb vagy a legmagasabb hely. Értelemszerűen ha legalacsonyabb hely, akkor az minimum, a legmagasabb pedig a maximum.
A szélsőérték helyére az \(x\) koordináta ad választ (esetünkben \(x = -1\)), az értékére pedig az \(y\) koordináta (esetünkben \(y = -4\)).
Határozd meg az alábbi függvény szélsőértékének típusát, helyét és értékét!
Típusa: , helye: , értéke:
A szélsőérték ott lesz, ahol a függvény a legkisebb vagy legnagyobb értéket veszi fel. Grafikonon ez szemléletesen azt jelenti, hogy a legalacsonyabb vagy a legmagasabb hely. Értelemszerűen ha legalacsonyabb hely, akkor az minimum, a legmagasabb pedig a maximum.
A szélsőérték helyére az \(x\) koordináta ad választ (esetünkben \(x = 1\)), az értékére pedig az \(y\) koordináta (esetünkben \(y = -4\)).
Sokszög
Egy sokszög átlóinak száma 9044.
Hány oldalú a sokszög?
Egy n-oldalú sokszög átlóinak száma: \(\frac{n\cdot(n-3)}{2}\).
Azaz az alábbi egyenlet írható fel, ahol n az ismeretlen: \(\frac{n(n-3)}{2} = 9044\). (Természetesen, ha zavar, akkor az \(n\) helyett lehet \(x\) is.)
Az egyenletet beszorozzuk kettővel: \(n(n-3) = 18088\)
Felbontjuk bal oldalon a zárójelet: \(n^2 - 3n = 18088\). Észrevesszük, hogy ez egy másodfokú egyenlet (ott az \(n^2\)!), amelyet nullára redukálunk:
\(n^2 - 3n - 18088 = 0\)
Ezt a megoldóképlettel (vagy számológéppel) megoldjuk.
Az egyenletnek két megoldása van: \(n_1 = 136\) és \(n_2 = -133\). Nyilván az \(n_2\), mivel negatív, így nem lehet a feladatnak megoldása.
Válasz: a sokszögnek 136 oldala van.
Egy sokszög átlóinak száma 4185.
Hány oldalú a sokszög?
Egy n-oldalú sokszög átlóinak száma: \(\frac{n\cdot(n-3)}{2}\).
Azaz az alábbi egyenlet írható fel, ahol n az ismeretlen: \(\frac{n(n-3)}{2} = 4185\). (Természetesen, ha zavar, akkor az \(n\) helyett lehet \(x\) is.)
Az egyenletet beszorozzuk kettővel: \(n(n-3) = 8370\)
Felbontjuk bal oldalon a zárójelet: \(n^2 - 3n = 8370\). Észrevesszük, hogy ez egy másodfokú egyenlet (ott az \(n^2\)!), amelyet nullára redukálunk:
\(n^2 - 3n - 8370 = 0\)
Ezt a megoldóképlettel (vagy számológéppel) megoldjuk.
Az egyenletnek két megoldása van: \(n_1 = 93\) és \(n_2 = -90\). Nyilván az \(n_2\), mivel negatív, így nem lehet a feladatnak megoldása.
Válasz: a sokszögnek 93 oldala van.
Egy sokszög átlóinak száma 17765.
Hány oldalú a sokszög?
Egy n-oldalú sokszög átlóinak száma: \(\frac{n\cdot(n-3)}{2}\).
Azaz az alábbi egyenlet írható fel, ahol n az ismeretlen: \(\frac{n(n-3)}{2} = 17765\). (Természetesen, ha zavar, akkor az \(n\) helyett lehet \(x\) is.)
Az egyenletet beszorozzuk kettővel: \(n(n-3) = 35530\)
Felbontjuk bal oldalon a zárójelet: \(n^2 - 3n = 35530\). Észrevesszük, hogy ez egy másodfokú egyenlet (ott az \(n^2\)!), amelyet nullára redukálunk:
\(n^2 - 3n - 35530 = 0\)
Ezt a megoldóképlettel (vagy számológéppel) megoldjuk.
Az egyenletnek két megoldása van: \(n_1 = 190\) és \(n_2 = -187\). Nyilván az \(n_2\), mivel negatív, így nem lehet a feladatnak megoldása.
Válasz: a sokszögnek 190 oldala van.
Egy sokszög átlóinak száma 5049.
Hány oldalú a sokszög?
Egy n-oldalú sokszög átlóinak száma: \(\frac{n\cdot(n-3)}{2}\).
Azaz az alábbi egyenlet írható fel, ahol n az ismeretlen: \(\frac{n(n-3)}{2} = 5049\). (Természetesen, ha zavar, akkor az \(n\) helyett lehet \(x\) is.)
Az egyenletet beszorozzuk kettővel: \(n(n-3) = 10098\)
Felbontjuk bal oldalon a zárójelet: \(n^2 - 3n = 10098\). Észrevesszük, hogy ez egy másodfokú egyenlet (ott az \(n^2\)!), amelyet nullára redukálunk:
\(n^2 - 3n - 10098 = 0\)
Ezt a megoldóképlettel (vagy számológéppel) megoldjuk.
Az egyenletnek két megoldása van: \(n_1 = 102\) és \(n_2 = -99\). Nyilván az \(n_2\), mivel negatív, így nem lehet a feladatnak megoldása.
Válasz: a sokszögnek 102 oldala van.
Egy sokszög átlóinak száma 7749.
Hány oldalú a sokszög?
Egy n-oldalú sokszög átlóinak száma: \(\frac{n\cdot(n-3)}{2}\).
Azaz az alábbi egyenlet írható fel, ahol n az ismeretlen: \(\frac{n(n-3)}{2} = 7749\). (Természetesen, ha zavar, akkor az \(n\) helyett lehet \(x\) is.)
Az egyenletet beszorozzuk kettővel: \(n(n-3) = 15498\)
Felbontjuk bal oldalon a zárójelet: \(n^2 - 3n = 15498\). Észrevesszük, hogy ez egy másodfokú egyenlet (ott az \(n^2\)!), amelyet nullára redukálunk:
\(n^2 - 3n - 15498 = 0\)
Ezt a megoldóképlettel (vagy számológéppel) megoldjuk.
Az egyenletnek két megoldása van: \(n_1 = 126\) és \(n_2 = -123\). Nyilván az \(n_2\), mivel negatív, így nem lehet a feladatnak megoldása.
Válasz: a sokszögnek 126 oldala van.
Másodfokú függvény
Adott a képlettel megadott \(f(x)=(x-2)^2-4\) függvény. Melyik grafikon a függvény képe?
Ha más nem, lehetséges értéktáblázatot készíteni:
| \(x\) | -7 | -6 | -5 | -4 | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | 77 | 60 | 45 | 32 | 21 | 12 | 5 | 0 | -3 | -4 | -3 | 0 | 5 | 12 | 21 |
Ezután ellenőrízni kell, hogy melyik grafikonra teljesül, hogy az adott \(x\)-hez az adott \(f(x)\)-et (\(y\)) rendeli.
Ha matekosan akarjuk megoldani, akkor az ún. függvénytranszformációs lépéseket kell ismerni. Ezek az alábbiak:
\(x^2\) helyett \(x^2 + 3\): 3-mal feltoljuk az alapgrafikont
\(x^2\) helyett \(x^2 - 3\): 3-mal letoljuk az alapgrafikont
\(x^2\) helyett \((x+3)^2\): 3-mal balra toljuk az alapgrafikont (igen, vízszintesen pont ellenkező irányba tolunk)
\(x^2\) helyett \((x-3)^2\): 3-mal jobbra toljuk az alapgrafikont
A lépések kombinálhatóak is, azaz az \((x-2)^2 + 3\) jelenti, hogy kettővel jobbra és hárommal felfelé tolunk.
Az esetünkben 2 egységgel jobbra és -4 egységgel felfelé.
Adott a képlettel megadott \(x\mapsto (x+1)^2+2\) függvény. Melyik grafikon a függvény képe?
Ha más nem, lehetséges értéktáblázatot készíteni:
| \(x\) | -7 | -6 | -5 | -4 | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | 38 | 27 | 18 | 11 | 6 | 3 | 2 | 3 | 6 | 11 | 18 | 27 | 38 | 51 | 66 |
Ezután ellenőrízni kell, hogy melyik grafikonra teljesül, hogy az adott \(x\)-hez az adott \(f(x)\)-et (\(y\)) rendeli.
Ha matekosan akarjuk megoldani, akkor az ún. függvénytranszformációs lépéseket kell ismerni. Ezek az alábbiak:
\(x^2\) helyett \(x^2 + 3\): 3-mal feltoljuk az alapgrafikont
\(x^2\) helyett \(x^2 - 3\): 3-mal letoljuk az alapgrafikont
\(x^2\) helyett \((x+3)^2\): 3-mal balra toljuk az alapgrafikont (igen, vízszintesen pont ellenkező irányba tolunk)
\(x^2\) helyett \((x-3)^2\): 3-mal jobbra toljuk az alapgrafikont
A lépések kombinálhatóak is, azaz az \((x-2)^2 + 3\) jelenti, hogy kettővel jobbra és hárommal felfelé tolunk.
Az esetünkben -1 egységgel jobbra és 2 egységgel felfelé.
Adott a képlettel megadott \(x\mapsto (x-2)^2+2\) függvény. Melyik grafikon a függvény képe?
Ha más nem, lehetséges értéktáblázatot készíteni:
| \(x\) | -7 | -6 | -5 | -4 | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | 83 | 66 | 51 | 38 | 27 | 18 | 11 | 6 | 3 | 2 | 3 | 6 | 11 | 18 | 27 |
Ezután ellenőrízni kell, hogy melyik grafikonra teljesül, hogy az adott \(x\)-hez az adott \(f(x)\)-et (\(y\)) rendeli.
Ha matekosan akarjuk megoldani, akkor az ún. függvénytranszformációs lépéseket kell ismerni. Ezek az alábbiak:
\(x^2\) helyett \(x^2 + 3\): 3-mal feltoljuk az alapgrafikont
\(x^2\) helyett \(x^2 - 3\): 3-mal letoljuk az alapgrafikont
\(x^2\) helyett \((x+3)^2\): 3-mal balra toljuk az alapgrafikont (igen, vízszintesen pont ellenkező irányba tolunk)
\(x^2\) helyett \((x-3)^2\): 3-mal jobbra toljuk az alapgrafikont
A lépések kombinálhatóak is, azaz az \((x-2)^2 + 3\) jelenti, hogy kettővel jobbra és hárommal felfelé tolunk.
Az esetünkben 2 egységgel jobbra és 2 egységgel felfelé.
Adott a képlettel megadott \(x\mapsto (x-4)^2+1\) függvény. Melyik grafikon a függvény képe?
Ha más nem, lehetséges értéktáblázatot készíteni:
| \(x\) | -7 | -6 | -5 | -4 | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | 122 | 101 | 82 | 65 | 50 | 37 | 26 | 17 | 10 | 5 | 2 | 1 | 2 | 5 | 10 |
Ezután ellenőrízni kell, hogy melyik grafikonra teljesül, hogy az adott \(x\)-hez az adott \(f(x)\)-et (\(y\)) rendeli.
Ha matekosan akarjuk megoldani, akkor az ún. függvénytranszformációs lépéseket kell ismerni. Ezek az alábbiak:
\(x^2\) helyett \(x^2 + 3\): 3-mal feltoljuk az alapgrafikont
\(x^2\) helyett \(x^2 - 3\): 3-mal letoljuk az alapgrafikont
\(x^2\) helyett \((x+3)^2\): 3-mal balra toljuk az alapgrafikont (igen, vízszintesen pont ellenkező irányba tolunk)
\(x^2\) helyett \((x-3)^2\): 3-mal jobbra toljuk az alapgrafikont
A lépések kombinálhatóak is, azaz az \((x-2)^2 + 3\) jelenti, hogy kettővel jobbra és hárommal felfelé tolunk.
Az esetünkben 4 egységgel jobbra és 1 egységgel felfelé.
Adott a képlettel megadott \(x\mapsto (x-2)^2-5\) függvény. Melyik grafikon a függvény képe?
Ha más nem, lehetséges értéktáblázatot készíteni:
| \(x\) | -7 | -6 | -5 | -4 | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | 76 | 59 | 44 | 31 | 20 | 11 | 4 | -1 | -4 | -5 | -4 | -1 | 4 | 11 | 20 |
Ezután ellenőrízni kell, hogy melyik grafikonra teljesül, hogy az adott \(x\)-hez az adott \(f(x)\)-et (\(y\)) rendeli.
Ha matekosan akarjuk megoldani, akkor az ún. függvénytranszformációs lépéseket kell ismerni. Ezek az alábbiak:
\(x^2\) helyett \(x^2 + 3\): 3-mal feltoljuk az alapgrafikont
\(x^2\) helyett \(x^2 - 3\): 3-mal letoljuk az alapgrafikont
\(x^2\) helyett \((x+3)^2\): 3-mal balra toljuk az alapgrafikont (igen, vízszintesen pont ellenkező irányba tolunk)
\(x^2\) helyett \((x-3)^2\): 3-mal jobbra toljuk az alapgrafikont
A lépések kombinálhatóak is, azaz az \((x-2)^2 + 3\) jelenti, hogy kettővel jobbra és hárommal felfelé tolunk.
Az esetünkben 2 egységgel jobbra és -5 egységgel felfelé.
Számrendszer
Váltsd át a(z) \(101_{2}\) számot tizes számrendszerbe!
Írjuk fel a helyiérték-táblázatot (hatványalakokban):
| \(2^{2}\) | \(2^{1}\) | \(2^{0}\) |
| 1 | 0 | 1 |
Ha a helyiértékeket kiszámoljuk:
| 4 | 2 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
Összeadva: \(1\cdot 2^{2}+0\cdot 2^{1}+1\cdot 2^{0} = 1\cdot 4+0\cdot 2+1\cdot 1 = 5\).
Váltsd át a(z) \(110_{2}\) számot tizes számrendszerbe!
Írjuk fel a helyiérték-táblázatot (hatványalakokban):
| \(2^{2}\) | \(2^{1}\) | \(2^{0}\) |
| 1 | 1 | 0 |
Ha a helyiértékeket kiszámoljuk:
| 4 | 2 | 1 |
| 1 | 1 | 0 |
Összeadva: \(1\cdot 2^{2}+1\cdot 2^{1}+0\cdot 2^{0} = 1\cdot 4+1\cdot 2+0\cdot 1 = 6\).
Váltsd át a(z) \(120_{3}\) számot tizes számrendszerbe!
Írjuk fel a helyiérték-táblázatot (hatványalakokban):
| \(3^{2}\) | \(3^{1}\) | \(3^{0}\) |
| 1 | 2 | 0 |
Ha a helyiértékeket kiszámoljuk:
| 9 | 3 | 1 |
| 1 | 2 | 0 |
Összeadva: \(1\cdot 3^{2}+2\cdot 3^{1}+0\cdot 3^{0} = 1\cdot 9+2\cdot 3+0\cdot 1 = 15\).
Váltsd át a(z) \(211_{5}\) számot tizes számrendszerbe!
Írjuk fel a helyiérték-táblázatot (hatványalakokban):
| \(5^{2}\) | \(5^{1}\) | \(5^{0}\) |
| 2 | 1 | 1 |
Ha a helyiértékeket kiszámoljuk:
| 25 | 5 | 1 |
| 2 | 1 | 1 |
Összeadva: \(2\cdot 5^{2}+1\cdot 5^{1}+1\cdot 5^{0} = 2\cdot 25+1\cdot 5+1\cdot 1 = 56\).
Váltsd át a(z) \(132_{8}\) számot tizes számrendszerbe!
Írjuk fel a helyiérték-táblázatot (hatványalakokban):
| \(8^{2}\) | \(8^{1}\) | \(8^{0}\) |
| 1 | 3 | 2 |
Ha a helyiértékeket kiszámoljuk:
| 64 | 8 | 1 |
| 1 | 3 | 2 |
Összeadva: \(1\cdot 8^{2}+3\cdot 8^{1}+2\cdot 8^{0} = 1\cdot 64+3\cdot 8+2\cdot 1 = 90\).
Trigonometria
Melyik szögfüggvényt lehet használni, ha a színezett (nem fekete) oldalakat és a színezett (nem derékszög) szög között szeretnénk kapcsolatot felírni?
Abból kell kiindulni, hogy a megadott szöghöz képest a derékszögű háromszögnek melyik oldalai adottak (vannak beszínezve).
Lépések a szögfüggvény megtalálásához:
ha az átfogó az egyik (a derékszöggel szemben), akkor szinusz vagy koszinusz. Ellenkező esetben tangens, és kész vagyunk.
ha a befogók közül a színezett oldalon van a jelölt szög ("szög melletti befogó"), akkor koszinusz. Ha nincs rajta a szög a színezett befogón ("szöggel szemközti befogó"), akkor szinusz.
Ugye, nem is nehéz kitalálni, hogy a szinusz? Próbáld meg újra, hogy biztosan menjen!
Melyik szögfüggvényt lehet használni, ha a színezett (nem fekete) oldalakat és a színezett (nem derékszög) szög között szeretnénk kapcsolatot felírni?
Abból kell kiindulni, hogy a megadott szöghöz képest a derékszögű háromszögnek melyik oldalai adottak (vannak beszínezve).
Lépések a szögfüggvény megtalálásához:
ha az átfogó az egyik (a derékszöggel szemben), akkor szinusz vagy koszinusz. Ellenkező esetben tangens, és kész vagyunk.
ha a befogók közül a színezett oldalon van a jelölt szög ("szög melletti befogó"), akkor koszinusz. Ha nincs rajta a szög a színezett befogón ("szöggel szemközti befogó"), akkor szinusz.
Ugye, nem is nehéz kitalálni, hogy a koszinusz? Próbáld meg újra, hogy biztosan menjen!
Melyik szögfüggvényt lehet használni, ha a színezett (nem fekete) oldalakat és a színezett (nem derékszög) szög között szeretnénk kapcsolatot felírni?
Abból kell kiindulni, hogy a megadott szöghöz képest a derékszögű háromszögnek melyik oldalai adottak (vannak beszínezve).
Lépések a szögfüggvény megtalálásához:
ha az átfogó az egyik (a derékszöggel szemben), akkor szinusz vagy koszinusz. Ellenkező esetben tangens, és kész vagyunk.
ha a befogók közül a színezett oldalon van a jelölt szög ("szög melletti befogó"), akkor koszinusz. Ha nincs rajta a szög a színezett befogón ("szöggel szemközti befogó"), akkor szinusz.
Ugye, nem is nehéz kitalálni, hogy a koszinusz? Próbáld meg újra, hogy biztosan menjen!
Melyik szögfüggvényt lehet használni, ha a színezett (nem fekete) oldalakat és a színezett (nem derékszög) szög között szeretnénk kapcsolatot felírni?
Abból kell kiindulni, hogy a megadott szöghöz képest a derékszögű háromszögnek melyik oldalai adottak (vannak beszínezve).
Lépések a szögfüggvény megtalálásához:
ha az átfogó az egyik (a derékszöggel szemben), akkor szinusz vagy koszinusz. Ellenkező esetben tangens, és kész vagyunk.
ha a befogók közül a színezett oldalon van a jelölt szög ("szög melletti befogó"), akkor koszinusz. Ha nincs rajta a szög a színezett befogón ("szöggel szemközti befogó"), akkor szinusz.
Ugye, nem is nehéz kitalálni, hogy a koszinusz? Próbáld meg újra, hogy biztosan menjen!
Melyik szögfüggvényt lehet használni, ha a színezett (nem fekete) oldalakat és a színezett (nem derékszög) szög között szeretnénk kapcsolatot felírni?
Abból kell kiindulni, hogy a megadott szöghöz képest a derékszögű háromszögnek melyik oldalai adottak (vannak beszínezve).
Lépések a szögfüggvény megtalálásához:
ha az átfogó az egyik (a derékszöggel szemben), akkor szinusz vagy koszinusz. Ellenkező esetben tangens, és kész vagyunk.
ha a befogók közül a színezett oldalon van a jelölt szög ("szög melletti befogó"), akkor koszinusz. Ha nincs rajta a szög a színezett befogón ("szöggel szemközti befogó"), akkor szinusz.
Ugye, nem is nehéz kitalálni, hogy a koszinusz? Próbáld meg újra, hogy biztosan menjen!
Valószínűség
Egy gyártósoron készülő alkatrészeknél a tapasztalatok szerint 76% a selejt aránya. A minőségellenőrzés során 19 darab alkatrészt vizsgálnak meg a gyártásból.
Mekkora a valószínűsége annak, hogy pontosan 13 darab selejtes lesz közöttük?
A végeredményt 3 tizedesjegyre kerekítve add meg!
\({19\choose 13}\cdot 0.76^{13}\cdot (1-0.76)^{19-13}\)
Kiszámolva: 0.14632750187264
Egy gyártósoron készülő alkatrészeknél a tapasztalatok szerint 7% a selejt aránya. A minőségellenőrzés során 51 darab alkatrészt vizsgálnak meg a gyártásból.
Mekkora a valószínűsége annak, hogy pontosan 2 darab selejtes lesz közöttük?
A végeredményt 3 tizedesjegyre kerekítve add meg!
\({51\choose 2}\cdot 0.07^{2}\cdot (1-0.07)^{51-2}\)
Kiszámolva: 0.178390097943093
Egy mobilalkalmazás fejlesztői azt tapasztalták, hogy az alkalmazás új funkcióját kipróbáló felhasználók 81%-a később is rendszeresen használja azt. Egy nap 20 új felhasználó próbálja ki a funkciót.
Mekkora a valószínűsége annak, hogy pontosan 17 felhasználó fogja később is rendszeresen használni?
A végeredményt 3 tizedesjegyre kerekítve add meg!
\({20\choose 17}\cdot 0.81^{17}\cdot (1-0.81)^{20-17}\)
Kiszámolva: 0.21747581904415
Egy mobilalkalmazás fejlesztői azt tapasztalták, hogy az alkalmazás új funkcióját kipróbáló felhasználók 77%-a később is rendszeresen használja azt. Egy nap 17 új felhasználó próbálja ki a funkciót.
Mekkora a valószínűsége annak, hogy pontosan 13 felhasználó fogja később is rendszeresen használni?
A végeredményt 3 tizedesjegyre kerekítve add meg!
\({17\choose 13}\cdot 0.77^{13}\cdot (1-0.77)^{17-13}\)
Kiszámolva: 0.22277565455085
Egy mobilalkalmazás fejlesztői azt tapasztalták, hogy az alkalmazás új funkcióját kipróbáló felhasználók 19%-a később is rendszeresen használja azt. Egy nap 47 új felhasználó próbálja ki a funkciót.
Mekkora a valószínűsége annak, hogy pontosan 10 felhasználó fogja később is rendszeresen használni?
A végeredményt 3 tizedesjegyre kerekítve add meg!
\({47\choose 10}\cdot 0.19^{10}\cdot (1-0.19)^{47-10}\)
Kiszámolva: 0.130511671761647
Egy gyártósoron készülő alkatrészeknél a tapasztalatok szerint 18% a selejt aránya. A minőségellenőrzés során 25 darab alkatrészt vizsgálnak meg a gyártásból.
Mekkora a valószínűsége annak, hogy pontosan 3 darab selejtes lesz közöttük?
A végeredményt 3 tizedesjegyre kerekítve add meg!
\({25\choose 3}\cdot 0.18^{3}\cdot (1-0.18)^{25-3}\)
Kiszámolva: 0.170392354375321
Egy mobilalkalmazás fejlesztői azt tapasztalták, hogy az alkalmazás új funkcióját kipróbáló felhasználók 78%-a később is rendszeresen használja azt. Egy nap 35 új felhasználó próbálja ki a funkciót.
Mekkora a valószínűsége annak, hogy pontosan 28 felhasználó fogja később is rendszeresen használni?
A végeredményt 3 tizedesjegyre kerekítve add meg!
\({35\choose 28}\cdot 0.78^{28}\cdot (1-0.78)^{35-28}\)
Kiszámolva: 0.159686767875664
Egy gyártósoron készülő alkatrészeknél a tapasztalatok szerint 44% a selejt aránya. A minőségellenőrzés során 43 darab alkatrészt vizsgálnak meg a gyártásból.
Mekkora a valószínűsége annak, hogy pontosan 22 darab selejtes lesz közöttük?
A végeredményt 3 tizedesjegyre kerekítve add meg!
\({43\choose 22}\cdot 0.44^{22}\cdot (1-0.44)^{43-22}\)
Kiszámolva: 0.0776146344949198
Egy gyártósoron készülő alkatrészeknél a tapasztalatok szerint 63% a selejt aránya. A minőségellenőrzés során 35 darab alkatrészt vizsgálnak meg a gyártásból.
Mekkora a valószínűsége annak, hogy pontosan 25 darab selejtes lesz közöttük?
A végeredményt 3 tizedesjegyre kerekítve add meg!
\({35\choose 25}\cdot 0.63^{25}\cdot (1-0.63)^{35-25}\)
Kiszámolva: 0.0849874724987277
Egy gyártósoron készülő alkatrészeknél a tapasztalatok szerint 20% a selejt aránya. A minőségellenőrzés során 5 darab alkatrészt vizsgálnak meg a gyártásból.
Mekkora a valószínűsége annak, hogy pontosan 0 darab selejtes lesz közöttük?
A végeredményt 3 tizedesjegyre kerekítve add meg!
\({5\choose 0}\cdot 0.2^{0}\cdot (1-0.2)^{5-0}\)
Kiszámolva: 0.32768
Várható érték
Mennyi a várható értéke az alábbi eloszlásnak?
| \(X\) | 13 | 53 | 66 | 98 | 99 |
| \(P(X)\) | 0.11 | 0.28 | 0.5 | 0.07 | 0.04 |
Lényegében az \(X\cdot P(X)\) szorzatokat kell kiszámolni és összeadni:
\(13 \cdot 0.11 + 53 \cdot 0.28 + 66 \cdot 0.5 + 98 \cdot 0.07 + 99 \cdot 0.04\)
Mennyi a várható értéke az alábbi eloszlásnak?
| \(X\) | 16 | 27 | 45 | 53 | 84 | 99 |
| \(P(X)\) | 0.08 | 0.1 | 0.24 | 0.3 | 0.22 | 0.0600000000000001 |
Lényegében az \(X\cdot P(X)\) szorzatokat kell kiszámolni és összeadni:
\(16 \cdot 0.08 + 27 \cdot 0.1 + 45 \cdot 0.24 + 53 \cdot 0.3 + 84 \cdot 0.22 + 99 \cdot 0.0600000000000001\)
Mennyi a várható értéke az alábbi eloszlásnak?
| \(X\) | 2 | 8 | 16 | 17 |
| \(P(X)\) | 0.79 | 0.17 | 0.03 | 0.01 |
Lényegében az \(X\cdot P(X)\) szorzatokat kell kiszámolni és összeadni:
\(2 \cdot 0.79 + 8 \cdot 0.17 + 16 \cdot 0.03 + 17 \cdot 0.01\)
Mennyi a várható értéke az alábbi eloszlásnak?
| \(X\) | 3 | 9 | 31 | 47 | 82 | 98 |
| \(P(X)\) | 0.35 | 0.05 | 0.15 | 0.18 | 0.01 | 0.26 |
Lényegében az \(X\cdot P(X)\) szorzatokat kell kiszámolni és összeadni:
\(3 \cdot 0.35 + 9 \cdot 0.05 + 31 \cdot 0.15 + 47 \cdot 0.18 + 82 \cdot 0.01 + 98 \cdot 0.26\)
Mennyi a várható értéke az alábbi eloszlásnak?
| \(X\) | 10 | 54 | 69 |
| \(P(X)\) | 0.32 | 0.64 | 0.04 |
Lényegében az \(X\cdot P(X)\) szorzatokat kell kiszámolni és összeadni:
\(10 \cdot 0.32 + 54 \cdot 0.64 + 69 \cdot 0.04\)