Kihívás - harmadik alkalom

9. évfolyam

Értelmezési tartomány

Adott az ábra szerinti függvény.

Határozd meg, hogy mely elemek tartoznak a függvény értelmezési tartományába!

\(A\)\(B\)\(C\)\(D\)\(E\)\(F\)\(G\)\(H\)\(I\)\(J\)

Egy függvény értelmezési tartománya azon elemek halmaza (az alaphalmazból), amihez hozzárendeltünk valamit (de csak egyet, különben nem lenne függvény).

Az ábra szerint a bal oldali halmazból kell azokat megkereseni, amelyekhez hozzárendeltünk valamit, vagyis azokat az elemeket, amelyekből indul ki nyíl.

Adott az ábra szerinti függvény.

Határozd meg, hogy mely elemek tartoznak a függvény értelmezési tartományába!

\(A\)\(B\)\(C\)\(D\)\(E\)\(F\)\(G\)\(H\)\(I\)\(J\)

Egy függvény értelmezési tartománya azon elemek halmaza (az alaphalmazból), amihez hozzárendeltünk valamit (de csak egyet, különben nem lenne függvény).

Az ábra szerint a bal oldali halmazból kell azokat megkereseni, amelyekhez hozzárendeltünk valamit, vagyis azokat az elemeket, amelyekből indul ki nyíl.

Adott az ábra szerinti függvény.

Határozd meg, hogy mely elemek tartoznak a függvény értelmezési tartományába!

\(A\)\(B\)\(C\)\(D\)\(E\)\(F\)\(G\)\(H\)\(I\)

Egy függvény értelmezési tartománya azon elemek halmaza (az alaphalmazból), amihez hozzárendeltünk valamit (de csak egyet, különben nem lenne függvény).

Az ábra szerint a bal oldali halmazból kell azokat megkereseni, amelyekhez hozzárendeltünk valamit, vagyis azokat az elemeket, amelyekből indul ki nyíl.

Adott az ábra szerinti függvény.

Határozd meg, hogy mely elemek tartoznak a függvény értelmezési tartományába!

\(A\)\(B\)\(C\)\(D\)\(E\)\(F\)\(G\)\(J\)\(K\)\(L\)

Egy függvény értelmezési tartománya azon elemek halmaza (az alaphalmazból), amihez hozzárendeltünk valamit (de csak egyet, különben nem lenne függvény).

Az ábra szerint a bal oldali halmazból kell azokat megkereseni, amelyekhez hozzárendeltünk valamit, vagyis azokat az elemeket, amelyekből indul ki nyíl.

Adott az ábra szerinti függvény.

Határozd meg, hogy mely elemek tartoznak a függvény értelmezési tartományába!

\(A\)\(B\)\(C\)\(D\)\(E\)\(F\)\(G\)\(K\)\(L\)\(M\)

Egy függvény értelmezési tartománya azon elemek halmaza (az alaphalmazból), amihez hozzárendeltünk valamit (de csak egyet, különben nem lenne függvény).

Az ábra szerint a bal oldali halmazból kell azokat megkereseni, amelyekhez hozzárendeltünk valamit, vagyis azokat az elemeket, amelyekből indul ki nyíl.

Adott az ábra szerinti függvény.

Határozd meg, hogy mely elemek tartoznak a függvény értelmezési tartományába!

\(A\)\(B\)\(C\)\(D\)\(E\)\(F\)\(G\)\(H\)\(I\)\(J\)

Egy függvény értelmezési tartománya azon elemek halmaza (az alaphalmazból), amihez hozzárendeltünk valamit (de csak egyet, különben nem lenne függvény).

Az ábra szerint a bal oldali halmazból kell azokat megkereseni, amelyekhez hozzárendeltünk valamit, vagyis azokat az elemeket, amelyekből indul ki nyíl.

Adott az ábra szerinti függvény.

Határozd meg, hogy mely elemek tartoznak a függvény értelmezési tartományába!

\(A\)\(B\)\(C\)\(D\)\(E\)\(F\)\(J\)\(K\)\(L\)\(M\)

Egy függvény értelmezési tartománya azon elemek halmaza (az alaphalmazból), amihez hozzárendeltünk valamit (de csak egyet, különben nem lenne függvény).

Az ábra szerint a bal oldali halmazból kell azokat megkereseni, amelyekhez hozzárendeltünk valamit, vagyis azokat az elemeket, amelyekből indul ki nyíl.

Adott az ábra szerinti függvény.

Határozd meg, hogy mely elemek tartoznak a függvény értelmezési tartományába!

\(A\)\(B\)\(C\)\(D\)\(E\)\(F\)\(G\)\(H\)

Egy függvény értelmezési tartománya azon elemek halmaza (az alaphalmazból), amihez hozzárendeltünk valamit (de csak egyet, különben nem lenne függvény).

Az ábra szerint a bal oldali halmazból kell azokat megkereseni, amelyekhez hozzárendeltünk valamit, vagyis azokat az elemeket, amelyekből indul ki nyíl.

Lineáris függvény

Keressük az \(f(x)\) lineáris függvényt \(f(x) = m\cdot x + b\) alakban. Tudjuk, hogy \(f(-8) = 13\) és \(f(-6) = 11\).

Határozd meg az \(m\) és a \(b\) értékét!

\(m=\); \(b=\).

Ábrázoljuk azokat az értékeket, amikhez tudjuk, hogy mennyit rendelünk, valamint értelemszerűen a hozzárendelt értéket is, és ezt a két pontot kössük össze, ez lesz majd a keresett függvény képe (egyenes).

Az ábráról is leolvasható, hogy a háromszög vízszintes oldala a kettő \(x\) koordináta különbsége, azaz 2, a függőleges oldala pedig a két \(f(x)\) (azaz \(y\)) különbsége: -2.

A függőleges és a vízszintes hányadosa lesz a meredekség: \(m = \frac{-2}{2} = -1\). (A meredekség azt mutatja, ha a függvény bármelyik pontjából egyet megyek jobbra, akkor mennyit kell felfelé menni, hogy a függvényre kerüljünk vissza.)

Azaz az \(f(x) = mx + b\) hozzárendelési szabályból ennyit már tudunk: \(f(x) = -1x + b\), azaz már csak a \(b\) értéke a kérdés.

Tudjuk, hogy -8 számhoz 13 számot rendelünk (előbbi az \(x\), utóbbi az \(f(x)\)), ezt beírva a félig már ismert \(f(x) = -1x + b\) hozzárendelési szabályba: \(13 = -1\cdot -8 + b\). Ez lényegében egy egyenlet, amelyből a \(b\) meghatározható: \(b=5\). Természetesen a másik hozzárendeléssel is meg lehet csinálni, és akkor is ugyanaz a \(b\) érték jön ki (érdemes is ellenőrzésképpen).

Azaz a keresett függvény \(f(x) = -1x + 5\).

Keressük az \(f(x)\) lineáris függvényt \(f(x) = m\cdot x + b\) alakban. Tudjuk, hogy \(f(-4) = 7\) és \(f(4) = -9\).

Határozd meg az \(m\) és a \(b\) értékét!

\(m=\); \(b=\).

Ábrázoljuk azokat az értékeket, amikhez tudjuk, hogy mennyit rendelünk, valamint értelemszerűen a hozzárendelt értéket is, és ezt a két pontot kössük össze, ez lesz majd a keresett függvény képe (egyenes).

Az ábráról is leolvasható, hogy a háromszög vízszintes oldala a kettő \(x\) koordináta különbsége, azaz 8, a függőleges oldala pedig a két \(f(x)\) (azaz \(y\)) különbsége: -16.

A függőleges és a vízszintes hányadosa lesz a meredekség: \(m = \frac{-16}{8} = -2\). (A meredekség azt mutatja, ha a függvény bármelyik pontjából egyet megyek jobbra, akkor mennyit kell felfelé menni, hogy a függvényre kerüljünk vissza.)

Azaz az \(f(x) = mx + b\) hozzárendelési szabályból ennyit már tudunk: \(f(x) = -2x + b\), azaz már csak a \(b\) értéke a kérdés.

Tudjuk, hogy -4 számhoz 7 számot rendelünk (előbbi az \(x\), utóbbi az \(f(x)\)), ezt beírva a félig már ismert \(f(x) = -2x + b\) hozzárendelési szabályba: \(7 = -2\cdot -4 + b\). Ez lényegében egy egyenlet, amelyből a \(b\) meghatározható: \(b=-1\). Természetesen a másik hozzárendeléssel is meg lehet csinálni, és akkor is ugyanaz a \(b\) érték jön ki (érdemes is ellenőrzésképpen).

Azaz a keresett függvény \(f(x) = -2x -1\).

Keressük az \(f(x)\) lineáris függvényt \(f(x) = m\cdot x + b\) alakban. Tudjuk, hogy \(f(-3) = -19\) és \(f(0) = -4\).

Határozd meg az \(m\) és a \(b\) értékét!

\(m=\); \(b=\).

Ábrázoljuk azokat az értékeket, amikhez tudjuk, hogy mennyit rendelünk, valamint értelemszerűen a hozzárendelt értéket is, és ezt a két pontot kössük össze, ez lesz majd a keresett függvény képe (egyenes).

Az ábráról is leolvasható, hogy a háromszög vízszintes oldala a kettő \(x\) koordináta különbsége, azaz 3, a függőleges oldala pedig a két \(f(x)\) (azaz \(y\)) különbsége: 15.

A függőleges és a vízszintes hányadosa lesz a meredekség: \(m = \frac{15}{3} = 5\). (A meredekség azt mutatja, ha a függvény bármelyik pontjából egyet megyek jobbra, akkor mennyit kell felfelé menni, hogy a függvényre kerüljünk vissza.)

Azaz az \(f(x) = mx + b\) hozzárendelési szabályból ennyit már tudunk: \(f(x) = 5x + b\), azaz már csak a \(b\) értéke a kérdés.

Tudjuk, hogy -3 számhoz -19 számot rendelünk (előbbi az \(x\), utóbbi az \(f(x)\)), ezt beírva a félig már ismert \(f(x) = 5x + b\) hozzárendelési szabályba: \(-19 = 5\cdot -3 + b\). Ez lényegében egy egyenlet, amelyből a \(b\) meghatározható: \(b=-4\). Természetesen a másik hozzárendeléssel is meg lehet csinálni, és akkor is ugyanaz a \(b\) érték jön ki (érdemes is ellenőrzésképpen).

Azaz a keresett függvény \(f(x) = 5x -4\).

Keressük az \(f(x)\) lineáris függvényt \(f(x) = m\cdot x + b\) alakban. Tudjuk, hogy \(f(-8) = -12\) és \(f(-7) = -11\).

Határozd meg az \(m\) és a \(b\) értékét!

\(m=\); \(b=\).

Ábrázoljuk azokat az értékeket, amikhez tudjuk, hogy mennyit rendelünk, valamint értelemszerűen a hozzárendelt értéket is, és ezt a két pontot kössük össze, ez lesz majd a keresett függvény képe (egyenes).

Az ábráról is leolvasható, hogy a háromszög vízszintes oldala a kettő \(x\) koordináta különbsége, azaz 1, a függőleges oldala pedig a két \(f(x)\) (azaz \(y\)) különbsége: 1.

A függőleges és a vízszintes hányadosa lesz a meredekség: \(m = \frac{1}{1} = 1\). (A meredekség azt mutatja, ha a függvény bármelyik pontjából egyet megyek jobbra, akkor mennyit kell felfelé menni, hogy a függvényre kerüljünk vissza.)

Azaz az \(f(x) = mx + b\) hozzárendelési szabályból ennyit már tudunk: \(f(x) = 1x + b\), azaz már csak a \(b\) értéke a kérdés.

Tudjuk, hogy -8 számhoz -12 számot rendelünk (előbbi az \(x\), utóbbi az \(f(x)\)), ezt beírva a félig már ismert \(f(x) = 1x + b\) hozzárendelési szabályba: \(-12 = 1\cdot -8 + b\). Ez lényegében egy egyenlet, amelyből a \(b\) meghatározható: \(b=-4\). Természetesen a másik hozzárendeléssel is meg lehet csinálni, és akkor is ugyanaz a \(b\) érték jön ki (érdemes is ellenőrzésképpen).

Azaz a keresett függvény \(f(x) = 1x -4\).

Keressük az \(f(x)\) lineáris függvényt \(f(x) = m\cdot x + b\) alakban. Tudjuk, hogy \(f(-2) = 14\) és \(f(-1) = 9\).

Határozd meg az \(m\) és a \(b\) értékét!

\(m=\); \(b=\).

Ábrázoljuk azokat az értékeket, amikhez tudjuk, hogy mennyit rendelünk, valamint értelemszerűen a hozzárendelt értéket is, és ezt a két pontot kössük össze, ez lesz majd a keresett függvény képe (egyenes).

Az ábráról is leolvasható, hogy a háromszög vízszintes oldala a kettő \(x\) koordináta különbsége, azaz 1, a függőleges oldala pedig a két \(f(x)\) (azaz \(y\)) különbsége: -5.

A függőleges és a vízszintes hányadosa lesz a meredekség: \(m = \frac{-5}{1} = -5\). (A meredekség azt mutatja, ha a függvény bármelyik pontjából egyet megyek jobbra, akkor mennyit kell felfelé menni, hogy a függvényre kerüljünk vissza.)

Azaz az \(f(x) = mx + b\) hozzárendelési szabályból ennyit már tudunk: \(f(x) = -5x + b\), azaz már csak a \(b\) értéke a kérdés.

Tudjuk, hogy -2 számhoz 14 számot rendelünk (előbbi az \(x\), utóbbi az \(f(x)\)), ezt beírva a félig már ismert \(f(x) = -5x + b\) hozzárendelési szabályba: \(14 = -5\cdot -2 + b\). Ez lényegében egy egyenlet, amelyből a \(b\) meghatározható: \(b=4\). Természetesen a másik hozzárendeléssel is meg lehet csinálni, és akkor is ugyanaz a \(b\) érték jön ki (érdemes is ellenőrzésképpen).

Azaz a keresett függvény \(f(x) = -5x + 4\).

Keressük az \(f(x)\) lineáris függvényt \(f(x) = m\cdot x + b\) alakban. Tudjuk, hogy \(f(-4) = -14\) és \(f(1) = 6\).

Határozd meg az \(m\) és a \(b\) értékét!

\(m=\); \(b=\).

Ábrázoljuk azokat az értékeket, amikhez tudjuk, hogy mennyit rendelünk, valamint értelemszerűen a hozzárendelt értéket is, és ezt a két pontot kössük össze, ez lesz majd a keresett függvény képe (egyenes).

Az ábráról is leolvasható, hogy a háromszög vízszintes oldala a kettő \(x\) koordináta különbsége, azaz 5, a függőleges oldala pedig a két \(f(x)\) (azaz \(y\)) különbsége: 20.

A függőleges és a vízszintes hányadosa lesz a meredekség: \(m = \frac{20}{5} = 4\). (A meredekség azt mutatja, ha a függvény bármelyik pontjából egyet megyek jobbra, akkor mennyit kell felfelé menni, hogy a függvényre kerüljünk vissza.)

Azaz az \(f(x) = mx + b\) hozzárendelési szabályból ennyit már tudunk: \(f(x) = 4x + b\), azaz már csak a \(b\) értéke a kérdés.

Tudjuk, hogy -4 számhoz -14 számot rendelünk (előbbi az \(x\), utóbbi az \(f(x)\)), ezt beírva a félig már ismert \(f(x) = 4x + b\) hozzárendelési szabályba: \(-14 = 4\cdot -4 + b\). Ez lényegében egy egyenlet, amelyből a \(b\) meghatározható: \(b=2\). Természetesen a másik hozzárendeléssel is meg lehet csinálni, és akkor is ugyanaz a \(b\) érték jön ki (érdemes is ellenőrzésképpen).

Azaz a keresett függvény \(f(x) = 4x + 2\).

Keressük az \(f(x)\) lineáris függvényt \(f(x) = m\cdot x + b\) alakban. Tudjuk, hogy \(f(1) = 2\) és \(f(2) = 7\).

Határozd meg az \(m\) és a \(b\) értékét!

\(m=\); \(b=\).

Ábrázoljuk azokat az értékeket, amikhez tudjuk, hogy mennyit rendelünk, valamint értelemszerűen a hozzárendelt értéket is, és ezt a két pontot kössük össze, ez lesz majd a keresett függvény képe (egyenes).

Az ábráról is leolvasható, hogy a háromszög vízszintes oldala a kettő \(x\) koordináta különbsége, azaz 1, a függőleges oldala pedig a két \(f(x)\) (azaz \(y\)) különbsége: 5.

A függőleges és a vízszintes hányadosa lesz a meredekség: \(m = \frac{5}{1} = 5\). (A meredekség azt mutatja, ha a függvény bármelyik pontjából egyet megyek jobbra, akkor mennyit kell felfelé menni, hogy a függvényre kerüljünk vissza.)

Azaz az \(f(x) = mx + b\) hozzárendelési szabályból ennyit már tudunk: \(f(x) = 5x + b\), azaz már csak a \(b\) értéke a kérdés.

Tudjuk, hogy 1 számhoz 2 számot rendelünk (előbbi az \(x\), utóbbi az \(f(x)\)), ezt beírva a félig már ismert \(f(x) = 5x + b\) hozzárendelési szabályba: \(2 = 5\cdot 1 + b\). Ez lényegében egy egyenlet, amelyből a \(b\) meghatározható: \(b=-3\). Természetesen a másik hozzárendeléssel is meg lehet csinálni, és akkor is ugyanaz a \(b\) érték jön ki (érdemes is ellenőrzésképpen).

Azaz a keresett függvény \(f(x) = 5x -3\).

Keressük az \(f(x)\) lineáris függvényt \(f(x) = m\cdot x + b\) alakban. Tudjuk, hogy \(f(0) = -5\) és \(f(3) = -14\).

Határozd meg az \(m\) és a \(b\) értékét!

\(m=\); \(b=\).

Ábrázoljuk azokat az értékeket, amikhez tudjuk, hogy mennyit rendelünk, valamint értelemszerűen a hozzárendelt értéket is, és ezt a két pontot kössük össze, ez lesz majd a keresett függvény képe (egyenes).

Az ábráról is leolvasható, hogy a háromszög vízszintes oldala a kettő \(x\) koordináta különbsége, azaz 3, a függőleges oldala pedig a két \(f(x)\) (azaz \(y\)) különbsége: -9.

A függőleges és a vízszintes hányadosa lesz a meredekség: \(m = \frac{-9}{3} = -3\). (A meredekség azt mutatja, ha a függvény bármelyik pontjából egyet megyek jobbra, akkor mennyit kell felfelé menni, hogy a függvényre kerüljünk vissza.)

Azaz az \(f(x) = mx + b\) hozzárendelési szabályból ennyit már tudunk: \(f(x) = -3x + b\), azaz már csak a \(b\) értéke a kérdés.

Tudjuk, hogy 0 számhoz -5 számot rendelünk (előbbi az \(x\), utóbbi az \(f(x)\)), ezt beírva a félig már ismert \(f(x) = -3x + b\) hozzárendelési szabályba: \(-5 = -3\cdot 0 + b\). Ez lényegében egy egyenlet, amelyből a \(b\) meghatározható: \(b=-5\). Természetesen a másik hozzárendeléssel is meg lehet csinálni, és akkor is ugyanaz a \(b\) érték jön ki (érdemes is ellenőrzésképpen).

Azaz a keresett függvény \(f(x) = -3x -5\).

10. évfolyam

Valószínűség

Egy zsákban különböző színű golyók vannak: 7 darab vörös, 8 darab narancs, 14 darab sárga, 7 darab kék, 14 darab zöld, 8 darab ibolya. Véletlenszerűen kiválasztunk egy golyót.

Mennyi a valószínűsége, hogy a kiválasztott golyó kék vagy vörös színű?

Válaszodat három tizedes jegyre kerekítve add meg!

A valószínűséget \(P = \frac{\text{kedvező esetek száma}}{\text{összes esetek száma}}\) módon számolhatjuk.

Összesen \(7+8+14+7+14+8 = 58\) golyó van, ebből 7 golyó kék illetve 7 golyó vörös, azaz a kedvező esetek száma ezek összege, vagyis \(7+7 = 14\).

Tehát a valószínűség: \(\frac{14}{58}\).

Egy zsákban különböző színű golyók vannak: 10 darab zöld, 14 darab kék, 5 darab sárga, 13 darab ibolya. Véletlenszerűen kiválasztunk egy golyót.

Mennyi a valószínűsége, hogy a kiválasztott golyó ibolya vagy kék színű?

Válaszodat három tizedes jegyre kerekítve add meg!

A valószínűséget \(P = \frac{\text{kedvező esetek száma}}{\text{összes esetek száma}}\) módon számolhatjuk.

Összesen \(10+14+5+13 = 42\) golyó van, ebből 13 golyó ibolya illetve 14 golyó kék, azaz a kedvező esetek száma ezek összege, vagyis \(13+14 = 27\).

Tehát a valószínűség: \(\frac{27}{42}\).

Egy zsákban különböző színű golyók vannak: 8 darab ibolya, 9 darab zöld, 10 darab kék. Véletlenszerűen kiválasztunk egy golyót.

Mennyi a valószínűsége, hogy a kiválasztott golyó ibolya vagy kék színű?

Válaszodat három tizedes jegyre kerekítve add meg!

A valószínűséget \(P = \frac{\text{kedvező esetek száma}}{\text{összes esetek száma}}\) módon számolhatjuk.

Összesen \(8+9+10 = 27\) golyó van, ebből 8 golyó ibolya illetve 10 golyó kék, azaz a kedvező esetek száma ezek összege, vagyis \(8+10 = 18\).

Tehát a valószínűség: \(\frac{18}{27}\).

Egy zsákban különböző színű golyók vannak: 12 darab vörös, 14 darab narancs, 5 darab ibolya. Véletlenszerűen kiválasztunk egy golyót.

Mennyi a valószínűsége, hogy a kiválasztott golyó vörös vagy ibolya színű?

Válaszodat három tizedes jegyre kerekítve add meg!

A valószínűséget \(P = \frac{\text{kedvező esetek száma}}{\text{összes esetek száma}}\) módon számolhatjuk.

Összesen \(12+14+5 = 31\) golyó van, ebből 12 golyó vörös illetve 5 golyó ibolya, azaz a kedvező esetek száma ezek összege, vagyis \(12+5 = 17\).

Tehát a valószínűség: \(\frac{17}{31}\).

Egy zsákban különböző színű golyók vannak: 13 darab ibolya, 14 darab zöld, 7 darab kék, 14 darab vörös. Véletlenszerűen kiválasztunk egy golyót.

Mennyi a valószínűsége, hogy a kiválasztott golyó ibolya vagy zöld színű?

Válaszodat három tizedes jegyre kerekítve add meg!

A valószínűséget \(P = \frac{\text{kedvező esetek száma}}{\text{összes esetek száma}}\) módon számolhatjuk.

Összesen \(13+14+7+14 = 48\) golyó van, ebből 13 golyó ibolya illetve 14 golyó zöld, azaz a kedvező esetek száma ezek összege, vagyis \(13+14 = 27\).

Tehát a valószínűség: \(\frac{27}{48}\).

Gyökös egyenlet

Oldd meg az alábbi négyzetgyökös egyenletet!

\[\sqrt{-3x+267}=x+1\]

A megoldásokat növekvő sorrendben add meg! Ha nincs kettő megoldás, akkor először a megoldást írd be (ha van), a másik mezőbe (mezőket) pedig egy kötőjelet (-) írj!

\(x_1=\)
\(x_2=\)

Mindkét oldalt négyzetre emeljük: \(-3x+267 = (x+1)^2\)

A jobb oldalon egy nevezetes azonosság szerepel, azaz az \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) segítségével emelünk négyzetre:

\(-3x+267 = x^{2}+2x+1\)

Észrevesszük, hogy ez egy másodfokú egyenlet (van benne \(x^2\)), amelyet nullára kell redukálni: \(0 = x^{2}+5x-266\)

Megoldva az egyenletet, a két gyök: 14 és -19.

Ezeket még ellenőrizve az eredeti egyenletbe, kapjuk a megoldásokat.

Oldd meg az alábbi négyzetgyökös egyenletet!

\[\sqrt{16x+640}=2x+10\]

A megoldásokat növekvő sorrendben add meg! Ha nincs kettő megoldás, akkor először a megoldást írd be (ha van), a másik mezőbe (mezőket) pedig egy kötőjelet (-) írj!

\(x_1=\)
\(x_2=\)

Mindkét oldalt négyzetre emeljük: \(16x+640 = (2x+10)^2\)

A jobb oldalon egy nevezetes azonosság szerepel, azaz az \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) segítségével emelünk négyzetre:

\(16x+640 = 4x^{2}+40x+100\)

Észrevesszük, hogy ez egy másodfokú egyenlet (van benne \(x^2\)), amelyet nullára kell redukálni: \(0 = 4x^{2}+24x-540\)

Megoldva az egyenletet, a két gyök: -15 és 9.

Ezeket még ellenőrizve az eredeti egyenletbe, kapjuk a megoldásokat.

Oldd meg az alábbi négyzetgyökös egyenletet!

\[\sqrt{-200x-631}=4x+3\]

A megoldásokat növekvő sorrendben add meg! Ha nincs kettő megoldás, akkor először a megoldást írd be (ha van), a másik mezőbe (mezőket) pedig egy kötőjelet (-) írj!

\(x_1=\)
\(x_2=\)

Mindkét oldalt négyzetre emeljük: \(-200x-631 = (4x+3)^2\)

A jobb oldalon egy nevezetes azonosság szerepel, azaz az \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) segítségével emelünk négyzetre:

\(-200x-631 = 16x^{2}+24x+9\)

Észrevesszük, hogy ez egy másodfokú egyenlet (van benne \(x^2\)), amelyet nullára kell redukálni: \(0 = 16x^{2}+224x+640\)

Megoldva az egyenletet, a két gyök: -4 és -10.

Ezeket még ellenőrizve az eredeti egyenletbe, kapjuk a megoldásokat.

Oldd meg az alábbi négyzetgyökös egyenletet!

\[\sqrt{-165x+366}=5x-4\]

A megoldásokat növekvő sorrendben add meg! Ha nincs kettő megoldás, akkor először a megoldást írd be (ha van), a másik mezőbe (mezőket) pedig egy kötőjelet (-) írj!

\(x_1=\)
\(x_2=\)

Mindkét oldalt négyzetre emeljük: \(-165x+366 = (5x-4)^2\)

A jobb oldalon egy nevezetes azonosság szerepel, azaz az \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) segítségével emelünk négyzetre:

\(-165x+366 = 25x^{2}-40x+16\)

Észrevesszük, hogy ez egy másodfokú egyenlet (van benne \(x^2\)), amelyet nullára kell redukálni: \(0 = 25x^{2}+125x-350\)

Megoldva az egyenletet, a két gyök: -7 és 2.

Ezeket még ellenőrizve az eredeti egyenletbe, kapjuk a megoldásokat.

Oldd meg az alábbi négyzetgyökös egyenletet!

\[\sqrt{18x+1305}=3x+3\]

A megoldásokat növekvő sorrendben add meg! Ha nincs kettő megoldás, akkor először a megoldást írd be (ha van), a másik mezőbe (mezőket) pedig egy kötőjelet (-) írj!

\(x_1=\)
\(x_2=\)

Mindkét oldalt négyzetre emeljük: \(18x+1305 = (3x+3)^2\)

A jobb oldalon egy nevezetes azonosság szerepel, azaz az \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) segítségével emelünk négyzetre:

\(18x+1305 = 9x^{2}+18x+9\)

Észrevesszük, hogy ez egy másodfokú egyenlet (van benne \(x^2\)), amelyet nullára kell redukálni: \(0 = 9x^{2}-1296\)

Megoldva az egyenletet, a két gyök: -12 és 12.

Ezeket még ellenőrizve az eredeti egyenletbe, kapjuk a megoldásokat.

11. évfolyam

Számrendszer

Váltsd át a(z) \(156\) tizes számrendszerbeli számot \(4\) alapú számrendszerbe!

A maradékos osztásokat végezzük el egymás után:

\(156 : 4 = 39\), a maradék 0

\(39 : 4 = 9\), a maradék 3

\(9 : 4 = 2\), a maradék 1

\(2 : 4 = 0\), a maradék 2

A maradékokat visszafele összeolvasva kapjuk az eredményt.

Váltsd át a(z) \(603\) tizes számrendszerbeli számot \(4\) alapú számrendszerbe!

A maradékos osztásokat végezzük el egymás után:

\(603 : 4 = 150\), a maradék 3

\(150 : 4 = 37\), a maradék 2

\(37 : 4 = 9\), a maradék 1

\(9 : 4 = 2\), a maradék 1

\(2 : 4 = 0\), a maradék 2

A maradékokat visszafele összeolvasva kapjuk az eredményt.

Váltsd át a(z) \(212\) tizes számrendszerbeli számot \(4\) alapú számrendszerbe!

A maradékos osztásokat végezzük el egymás után:

\(212 : 4 = 53\), a maradék 0

\(53 : 4 = 13\), a maradék 1

\(13 : 4 = 3\), a maradék 1

\(3 : 4 = 0\), a maradék 3

A maradékokat visszafele összeolvasva kapjuk az eredményt.

Váltsd át a(z) \(96\) tizes számrendszerbeli számot \(3\) alapú számrendszerbe!

A maradékos osztásokat végezzük el egymás után:

\(96 : 3 = 32\), a maradék 0

\(32 : 3 = 10\), a maradék 2

\(10 : 3 = 3\), a maradék 1

\(3 : 3 = 1\), a maradék 0

\(1 : 3 = 0\), a maradék 1

A maradékokat visszafele összeolvasva kapjuk az eredményt.

Váltsd át a(z) \(76\) tizes számrendszerbeli számot \(3\) alapú számrendszerbe!

A maradékos osztásokat végezzük el egymás után:

\(76 : 3 = 25\), a maradék 1

\(25 : 3 = 8\), a maradék 1

\(8 : 3 = 2\), a maradék 2

\(2 : 3 = 0\), a maradék 2

A maradékokat visszafele összeolvasva kapjuk az eredményt.

Váltsd át a(z) \(7368\) tizes számrendszerbeli számot \(8\) alapú számrendszerbe!

A maradékos osztásokat végezzük el egymás után:

\(7368 : 8 = 921\), a maradék 0

\(921 : 8 = 115\), a maradék 1

\(115 : 8 = 14\), a maradék 3

\(14 : 8 = 1\), a maradék 6

\(1 : 8 = 0\), a maradék 1

A maradékokat visszafele összeolvasva kapjuk az eredményt.

Trigonometria

Adott egy háromszög két oldalának hossza: 28 és 109.88, valamint adott a(z) 28 hosszú oldallal szemközti szöge, amely \(5^\circ\).

Határozd meg a háromszög hiányzó oldalának hosszát! A választ kettő tizedes jegyre kerekítve add meg!

Ha több megoldás van, akkor az eredményeket növekvő sorrendben add meg! Ha csak egy megoldás, akkor az első megoldáshoz 0-t írj ("nulla"), a második megoldáshoz az adott megoldást!

A hiányzó oldalt jelöljük x-szel! Ekkor a koszinusztételt az alábbi módon írhatjuk fel:

\(28^2 = 109.88^2 + x^2 - 2\cdot 109.88\cdot x\cos5^\circ\)

Kiszámolva az értékeket (az utolsó tagban számolható a \(-2\cdot 109.88\cdot \cos 5^\circ\) kifejezés), és rendezve a keletkező másodfokú egyenletet:

\(0 = x^{2}+11289,61x-218,92\)

A másodfokú egyenlet megoldásai: \(x_1 = 0.0194\) és \(x_2 = -11289.6294\).

A negatív eredmény értelemszerűen nem megoldás.

Adott egy háromszög két oldalának hossza: 334.23 és 352.29, valamint adott a(z) 352.29 hosszú oldallal szemközti szöge, amely \(125^\circ\).

Határozd meg a háromszög hiányzó oldalának hosszát! A választ kettő tizedes jegyre kerekítve add meg!

Ha több megoldás van, akkor az eredményeket növekvő sorrendben add meg! Ha csak egy megoldás, akkor az első megoldáshoz 0-t írj ("nulla"), a második megoldáshoz az adott megoldást!

A hiányzó oldalt jelöljük x-szel! Ekkor a koszinusztételt az alábbi módon írhatjuk fel:

\(352.29^2 = 334.23^2 + x^2 - 2\cdot 334.23\cdot x\cos125^\circ\)

Kiszámolva az értékeket (az utolsó tagban számolható a \(-2\cdot 334.23\cdot \cos 125^\circ\) kifejezés), és rendezve a keletkező másodfokú egyenletet:

\(0 = x^{2}-12398,55x+383,41\)

A másodfokú egyenlet megoldásai: \(x_1 = 12398.5191\) és \(x_2 = 0.0309\).

Mindkettő eredmény megoldás.

Adott egy háromszög két oldalának hossza: 41.09 és 32.92, valamint adott a(z) 41.09 hosszú oldallal szemközti szöge, amely \(140^\circ\).

Határozd meg a háromszög hiányzó oldalának hosszát! A választ kettő tizedes jegyre kerekítve add meg!

Ha több megoldás van, akkor az eredményeket növekvő sorrendben add meg! Ha csak egy megoldás, akkor az első megoldáshoz 0-t írj ("nulla"), a második megoldáshoz az adott megoldást!

A hiányzó oldalt jelöljük x-szel! Ekkor a koszinusztételt az alábbi módon írhatjuk fel:

\(41.09^2 = 32.92^2 + x^2 - 2\cdot 32.92\cdot x\cos140^\circ\)

Kiszámolva az értékeket (az utolsó tagban számolható a \(-2\cdot 32.92\cdot \cos 140^\circ\) kifejezés), és rendezve a keletkező másodfokú egyenletet:

\(0 = x^{2}-604,66x+50,44\)

A másodfokú egyenlet megoldásai: \(x_1 = 604.5766\) és \(x_2 = 0.0834\).

Mindkettő eredmény megoldás.

Adott egy háromszög két oldalának hossza: 115.67 és 28, valamint adott a(z) 28 hosszú oldallal szemközti szöge, amely \(14^\circ\).

Határozd meg a háromszög hiányzó oldalának hosszát! A választ kettő tizedes jegyre kerekítve add meg!

Ha több megoldás van, akkor az eredményeket növekvő sorrendben add meg! Ha csak egy megoldás, akkor az első megoldáshoz 0-t írj ("nulla"), a második megoldáshoz az adott megoldást!

A hiányzó oldalt jelöljük x-szel! Ekkor a koszinusztételt az alábbi módon írhatjuk fel:

\(28^2 = 115.67^2 + x^2 - 2\cdot 115.67\cdot x\cos14^\circ\)

Kiszámolva az értékeket (az utolsó tagban számolható a \(-2\cdot 115.67\cdot \cos 14^\circ\) kifejezés), és rendezve a keletkező másodfokú egyenletet:

\(0 = x^{2}+12595,55x-224,47\)

A másodfokú egyenlet megoldásai: \(x_1 = 0.0178\) és \(x_2 = -12595.5678\).

A negatív eredmény értelemszerűen nem megoldás.

Adott egy háromszög két oldalának hossza: 118.64 és 27, valamint adott a(z) 118.64 hosszú oldallal szemközti szöge, amely \(114^\circ\).

Határozd meg a háromszög hiányzó oldalának hosszát! A választ kettő tizedes jegyre kerekítve add meg!

Ha több megoldás van, akkor az eredményeket növekvő sorrendben add meg! Ha csak egy megoldás, akkor az első megoldáshoz 0-t írj ("nulla"), a második megoldáshoz az adott megoldást!

A hiányzó oldalt jelöljük x-szel! Ekkor a koszinusztételt az alábbi módon írhatjuk fel:

\(118.64^2 = 27^2 + x^2 - 2\cdot 27\cdot x\cos114^\circ\)

Kiszámolva az értékeket (az utolsó tagban számolható a \(-2\cdot 27\cdot \cos 114^\circ\) kifejezés), és rendezve a keletkező másodfokú egyenletet:

\(0 = x^{2}-13346,45x+21,96\)

A másodfokú egyenlet megoldásai: \(x_1 = 13346.4484\) és \(x_2 = 0.0016\).

Mindkettő eredmény megoldás.

12. évfolyam

Akkumulátor

Egy robot akkumulátora minden használati ciklus után 10 %-kal csökken. Új korában az akkumulátor kapacitása 14000 kWh (kilowattóra) volt.

Hány használati ciklus után csökken az akkumulátor kapacitása 7440 kWh alá?

Az akkumulátor kapacitásai egy (csökkenő) mértani sorozat tagjai (kWh mértékegységben). Az első tagja az első ciklus előtti (tehát a teljes) kapacitás, a második tagja a második ciklus előtti (tehát egy ciklus utáni) kapacitás, stb.

A sorozat kvóciense:

1. minden ciklus után az előző kapacitás \(100 - 10 = 90\) százaléka lesz az új kapacitás

2. azaz az előző kapacitás \(\frac{90}{100} = 0.9\)-szorosa lesz az új kapacitás

Azaz \(q = 0.9\).

A feladat azt kérdezi, hányadik tagja lesz a sorozatnak kevesebb, mint 7440 kWh:

\(a_n < 7440\), vagyis

\(a_1\cdot q^{n-1} < 7440\), behelyettesítve:

\(14000\cdot 0.9^{n-1} < 7440\)

Osztva az egyenlőtlenség mindkét oldalát 14000 értékkel:

\(0.9^{n-1} < 0.531428571428571\)

Az egyenlőtlenség mindkét oldalának 0.9 alapú logaritmusát véve:

\(n-1 > 6.00022196952202\)

Azaz \(n > 7.00022196952202\), vagyis az \(a_{8}\)-re lesz igaz először, hogy kisebb, mint 7440. Ne felejtsd, hogy ez a(z) 8. ciklus előtti érték, vagyis 7 ciklus után lesz igaz.

Egy robot akkumulátora minden használati ciklus után 20 %-kal csökken. Új korában az akkumulátor kapacitása 3000 kWh (kilowattóra) volt.

Hány használati ciklus után csökken az akkumulátor kapacitása 980 kWh alá?

Az akkumulátor kapacitásai egy (csökkenő) mértani sorozat tagjai (kWh mértékegységben). Az első tagja az első ciklus előtti (tehát a teljes) kapacitás, a második tagja a második ciklus előtti (tehát egy ciklus utáni) kapacitás, stb.

A sorozat kvóciense:

1. minden ciklus után az előző kapacitás \(100 - 20 = 80\) százaléka lesz az új kapacitás

2. azaz az előző kapacitás \(\frac{80}{100} = 0.8\)-szorosa lesz az új kapacitás

Azaz \(q = 0.8\).

A feladat azt kérdezi, hányadik tagja lesz a sorozatnak kevesebb, mint 980 kWh:

\(a_n < 980\), vagyis

\(a_1\cdot q^{n-1} < 980\), behelyettesítve:

\(3000\cdot 0.8^{n-1} < 980\)

Osztva az egyenlőtlenség mindkét oldalát 3000 értékkel:

\(0.8^{n-1} < 0.326666666666667\)

Az egyenlőtlenség mindkét oldalának 0.8 alapú logaritmusát véve:

\(n-1 > 5.01388003102191\)

Azaz \(n > 6.01388003102191\), vagyis az \(a_{7}\)-re lesz igaz először, hogy kisebb, mint 980. Ne felejtsd, hogy ez a(z) 7. ciklus előtti érték, vagyis 6 ciklus után lesz igaz.

Egy robot akkumulátora minden használati ciklus után 12 %-kal csökken. Új korában az akkumulátor kapacitása 2000 kWh (kilowattóra) volt.

Hány használati ciklus után csökken az akkumulátor kapacitása 250 kWh alá?

Az akkumulátor kapacitásai egy (csökkenő) mértani sorozat tagjai (kWh mértékegységben). Az első tagja az első ciklus előtti (tehát a teljes) kapacitás, a második tagja a második ciklus előtti (tehát egy ciklus utáni) kapacitás, stb.

A sorozat hányadosa:

1. minden ciklus után az előző kapacitás \(100 - 12 = 88\) százaléka lesz az új kapacitás

2. azaz az előző kapacitás \(\frac{88}{100} = 0.88\)-szorosa lesz az új kapacitás

Azaz \(q = 0.88\).

A feladat azt kérdezi, hányadik tagja lesz a sorozatnak kevesebb, mint 250 kWh:

\(a_n < 250\), vagyis

\(a_1\cdot q^{n-1} < 250\), behelyettesítve:

\(2000\cdot 0.88^{n-1} < 250\)

Osztva az egyenlőtlenség mindkét oldalát 2000 értékkel:

\(0.88^{n-1} < 0.125\)

Az egyenlőtlenség mindkét oldalának 0.88 alapú logaritmusát véve:

\(n-1 > 16.2668129387406\)

Azaz \(n > 17.2668129387406\), vagyis az \(a_{18}\)-re lesz igaz először, hogy kisebb, mint 250. Ne felejtsd, hogy ez a(z) 18. ciklus előtti érték, vagyis 17 ciklus után lesz igaz.

Egy robot akkumulátora minden használati ciklus után 12 %-kal csökken. Új korában az akkumulátor kapacitása 29000 kWh (kilowattóra) volt.

Hány használati ciklus után csökken az akkumulátor kapacitása 2900 kWh alá?

Az akkumulátor kapacitásai egy (csökkenő) mértani sorozat tagjai (kWh mértékegységben). Az első tagja az első ciklus előtti (tehát a teljes) kapacitás, a második tagja a második ciklus előtti (tehát egy ciklus utáni) kapacitás, stb.

A sorozat kvóciense:

1. minden ciklus után az előző kapacitás \(100 - 12 = 88\) százaléka lesz az új kapacitás

2. azaz az előző kapacitás \(\frac{88}{100} = 0.88\)-szorosa lesz az új kapacitás

Azaz \(q = 0.88\).

A feladat azt kérdezi, hányadik tagja lesz a sorozatnak kevesebb, mint 2900 kWh:

\(a_n < 2900\), vagyis

\(a_1\cdot q^{n-1} < 2900\), behelyettesítve:

\(29000\cdot 0.88^{n-1} < 2900\)

Osztva az egyenlőtlenség mindkét oldalát 29000 értékkel:

\(0.88^{n-1} < 0.1\)

Az egyenlőtlenség mindkét oldalának 0.88 alapú logaritmusát véve:

\(n-1 > 18.0123943051599\)

Azaz \(n > 19.0123943051599\), vagyis az \(a_{20}\)-re lesz igaz először, hogy kisebb, mint 2900. Ne felejtsd, hogy ez a(z) 20. ciklus előtti érték, vagyis 19 ciklus után lesz igaz.

Egy robot akkumulátora minden használati ciklus után 18 %-kal csökken. Új korában az akkumulátor kapacitása 17000 kWh (kilowattóra) volt.

Hány használati ciklus után csökken az akkumulátor kapacitása 1050 kWh alá?

Az akkumulátor kapacitásai egy (csökkenő) mértani sorozat tagjai (kWh mértékegységben). Az első tagja az első ciklus előtti (tehát a teljes) kapacitás, a második tagja a második ciklus előtti (tehát egy ciklus utáni) kapacitás, stb.

A sorozat kvóciense:

1. minden ciklus után az előző kapacitás \(100 - 18 = 82\) százaléka lesz az új kapacitás

2. azaz az előző kapacitás \(\frac{82}{100} = 0.82\)-szorosa lesz az új kapacitás

Azaz \(q = 0.82\).

A feladat azt kérdezi, hányadik tagja lesz a sorozatnak kevesebb, mint 1050 kWh:

\(a_n < 1050\), vagyis

\(a_1\cdot q^{n-1} < 1050\), behelyettesítve:

\(17000\cdot 0.82^{n-1} < 1050\)

Osztva az egyenlőtlenség mindkét oldalát 17000 értékkel:

\(0.82^{n-1} < 0.0617647058823529\)

Az egyenlőtlenség mindkét oldalának 0.82 alapú logaritmusát véve:

\(n-1 > 14.0307886563417\)

Azaz \(n > 15.0307886563417\), vagyis az \(a_{16}\)-re lesz igaz először, hogy kisebb, mint 1050. Ne felejtsd, hogy ez a(z) 16. ciklus előtti érték, vagyis 15 ciklus után lesz igaz.

Koordinátageometria

Határozd meg annak az egyenesnek az egyenletét, amelynek meredeksége -3, valamint áthalad az \(A(-17;15)\) ponton!

A választ \(y = mx + b\) alakban keressük, az \(m\) és a \(b\) értékeit kell meghatározni!

\(m =\)

\(b =\)

Az egyenes általános egyenlete: \(y = mx + b\), az ismert meredekség értékét behelyettesítve: \(y = -3x + b\).

Mivel az \(A\) pont rajta van az egyenesen, a koordinátái az egyenes egyenletét igazzá teszik, azaz: \(15 = -3\cdot -17 + b\).

Ebből az egyenletből a \(b\) értéke kifejezhető: \(b = -36\).

Határozd meg annak az egyenesnek az egyenletét, amelynek meredeksége -5, valamint áthalad az \(A(3;-3)\) ponton!

A választ \(y = mx + b\) alakban keressük, az \(m\) és a \(b\) értékeit kell meghatározni!

\(m =\)

\(b =\)

Az egyenes általános egyenlete: \(y = mx + b\), az ismert meredekség értékét behelyettesítve: \(y = -5x + b\).

Mivel az \(A\) pont rajta van az egyenesen, a koordinátái az egyenes egyenletét igazzá teszik, azaz: \(-3 = -5\cdot 3 + b\).

Ebből az egyenletből a \(b\) értéke kifejezhető: \(b = 12\).

Határozd meg annak az egyenesnek az egyenletét, amelynek meredeksége -8, valamint áthalad az \(A(4;-13)\) ponton!

A választ \(y = mx + b\) alakban keressük, az \(m\) és a \(b\) értékeit kell meghatározni!

\(m =\)

\(b =\)

Az egyenes általános egyenlete: \(y = mx + b\), az ismert meredekség értékét behelyettesítve: \(y = -8x + b\).

Mivel az \(A\) pont rajta van az egyenesen, a koordinátái az egyenes egyenletét igazzá teszik, azaz: \(-13 = -8\cdot 4 + b\).

Ebből az egyenletből a \(b\) értéke kifejezhető: \(b = 19\).

Határozd meg annak az egyenesnek az egyenletét, amelynek meredeksége -3, valamint áthalad az \(A(8;3)\) ponton!

A választ \(y = mx + b\) alakban keressük, az \(m\) és a \(b\) értékeit kell meghatározni!

\(m =\)

\(b =\)

Az egyenes általános egyenlete: \(y = mx + b\), az ismert meredekség értékét behelyettesítve: \(y = -3x + b\).

Mivel az \(A\) pont rajta van az egyenesen, a koordinátái az egyenes egyenletét igazzá teszik, azaz: \(3 = -3\cdot 8 + b\).

Ebből az egyenletből a \(b\) értéke kifejezhető: \(b = 27\).

Határozd meg annak az egyenesnek az egyenletét, amelynek meredeksége -8, valamint áthalad az \(A(17;-6)\) ponton!

A választ \(y = mx + b\) alakban keressük, az \(m\) és a \(b\) értékeit kell meghatározni!

\(m =\)

\(b =\)

Az egyenes általános egyenlete: \(y = mx + b\), az ismert meredekség értékét behelyettesítve: \(y = -8x + b\).

Mivel az \(A\) pont rajta van az egyenesen, a koordinátái az egyenes egyenletét igazzá teszik, azaz: \(-6 = -8\cdot 17 + b\).

Ebből az egyenletből a \(b\) értéke kifejezhető: \(b = 130\).