Kihívás - harmadik alkalom
Értelmezési tartomány
Adott az ábra szerinti függvény.
Határozd meg, hogy mely elemek tartoznak a függvény értelmezési tartományába!
Egy függvény értelmezési tartománya azon elemek halmaza (az alaphalmazból), amihez hozzárendeltünk valamit (de csak egyet, különben nem lenne függvény).
Az ábra szerint a bal oldali halmazból kell azokat megkereseni, amelyekhez hozzárendeltünk valamit, vagyis azokat az elemeket, amelyekből indul ki nyíl.
Adott az ábra szerinti függvény.
Határozd meg, hogy mely elemek tartoznak a függvény értelmezési tartományába!
Egy függvény értelmezési tartománya azon elemek halmaza (az alaphalmazból), amihez hozzárendeltünk valamit (de csak egyet, különben nem lenne függvény).
Az ábra szerint a bal oldali halmazból kell azokat megkereseni, amelyekhez hozzárendeltünk valamit, vagyis azokat az elemeket, amelyekből indul ki nyíl.
Adott az ábra szerinti függvény.
Határozd meg, hogy mely elemek tartoznak a függvény értelmezési tartományába!
Egy függvény értelmezési tartománya azon elemek halmaza (az alaphalmazból), amihez hozzárendeltünk valamit (de csak egyet, különben nem lenne függvény).
Az ábra szerint a bal oldali halmazból kell azokat megkereseni, amelyekhez hozzárendeltünk valamit, vagyis azokat az elemeket, amelyekből indul ki nyíl.
Adott az ábra szerinti függvény.
Határozd meg, hogy mely elemek tartoznak a függvény értelmezési tartományába!
Egy függvény értelmezési tartománya azon elemek halmaza (az alaphalmazból), amihez hozzárendeltünk valamit (de csak egyet, különben nem lenne függvény).
Az ábra szerint a bal oldali halmazból kell azokat megkereseni, amelyekhez hozzárendeltünk valamit, vagyis azokat az elemeket, amelyekből indul ki nyíl.
Adott az ábra szerinti függvény.
Határozd meg, hogy mely elemek tartoznak a függvény értelmezési tartományába!
Egy függvény értelmezési tartománya azon elemek halmaza (az alaphalmazból), amihez hozzárendeltünk valamit (de csak egyet, különben nem lenne függvény).
Az ábra szerint a bal oldali halmazból kell azokat megkereseni, amelyekhez hozzárendeltünk valamit, vagyis azokat az elemeket, amelyekből indul ki nyíl.
Adott az ábra szerinti függvény.
Határozd meg, hogy mely elemek tartoznak a függvény értelmezési tartományába!
Egy függvény értelmezési tartománya azon elemek halmaza (az alaphalmazból), amihez hozzárendeltünk valamit (de csak egyet, különben nem lenne függvény).
Az ábra szerint a bal oldali halmazból kell azokat megkereseni, amelyekhez hozzárendeltünk valamit, vagyis azokat az elemeket, amelyekből indul ki nyíl.
Adott az ábra szerinti függvény.
Határozd meg, hogy mely elemek tartoznak a függvény értelmezési tartományába!
Egy függvény értelmezési tartománya azon elemek halmaza (az alaphalmazból), amihez hozzárendeltünk valamit (de csak egyet, különben nem lenne függvény).
Az ábra szerint a bal oldali halmazból kell azokat megkereseni, amelyekhez hozzárendeltünk valamit, vagyis azokat az elemeket, amelyekből indul ki nyíl.
Adott az ábra szerinti függvény.
Határozd meg, hogy mely elemek tartoznak a függvény értelmezési tartományába!
Egy függvény értelmezési tartománya azon elemek halmaza (az alaphalmazból), amihez hozzárendeltünk valamit (de csak egyet, különben nem lenne függvény).
Az ábra szerint a bal oldali halmazból kell azokat megkereseni, amelyekhez hozzárendeltünk valamit, vagyis azokat az elemeket, amelyekből indul ki nyíl.
Lineáris függvény
Keressük az \(f(x)\) lineáris függvényt \(f(x) = m\cdot x + b\) alakban. Tudjuk, hogy \(f(0) = -5\) és \(f(2) = -15\).
Határozd meg az \(m\) és a \(b\) értékét!
\(m=\); \(b=\).
Ábrázoljuk azokat az értékeket, amikhez tudjuk, hogy mennyit rendelünk, valamint értelemszerűen a hozzárendelt értéket is, és ezt a két pontot kössük össze, ez lesz majd a keresett függvény képe (egyenes).
Az ábráról is leolvasható, hogy a háromszög vízszintes oldala a kettő \(x\) koordináta különbsége, azaz 2, a függőleges oldala pedig a két \(f(x)\) (azaz \(y\)) különbsége: -10.
A függőleges és a vízszintes hányadosa lesz a meredekség: \(m = \frac{-10}{2} = -5\). (A meredekség azt mutatja, ha a függvény bármelyik pontjából egyet megyek jobbra, akkor mennyit kell felfelé menni, hogy a függvényre kerüljünk vissza.)
Azaz az \(f(x) = mx + b\) hozzárendelési szabályból ennyit már tudunk: \(f(x) = -5x + b\), azaz már csak a \(b\) értéke a kérdés.
Tudjuk, hogy 0 számhoz -5 számot rendelünk (előbbi az \(x\), utóbbi az \(f(x)\)), ezt beírva a félig már ismert \(f(x) = -5x + b\) hozzárendelési szabályba: \(-5 = -5\cdot 0 + b\). Ez lényegében egy egyenlet, amelyből a \(b\) meghatározható: \(b=-5\). Természetesen a másik hozzárendeléssel is meg lehet csinálni, és akkor is ugyanaz a \(b\) érték jön ki (érdemes is ellenőrzésképpen).
Azaz a keresett függvény \(f(x) = -5x -5\).
Keressük az \(f(x)\) lineáris függvényt \(f(x) = m\cdot x + b\) alakban. Tudjuk, hogy \(f(0) = -1\) és \(f(3) = 8\).
Határozd meg az \(m\) és a \(b\) értékét!
\(m=\); \(b=\).
Ábrázoljuk azokat az értékeket, amikhez tudjuk, hogy mennyit rendelünk, valamint értelemszerűen a hozzárendelt értéket is, és ezt a két pontot kössük össze, ez lesz majd a keresett függvény képe (egyenes).
Az ábráról is leolvasható, hogy a háromszög vízszintes oldala a kettő \(x\) koordináta különbsége, azaz 3, a függőleges oldala pedig a két \(f(x)\) (azaz \(y\)) különbsége: 9.
A függőleges és a vízszintes hányadosa lesz a meredekség: \(m = \frac{9}{3} = 3\). (A meredekség azt mutatja, ha a függvény bármelyik pontjából egyet megyek jobbra, akkor mennyit kell felfelé menni, hogy a függvényre kerüljünk vissza.)
Azaz az \(f(x) = mx + b\) hozzárendelési szabályból ennyit már tudunk: \(f(x) = 3x + b\), azaz már csak a \(b\) értéke a kérdés.
Tudjuk, hogy 0 számhoz -1 számot rendelünk (előbbi az \(x\), utóbbi az \(f(x)\)), ezt beírva a félig már ismert \(f(x) = 3x + b\) hozzárendelési szabályba: \(-1 = 3\cdot 0 + b\). Ez lényegében egy egyenlet, amelyből a \(b\) meghatározható: \(b=-1\). Természetesen a másik hozzárendeléssel is meg lehet csinálni, és akkor is ugyanaz a \(b\) érték jön ki (érdemes is ellenőrzésképpen).
Azaz a keresett függvény \(f(x) = 3x -1\).
Keressük az \(f(x)\) lineáris függvényt \(f(x) = m\cdot x + b\) alakban. Tudjuk, hogy \(f(-5) = 13\) és \(f(2) = -8\).
Határozd meg az \(m\) és a \(b\) értékét!
\(m=\); \(b=\).
Ábrázoljuk azokat az értékeket, amikhez tudjuk, hogy mennyit rendelünk, valamint értelemszerűen a hozzárendelt értéket is, és ezt a két pontot kössük össze, ez lesz majd a keresett függvény képe (egyenes).
Az ábráról is leolvasható, hogy a háromszög vízszintes oldala a kettő \(x\) koordináta különbsége, azaz 7, a függőleges oldala pedig a két \(f(x)\) (azaz \(y\)) különbsége: -21.
A függőleges és a vízszintes hányadosa lesz a meredekség: \(m = \frac{-21}{7} = -3\). (A meredekség azt mutatja, ha a függvény bármelyik pontjából egyet megyek jobbra, akkor mennyit kell felfelé menni, hogy a függvényre kerüljünk vissza.)
Azaz az \(f(x) = mx + b\) hozzárendelési szabályból ennyit már tudunk: \(f(x) = -3x + b\), azaz már csak a \(b\) értéke a kérdés.
Tudjuk, hogy -5 számhoz 13 számot rendelünk (előbbi az \(x\), utóbbi az \(f(x)\)), ezt beírva a félig már ismert \(f(x) = -3x + b\) hozzárendelési szabályba: \(13 = -3\cdot -5 + b\). Ez lényegében egy egyenlet, amelyből a \(b\) meghatározható: \(b=-2\). Természetesen a másik hozzárendeléssel is meg lehet csinálni, és akkor is ugyanaz a \(b\) érték jön ki (érdemes is ellenőrzésképpen).
Azaz a keresett függvény \(f(x) = -3x -2\).
Keressük az \(f(x)\) lineáris függvényt \(f(x) = m\cdot x + b\) alakban. Tudjuk, hogy \(f(2) = 5\) és \(f(9) = 12\).
Határozd meg az \(m\) és a \(b\) értékét!
\(m=\); \(b=\).
Ábrázoljuk azokat az értékeket, amikhez tudjuk, hogy mennyit rendelünk, valamint értelemszerűen a hozzárendelt értéket is, és ezt a két pontot kössük össze, ez lesz majd a keresett függvény képe (egyenes).
Az ábráról is leolvasható, hogy a háromszög vízszintes oldala a kettő \(x\) koordináta különbsége, azaz 7, a függőleges oldala pedig a két \(f(x)\) (azaz \(y\)) különbsége: 7.
A függőleges és a vízszintes hányadosa lesz a meredekség: \(m = \frac{7}{7} = 1\). (A meredekség azt mutatja, ha a függvény bármelyik pontjából egyet megyek jobbra, akkor mennyit kell felfelé menni, hogy a függvényre kerüljünk vissza.)
Azaz az \(f(x) = mx + b\) hozzárendelési szabályból ennyit már tudunk: \(f(x) = 1x + b\), azaz már csak a \(b\) értéke a kérdés.
Tudjuk, hogy 2 számhoz 5 számot rendelünk (előbbi az \(x\), utóbbi az \(f(x)\)), ezt beírva a félig már ismert \(f(x) = 1x + b\) hozzárendelési szabályba: \(5 = 1\cdot 2 + b\). Ez lényegében egy egyenlet, amelyből a \(b\) meghatározható: \(b=3\). Természetesen a másik hozzárendeléssel is meg lehet csinálni, és akkor is ugyanaz a \(b\) érték jön ki (érdemes is ellenőrzésképpen).
Azaz a keresett függvény \(f(x) = 1x + 3\).
Keressük az \(f(x)\) lineáris függvényt \(f(x) = m\cdot x + b\) alakban. Tudjuk, hogy \(f(-5) = 19\) és \(f(-3) = 13\).
Határozd meg az \(m\) és a \(b\) értékét!
\(m=\); \(b=\).
Ábrázoljuk azokat az értékeket, amikhez tudjuk, hogy mennyit rendelünk, valamint értelemszerűen a hozzárendelt értéket is, és ezt a két pontot kössük össze, ez lesz majd a keresett függvény képe (egyenes).
Az ábráról is leolvasható, hogy a háromszög vízszintes oldala a kettő \(x\) koordináta különbsége, azaz 2, a függőleges oldala pedig a két \(f(x)\) (azaz \(y\)) különbsége: -6.
A függőleges és a vízszintes hányadosa lesz a meredekség: \(m = \frac{-6}{2} = -3\). (A meredekség azt mutatja, ha a függvény bármelyik pontjából egyet megyek jobbra, akkor mennyit kell felfelé menni, hogy a függvényre kerüljünk vissza.)
Azaz az \(f(x) = mx + b\) hozzárendelési szabályból ennyit már tudunk: \(f(x) = -3x + b\), azaz már csak a \(b\) értéke a kérdés.
Tudjuk, hogy -5 számhoz 19 számot rendelünk (előbbi az \(x\), utóbbi az \(f(x)\)), ezt beírva a félig már ismert \(f(x) = -3x + b\) hozzárendelési szabályba: \(19 = -3\cdot -5 + b\). Ez lényegében egy egyenlet, amelyből a \(b\) meghatározható: \(b=4\). Természetesen a másik hozzárendeléssel is meg lehet csinálni, és akkor is ugyanaz a \(b\) érték jön ki (érdemes is ellenőrzésképpen).
Azaz a keresett függvény \(f(x) = -3x + 4\).
Keressük az \(f(x)\) lineáris függvényt \(f(x) = m\cdot x + b\) alakban. Tudjuk, hogy \(f(-4) = -1\) és \(f(12) = -17\).
Határozd meg az \(m\) és a \(b\) értékét!
\(m=\); \(b=\).
Ábrázoljuk azokat az értékeket, amikhez tudjuk, hogy mennyit rendelünk, valamint értelemszerűen a hozzárendelt értéket is, és ezt a két pontot kössük össze, ez lesz majd a keresett függvény képe (egyenes).
Az ábráról is leolvasható, hogy a háromszög vízszintes oldala a kettő \(x\) koordináta különbsége, azaz 16, a függőleges oldala pedig a két \(f(x)\) (azaz \(y\)) különbsége: -16.
A függőleges és a vízszintes hányadosa lesz a meredekség: \(m = \frac{-16}{16} = -1\). (A meredekség azt mutatja, ha a függvény bármelyik pontjából egyet megyek jobbra, akkor mennyit kell felfelé menni, hogy a függvényre kerüljünk vissza.)
Azaz az \(f(x) = mx + b\) hozzárendelési szabályból ennyit már tudunk: \(f(x) = -1x + b\), azaz már csak a \(b\) értéke a kérdés.
Tudjuk, hogy -4 számhoz -1 számot rendelünk (előbbi az \(x\), utóbbi az \(f(x)\)), ezt beírva a félig már ismert \(f(x) = -1x + b\) hozzárendelési szabályba: \(-1 = -1\cdot -4 + b\). Ez lényegében egy egyenlet, amelyből a \(b\) meghatározható: \(b=-5\). Természetesen a másik hozzárendeléssel is meg lehet csinálni, és akkor is ugyanaz a \(b\) érték jön ki (érdemes is ellenőrzésképpen).
Azaz a keresett függvény \(f(x) = -1x -5\).
Keressük az \(f(x)\) lineáris függvényt \(f(x) = m\cdot x + b\) alakban. Tudjuk, hogy \(f(-2) = -3\) és \(f(1) = 6\).
Határozd meg az \(m\) és a \(b\) értékét!
\(m=\); \(b=\).
Ábrázoljuk azokat az értékeket, amikhez tudjuk, hogy mennyit rendelünk, valamint értelemszerűen a hozzárendelt értéket is, és ezt a két pontot kössük össze, ez lesz majd a keresett függvény képe (egyenes).
Az ábráról is leolvasható, hogy a háromszög vízszintes oldala a kettő \(x\) koordináta különbsége, azaz 3, a függőleges oldala pedig a két \(f(x)\) (azaz \(y\)) különbsége: 9.
A függőleges és a vízszintes hányadosa lesz a meredekség: \(m = \frac{9}{3} = 3\). (A meredekség azt mutatja, ha a függvény bármelyik pontjából egyet megyek jobbra, akkor mennyit kell felfelé menni, hogy a függvényre kerüljünk vissza.)
Azaz az \(f(x) = mx + b\) hozzárendelési szabályból ennyit már tudunk: \(f(x) = 3x + b\), azaz már csak a \(b\) értéke a kérdés.
Tudjuk, hogy -2 számhoz -3 számot rendelünk (előbbi az \(x\), utóbbi az \(f(x)\)), ezt beírva a félig már ismert \(f(x) = 3x + b\) hozzárendelési szabályba: \(-3 = 3\cdot -2 + b\). Ez lényegében egy egyenlet, amelyből a \(b\) meghatározható: \(b=3\). Természetesen a másik hozzárendeléssel is meg lehet csinálni, és akkor is ugyanaz a \(b\) érték jön ki (érdemes is ellenőrzésképpen).
Azaz a keresett függvény \(f(x) = 3x + 3\).
Keressük az \(f(x)\) lineáris függvényt \(f(x) = m\cdot x + b\) alakban. Tudjuk, hogy \(f(-12) = 16\) és \(f(-11) = 15\).
Határozd meg az \(m\) és a \(b\) értékét!
\(m=\); \(b=\).
Ábrázoljuk azokat az értékeket, amikhez tudjuk, hogy mennyit rendelünk, valamint értelemszerűen a hozzárendelt értéket is, és ezt a két pontot kössük össze, ez lesz majd a keresett függvény képe (egyenes).
Az ábráról is leolvasható, hogy a háromszög vízszintes oldala a kettő \(x\) koordináta különbsége, azaz 1, a függőleges oldala pedig a két \(f(x)\) (azaz \(y\)) különbsége: -1.
A függőleges és a vízszintes hányadosa lesz a meredekség: \(m = \frac{-1}{1} = -1\). (A meredekség azt mutatja, ha a függvény bármelyik pontjából egyet megyek jobbra, akkor mennyit kell felfelé menni, hogy a függvényre kerüljünk vissza.)
Azaz az \(f(x) = mx + b\) hozzárendelési szabályból ennyit már tudunk: \(f(x) = -1x + b\), azaz már csak a \(b\) értéke a kérdés.
Tudjuk, hogy -12 számhoz 16 számot rendelünk (előbbi az \(x\), utóbbi az \(f(x)\)), ezt beírva a félig már ismert \(f(x) = -1x + b\) hozzárendelési szabályba: \(16 = -1\cdot -12 + b\). Ez lényegében egy egyenlet, amelyből a \(b\) meghatározható: \(b=4\). Természetesen a másik hozzárendeléssel is meg lehet csinálni, és akkor is ugyanaz a \(b\) érték jön ki (érdemes is ellenőrzésképpen).
Azaz a keresett függvény \(f(x) = -1x + 4\).
Valószínűség
Egy zsákban különböző színű golyók vannak: 6 darab sárga, 5 darab narancs, 8 darab zöld, 13 darab kék. Véletlenszerűen kiválasztunk egy golyót.
Mennyi a valószínűsége, hogy a kiválasztott golyó sárga vagy zöld színű?
Válaszodat három tizedes jegyre kerekítve add meg!
A valószínűséget \(P = \frac{\text{kedvező esetek száma}}{\text{összes esetek száma}}\) módon számolhatjuk.
Összesen \(6+5+8+13 = 32\) golyó van, ebből 6 golyó sárga illetve 8 golyó zöld, azaz a kedvező esetek száma ezek összege, vagyis \(6+8 = 14\).
Tehát a valószínűség: \(\frac{14}{32}\).
Egy zsákban különböző színű golyók vannak: 12 darab vörös, 14 darab kék, 8 darab zöld. Véletlenszerűen kiválasztunk egy golyót.
Mennyi a valószínűsége, hogy a kiválasztott golyó zöld vagy vörös színű?
Válaszodat három tizedes jegyre kerekítve add meg!
A valószínűséget \(P = \frac{\text{kedvező esetek száma}}{\text{összes esetek száma}}\) módon számolhatjuk.
Összesen \(12+14+8 = 34\) golyó van, ebből 8 golyó zöld illetve 12 golyó vörös, azaz a kedvező esetek száma ezek összege, vagyis \(8+12 = 20\).
Tehát a valószínűség: \(\frac{20}{34}\).
Egy zsákban különböző színű golyók vannak: 6 darab narancs, 7 darab sárga, 8 darab zöld, 8 darab kék, 8 darab vörös, 14 darab ibolya. Véletlenszerűen kiválasztunk egy golyót.
Mennyi a valószínűsége, hogy a kiválasztott golyó kék vagy ibolya színű?
Válaszodat három tizedes jegyre kerekítve add meg!
A valószínűséget \(P = \frac{\text{kedvező esetek száma}}{\text{összes esetek száma}}\) módon számolhatjuk.
Összesen \(6+7+8+8+8+14 = 51\) golyó van, ebből 8 golyó kék illetve 14 golyó ibolya, azaz a kedvező esetek száma ezek összege, vagyis \(8+14 = 22\).
Tehát a valószínűség: \(\frac{22}{51}\).
Egy zsákban különböző színű golyók vannak: 14 darab narancs, 14 darab kék, 14 darab sárga. Véletlenszerűen kiválasztunk egy golyót.
Mennyi a valószínűsége, hogy a kiválasztott golyó kék vagy narancs színű?
Válaszodat három tizedes jegyre kerekítve add meg!
A valószínűséget \(P = \frac{\text{kedvező esetek száma}}{\text{összes esetek száma}}\) módon számolhatjuk.
Összesen \(14+14+14 = 42\) golyó van, ebből 14 golyó kék illetve 14 golyó narancs, azaz a kedvező esetek száma ezek összege, vagyis \(14+14 = 28\).
Tehát a valószínűség: \(\frac{28}{42}\).
Egy zsákban különböző színű golyók vannak: 8 darab kék, 14 darab sárga, 15 darab ibolya, 8 darab vörös. Véletlenszerűen kiválasztunk egy golyót.
Mennyi a valószínűsége, hogy a kiválasztott golyó sárga vagy ibolya színű?
Válaszodat három tizedes jegyre kerekítve add meg!
A valószínűséget \(P = \frac{\text{kedvező esetek száma}}{\text{összes esetek száma}}\) módon számolhatjuk.
Összesen \(8+14+15+8 = 45\) golyó van, ebből 14 golyó sárga illetve 15 golyó ibolya, azaz a kedvező esetek száma ezek összege, vagyis \(14+15 = 29\).
Tehát a valószínűség: \(\frac{29}{45}\).
Gyökös egyenlet
Oldd meg az alábbi négyzetgyökös egyenletet!
\[\sqrt{-10x+210}=x-1\]
A megoldásokat növekvő sorrendben add meg! Ha nincs kettő megoldás, akkor először a megoldást írd be (ha van), a másik mezőbe (mezőket) pedig egy kötőjelet (-) írj!
| \(x_1=\) | |
| \(x_2=\) |
Mindkét oldalt négyzetre emeljük: \(-10x+210 = (x-1)^2\)
A jobb oldalon egy nevezetes azonosság szerepel, azaz az \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) segítségével emelünk négyzetre:
\(-10x+210 = x^{2}-2x+1\)
Észrevesszük, hogy ez egy másodfokú egyenlet (van benne \(x^2\)), amelyet nullára kell redukálni: \(0 = x^{2}+8x-209\)
Megoldva az egyenletet, a két gyök: 11 és -19.
Ezeket még ellenőrizve az eredeti egyenletbe, kapjuk a megoldásokat.
Oldd meg az alábbi négyzetgyökös egyenletet!
\[\sqrt{306x-2286}=3x+3\]
A megoldásokat növekvő sorrendben add meg! Ha nincs kettő megoldás, akkor először a megoldást írd be (ha van), a másik mezőbe (mezőket) pedig egy kötőjelet (-) írj!
| \(x_1=\) | |
| \(x_2=\) |
Mindkét oldalt négyzetre emeljük: \(306x-2286 = (3x+3)^2\)
A jobb oldalon egy nevezetes azonosság szerepel, azaz az \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) segítségével emelünk négyzetre:
\(306x-2286 = 9x^{2}+18x+9\)
Észrevesszük, hogy ez egy másodfokú egyenlet (van benne \(x^2\)), amelyet nullára kell redukálni: \(0 = 9x^{2}-288x+2295\)
Megoldva az egyenletet, a két gyök: 15 és 17.
Ezeket még ellenőrizve az eredeti egyenletbe, kapjuk a megoldásokat.
Oldd meg az alábbi négyzetgyökös egyenletet!
\[\sqrt{16x+2528}=4x+8\]
A megoldásokat növekvő sorrendben add meg! Ha nincs kettő megoldás, akkor először a megoldást írd be (ha van), a másik mezőbe (mezőket) pedig egy kötőjelet (-) írj!
| \(x_1=\) | |
| \(x_2=\) |
Mindkét oldalt négyzetre emeljük: \(16x+2528 = (4x+8)^2\)
A jobb oldalon egy nevezetes azonosság szerepel, azaz az \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) segítségével emelünk négyzetre:
\(16x+2528 = 16x^{2}+64x+64\)
Észrevesszük, hogy ez egy másodfokú egyenlet (van benne \(x^2\)), amelyet nullára kell redukálni: \(0 = 16x^{2}+48x-2464\)
Megoldva az egyenletet, a két gyök: -14 és 11.
Ezeket még ellenőrizve az eredeti egyenletbe, kapjuk a megoldásokat.
Oldd meg az alábbi négyzetgyökös egyenletet!
\[\sqrt{8x+44}=2x+8\]
A megoldásokat növekvő sorrendben add meg! Ha nincs kettő megoldás, akkor először a megoldást írd be (ha van), a másik mezőbe (mezőket) pedig egy kötőjelet (-) írj!
| \(x_1=\) | |
| \(x_2=\) |
Mindkét oldalt négyzetre emeljük: \(8x+44 = (2x+8)^2\)
A jobb oldalon egy nevezetes azonosság szerepel, azaz az \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) segítségével emelünk négyzetre:
\(8x+44 = 4x^{2}+32x+64\)
Észrevesszük, hogy ez egy másodfokú egyenlet (van benne \(x^2\)), amelyet nullára kell redukálni: \(0 = 4x^{2}+24x+20\)
Megoldva az egyenletet, a két gyök: -5 és -1.
Ezeket még ellenőrizve az eredeti egyenletbe, kapjuk a megoldásokat.
Oldd meg az alábbi négyzetgyökös egyenletet!
\[\sqrt{18x-134}=x-3\]
A megoldásokat növekvő sorrendben add meg! Ha nincs kettő megoldás, akkor először a megoldást írd be (ha van), a másik mezőbe (mezőket) pedig egy kötőjelet (-) írj!
| \(x_1=\) | |
| \(x_2=\) |
Mindkét oldalt négyzetre emeljük: \(18x-134 = (x-3)^2\)
A jobb oldalon egy nevezetes azonosság szerepel, azaz az \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) segítségével emelünk négyzetre:
\(18x-134 = x^{2}-6x+9\)
Észrevesszük, hogy ez egy másodfokú egyenlet (van benne \(x^2\)), amelyet nullára kell redukálni: \(0 = x^{2}-24x+143\)
Megoldva az egyenletet, a két gyök: 13 és 11.
Ezeket még ellenőrizve az eredeti egyenletbe, kapjuk a megoldásokat.
Számrendszer
Váltsd át a(z) \(417260\) tizes számrendszerbeli számot \(9\) alapú számrendszerbe!
A maradékos osztásokat végezzük el egymás után:
\(417260 : 9 = 46362\), a maradék 2
\(46362 : 9 = 5151\), a maradék 3
\(5151 : 9 = 572\), a maradék 3
\(572 : 9 = 63\), a maradék 5
\(63 : 9 = 7\), a maradék 0
\(7 : 9 = 0\), a maradék 7
A maradékokat visszafele összeolvasva kapjuk az eredményt.
Váltsd át a(z) \(22242\) tizes számrendszerbeli számot \(6\) alapú számrendszerbe!
A maradékos osztásokat végezzük el egymás után:
\(22242 : 6 = 3707\), a maradék 0
\(3707 : 6 = 617\), a maradék 5
\(617 : 6 = 102\), a maradék 5
\(102 : 6 = 17\), a maradék 0
\(17 : 6 = 2\), a maradék 5
\(2 : 6 = 0\), a maradék 2
A maradékokat visszafele összeolvasva kapjuk az eredményt.
Váltsd át a(z) \(14\) tizes számrendszerbeli számot \(2\) alapú számrendszerbe!
A maradékos osztásokat végezzük el egymás után:
\(14 : 2 = 7\), a maradék 0
\(7 : 2 = 3\), a maradék 1
\(3 : 2 = 1\), a maradék 1
\(1 : 2 = 0\), a maradék 1
A maradékokat visszafele összeolvasva kapjuk az eredményt.
Váltsd át a(z) \(54\) tizes számrendszerbeli számot \(2\) alapú számrendszerbe!
A maradékos osztásokat végezzük el egymás után:
\(54 : 2 = 27\), a maradék 0
\(27 : 2 = 13\), a maradék 1
\(13 : 2 = 6\), a maradék 1
\(6 : 2 = 3\), a maradék 0
\(3 : 2 = 1\), a maradék 1
\(1 : 2 = 0\), a maradék 1
A maradékokat visszafele összeolvasva kapjuk az eredményt.
Váltsd át a(z) \(155\) tizes számrendszerbeli számot \(3\) alapú számrendszerbe!
A maradékos osztásokat végezzük el egymás után:
\(155 : 3 = 51\), a maradék 2
\(51 : 3 = 17\), a maradék 0
\(17 : 3 = 5\), a maradék 2
\(5 : 3 = 1\), a maradék 2
\(1 : 3 = 0\), a maradék 1
A maradékokat visszafele összeolvasva kapjuk az eredményt.
Váltsd át a(z) \(42434\) tizes számrendszerbeli számot \(6\) alapú számrendszerbe!
A maradékos osztásokat végezzük el egymás után:
\(42434 : 6 = 7072\), a maradék 2
\(7072 : 6 = 1178\), a maradék 4
\(1178 : 6 = 196\), a maradék 2
\(196 : 6 = 32\), a maradék 4
\(32 : 6 = 5\), a maradék 2
\(5 : 6 = 0\), a maradék 5
A maradékokat visszafele összeolvasva kapjuk az eredményt.
Trigonometria
Adott egy háromszög két oldalának hossza: 94.59 és 28, valamint adott a(z) 94.59 hosszú oldallal szemközti szöge, amely \(81^\circ\).
Határozd meg a háromszög hiányzó oldalának hosszát! A választ kettő tizedes jegyre kerekítve add meg!
Ha több megoldás van, akkor az eredményeket növekvő sorrendben add meg! Ha csak egy megoldás, akkor az első megoldáshoz 0-t írj ("nulla"), a második megoldáshoz az adott megoldást!
A hiányzó oldalt jelöljük x-szel! Ekkor a koszinusztételt az alábbi módon írhatjuk fel:
\(94.59^2 = 28^2 + x^2 - 2\cdot 28\cdot x\cos81^\circ\)
Kiszámolva az értékeket (az utolsó tagban számolható a \(-2\cdot 28\cdot \cos 81^\circ\) kifejezés), és rendezve a keletkező másodfokú egyenletet:
\(0 = x^{2}-8163,27x-8,76\)
A másodfokú egyenlet megoldásai: \(x_1 = 8163.2711\) és \(x_2 = -0.0011\).
A negatív eredmény értelemszerűen nem megoldás.
Adott egy háromszög két oldalának hossza: 482.9 és 22, valamint adott a(z) 22 hosszú oldallal szemközti szöge, amely \(2^\circ\).
Határozd meg a háromszög hiányzó oldalának hosszát! A választ kettő tizedes jegyre kerekítve add meg!
Ha több megoldás van, akkor az eredményeket növekvő sorrendben add meg! Ha csak egy megoldás, akkor az első megoldáshoz 0-t írj ("nulla"), a második megoldáshoz az adott megoldást!
A hiányzó oldalt jelöljük x-szel! Ekkor a koszinusztételt az alábbi módon írhatjuk fel:
\(22^2 = 482.9^2 + x^2 - 2\cdot 482.9\cdot x\cos2^\circ\)
Kiszámolva az értékeket (az utolsó tagban számolható a \(-2\cdot 482.9\cdot \cos 2^\circ\) kifejezés), és rendezve a keletkező másodfokú egyenletet:
\(0 = x^{2}+232708,4x-965,21\)
A másodfokú egyenlet megoldásai: \(x_1 = 0.0041\) és \(x_2 = -232708.4141\).
A negatív eredmény értelemszerűen nem megoldás.
Adott egy háromszög két oldalának hossza: 11.83 és 10, valamint adott a(z) 10 hosszú oldallal szemközti szöge, amely \(25^\circ\).
Határozd meg a háromszög hiányzó oldalának hosszát! A választ kettő tizedes jegyre kerekítve add meg!
Ha több megoldás van, akkor az eredményeket növekvő sorrendben add meg! Ha csak egy megoldás, akkor az első megoldáshoz 0-t írj ("nulla"), a második megoldáshoz az adott megoldást!
A hiányzó oldalt jelöljük x-szel! Ekkor a koszinusztételt az alábbi módon írhatjuk fel:
\(10^2 = 11.83^2 + x^2 - 2\cdot 11.83\cdot x\cos25^\circ\)
Kiszámolva az értékeket (az utolsó tagban számolható a \(-2\cdot 11.83\cdot \cos 25^\circ\) kifejezés), és rendezve a keletkező másodfokú egyenletet:
\(0 = x^{2}+39,95x-21,44\)
A másodfokú egyenlet megoldásai: \(x_1 = 0.5296\) és \(x_2 = -40.4796\).
A negatív eredmény értelemszerűen nem megoldás.
Adott egy háromszög két oldalának hossza: 18.88 és 5, valamint adott a(z) 18.88 hosszú oldallal szemközti szöge, amely \(114^\circ\).
Határozd meg a háromszög hiányzó oldalának hosszát! A választ kettő tizedes jegyre kerekítve add meg!
Ha több megoldás van, akkor az eredményeket növekvő sorrendben add meg! Ha csak egy megoldás, akkor az első megoldáshoz 0-t írj ("nulla"), a második megoldáshoz az adott megoldást!
A hiányzó oldalt jelöljük x-szel! Ekkor a koszinusztételt az alábbi módon írhatjuk fel:
\(18.88^2 = 5^2 + x^2 - 2\cdot 5\cdot x\cos114^\circ\)
Kiszámolva az értékeket (az utolsó tagban számolható a \(-2\cdot 5\cdot \cos 114^\circ\) kifejezés), és rendezve a keletkező másodfokú egyenletet:
\(0 = x^{2}-331,45x+4,07\)
A másodfokú egyenlet megoldásai: \(x_1 = 331.4377\) és \(x_2 = 0.0123\).
Mindkettő eredmény megoldás.
Adott egy háromszög két oldalának hossza: 78.18 és 18, valamint adott a(z) 18 hosszú oldallal szemközti szöge, amely \(6^\circ\).
Határozd meg a háromszög hiányzó oldalának hosszát! A választ kettő tizedes jegyre kerekítve add meg!
Ha több megoldás van, akkor az eredményeket növekvő sorrendben add meg! Ha csak egy megoldás, akkor az első megoldáshoz 0-t írj ("nulla"), a második megoldáshoz az adott megoldást!
A hiányzó oldalt jelöljük x-szel! Ekkor a koszinusztételt az alábbi módon írhatjuk fel:
\(18^2 = 78.18^2 + x^2 - 2\cdot 78.18\cdot x\cos6^\circ\)
Kiszámolva az értékeket (az utolsó tagban számolható a \(-2\cdot 78.18\cdot \cos 6^\circ\) kifejezés), és rendezve a keletkező másodfokú egyenletet:
\(0 = x^{2}+5788,11x-155,5\)
A másodfokú egyenlet megoldásai: \(x_1 = 0.0269\) és \(x_2 = -5788.1369\).
A negatív eredmény értelemszerűen nem megoldás.
Akkumulátor
Egy robot akkumulátora minden használati ciklus után 8 %-kal csökken. Új korában az akkumulátor kapacitása 22000 kWh (kilowattóra) volt.
Hány használati ciklus után csökken az akkumulátor kapacitása 8790 kWh alá?
Az akkumulátor kapacitásai egy (csökkenő) mértani sorozat tagjai (kWh mértékegységben). Az első tagja az első ciklus előtti (tehát a teljes) kapacitás, a második tagja a második ciklus előtti (tehát egy ciklus utáni) kapacitás, stb.
A sorozat kvóciense:
minden ciklus után az előző kapacitás \(100 - 8 = 92\) százaléka lesz az új kapacitás
azaz az előző kapacitás \(\frac{92}{100} = 0.92\)-szorosa lesz az új kapacitás
Azaz \(q = 0.92\).
A feladat azt kérdezi, hányadik tagja lesz a sorozatnak kevesebb, mint 8790 kWh:
\(a_n < 8790\), vagyis
\(a_1\cdot q^{n-1} < 8790\), behelyettesítve:
\(22000\cdot 0.92^{n-1} < 8790\)
Osztva az egyenlőtlenség mindkét oldalát 22000 értékkel:
\(0.92^{n-1} < 0.399545454545455\)
Az egyenlőtlenség mindkét oldalának 0.92 alapú logaritmusát véve:
\(n-1 > 11.0027589217166\)
Azaz \(n > 12.0027589217166\), vagyis az \(a_{13}\)-re lesz igaz először, hogy kisebb, mint 8790. Ne felejtsd, hogy ez a(z) 13. ciklus előtti érték, vagyis 12 ciklus után lesz igaz.
Egy robot akkumulátora minden használati ciklus után 6 %-kal csökken. Új korában az akkumulátor kapacitása 19000 kWh (kilowattóra) volt.
Hány használati ciklus után csökken az akkumulátor kapacitása 13100 kWh alá?
Az akkumulátor kapacitásai egy (csökkenő) mértani sorozat tagjai (kWh mértékegységben). Az első tagja az első ciklus előtti (tehát a teljes) kapacitás, a második tagja a második ciklus előtti (tehát egy ciklus utáni) kapacitás, stb.
A sorozat kvóciense:
minden ciklus után az előző kapacitás \(100 - 6 = 94\) százaléka lesz az új kapacitás
azaz az előző kapacitás \(\frac{94}{100} = 0.94\)-szorosa lesz az új kapacitás
Azaz \(q = 0.94\).
A feladat azt kérdezi, hányadik tagja lesz a sorozatnak kevesebb, mint 13100 kWh:
\(a_n < 13100\), vagyis
\(a_1\cdot q^{n-1} < 13100\), behelyettesítve:
\(19000\cdot 0.94^{n-1} < 13100\)
Osztva az egyenlőtlenség mindkét oldalát 19000 értékkel:
\(0.94^{n-1} < 0.689473684210526\)
Az egyenlőtlenség mindkét oldalának 0.94 alapú logaritmusát véve:
\(n-1 > 6.00928198631925\)
Azaz \(n > 7.00928198631925\), vagyis az \(a_{8}\)-re lesz igaz először, hogy kisebb, mint 13100. Ne felejtsd, hogy ez a(z) 8. ciklus előtti érték, vagyis 7 ciklus után lesz igaz.
Egy robot akkumulátora minden használati ciklus után 11 %-kal csökken. Új korában az akkumulátor kapacitása 30000 kWh (kilowattóra) volt.
Hány használati ciklus után csökken az akkumulátor kapacitása 23760 kWh alá?
Az akkumulátor kapacitásai egy (csökkenő) mértani sorozat tagjai (kWh mértékegységben). Az első tagja az első ciklus előtti (tehát a teljes) kapacitás, a második tagja a második ciklus előtti (tehát egy ciklus utáni) kapacitás, stb.
A sorozat kvóciense:
minden ciklus után az előző kapacitás \(100 - 11 = 89\) százaléka lesz az új kapacitás
azaz az előző kapacitás \(\frac{89}{100} = 0.89\)-szorosa lesz az új kapacitás
Azaz \(q = 0.89\).
A feladat azt kérdezi, hányadik tagja lesz a sorozatnak kevesebb, mint 23760 kWh:
\(a_n < 23760\), vagyis
\(a_1\cdot q^{n-1} < 23760\), behelyettesítve:
\(30000\cdot 0.89^{n-1} < 23760\)
Osztva az egyenlőtlenség mindkét oldalát 30000 értékkel:
\(0.89^{n-1} < 0.792\)
Az egyenlőtlenség mindkét oldalának 0.89 alapú logaritmusát véve:
\(n-1 > 2.0010834164697\)
Azaz \(n > 3.0010834164697\), vagyis az \(a_{4}\)-re lesz igaz először, hogy kisebb, mint 23760. Ne felejtsd, hogy ez a(z) 4. ciklus előtti érték, vagyis 3 ciklus után lesz igaz.
Egy robot akkumulátora minden használati ciklus után 8 %-kal csökken. Új korában az akkumulátor kapacitása 21000 kWh (kilowattóra) volt.
Hány használati ciklus után csökken az akkumulátor kapacitása 4300 kWh alá?
Az akkumulátor kapacitásai egy (csökkenő) mértani sorozat tagjai (kWh mértékegységben). Az első tagja az első ciklus előtti (tehát a teljes) kapacitás, a második tagja a második ciklus előtti (tehát egy ciklus utáni) kapacitás, stb.
A sorozat kvóciense:
minden ciklus után az előző kapacitás \(100 - 8 = 92\) százaléka lesz az új kapacitás
azaz az előző kapacitás \(\frac{92}{100} = 0.92\)-szorosa lesz az új kapacitás
Azaz \(q = 0.92\).
A feladat azt kérdezi, hányadik tagja lesz a sorozatnak kevesebb, mint 4300 kWh:
\(a_n < 4300\), vagyis
\(a_1\cdot q^{n-1} < 4300\), behelyettesítve:
\(21000\cdot 0.92^{n-1} < 4300\)
Osztva az egyenlőtlenség mindkét oldalát 21000 értékkel:
\(0.92^{n-1} < 0.204761904761905\)
Az egyenlőtlenség mindkét oldalának 0.92 alapú logaritmusát véve:
\(n-1 > 19.0198706309823\)
Azaz \(n > 20.0198706309823\), vagyis az \(a_{21}\)-re lesz igaz először, hogy kisebb, mint 4300. Ne felejtsd, hogy ez a(z) 21. ciklus előtti érték, vagyis 20 ciklus után lesz igaz.
Egy robot akkumulátora minden használati ciklus után 9 %-kal csökken. Új korában az akkumulátor kapacitása 18000 kWh (kilowattóra) volt.
Hány használati ciklus után csökken az akkumulátor kapacitása 7700 kWh alá?
Az akkumulátor kapacitásai egy (csökkenő) mértani sorozat tagjai (kWh mértékegységben). Az első tagja az első ciklus előtti (tehát a teljes) kapacitás, a második tagja a második ciklus előtti (tehát egy ciklus utáni) kapacitás, stb.
A sorozat hányadosa:
minden ciklus után az előző kapacitás \(100 - 9 = 91\) százaléka lesz az új kapacitás
azaz az előző kapacitás \(\frac{91}{100} = 0.91\)-szorosa lesz az új kapacitás
Azaz \(q = 0.91\).
A feladat azt kérdezi, hányadik tagja lesz a sorozatnak kevesebb, mint 7700 kWh:
\(a_n < 7700\), vagyis
\(a_1\cdot q^{n-1} < 7700\), behelyettesítve:
\(18000\cdot 0.91^{n-1} < 7700\)
Osztva az egyenlőtlenség mindkét oldalát 18000 értékkel:
\(0.91^{n-1} < 0.427777777777778\)
Az egyenlőtlenség mindkét oldalának 0.91 alapú logaritmusát véve:
\(n-1 > 9.00376748208524\)
Azaz \(n > 10.0037674820852\), vagyis az \(a_{11}\)-re lesz igaz először, hogy kisebb, mint 7700. Ne felejtsd, hogy ez a(z) 11. ciklus előtti érték, vagyis 10 ciklus után lesz igaz.
Koordinátageometria
Határozd meg annak az egyenesnek az egyenletét, amelynek meredeksége 0, valamint áthalad az \(A(2;8)\) ponton!
A választ \(y = mx + b\) alakban keressük, az \(m\) és a \(b\) értékeit kell meghatározni!
\(m =\)
\(b =\)
Az egyenes általános egyenlete: \(y = mx + b\), az ismert meredekség értékét behelyettesítve: \(y = 0x + b\).
Mivel az \(A\) pont rajta van az egyenesen, a koordinátái az egyenes egyenletét igazzá teszik, azaz: \(8 = 0\cdot 2 + b\).
Ebből az egyenletből a \(b\) értéke kifejezhető: \(b = 8\).
Határozd meg annak az egyenesnek az egyenletét, amelynek meredeksége -4, valamint áthalad az \(A(-17;-12)\) ponton!
A választ \(y = mx + b\) alakban keressük, az \(m\) és a \(b\) értékeit kell meghatározni!
\(m =\)
\(b =\)
Az egyenes általános egyenlete: \(y = mx + b\), az ismert meredekség értékét behelyettesítve: \(y = -4x + b\).
Mivel az \(A\) pont rajta van az egyenesen, a koordinátái az egyenes egyenletét igazzá teszik, azaz: \(-12 = -4\cdot -17 + b\).
Ebből az egyenletből a \(b\) értéke kifejezhető: \(b = -80\).
Határozd meg annak az egyenesnek az egyenletét, amelynek meredeksége -2, valamint áthalad az \(A(10;5)\) ponton!
A választ \(y = mx + b\) alakban keressük, az \(m\) és a \(b\) értékeit kell meghatározni!
\(m =\)
\(b =\)
Az egyenes általános egyenlete: \(y = mx + b\), az ismert meredekség értékét behelyettesítve: \(y = -2x + b\).
Mivel az \(A\) pont rajta van az egyenesen, a koordinátái az egyenes egyenletét igazzá teszik, azaz: \(5 = -2\cdot 10 + b\).
Ebből az egyenletből a \(b\) értéke kifejezhető: \(b = 25\).
Határozd meg annak az egyenesnek az egyenletét, amelynek meredeksége 2, valamint áthalad az \(A(-12;-15)\) ponton!
A választ \(y = mx + b\) alakban keressük, az \(m\) és a \(b\) értékeit kell meghatározni!
\(m =\)
\(b =\)
Az egyenes általános egyenlete: \(y = mx + b\), az ismert meredekség értékét behelyettesítve: \(y = 2x + b\).
Mivel az \(A\) pont rajta van az egyenesen, a koordinátái az egyenes egyenletét igazzá teszik, azaz: \(-15 = 2\cdot -12 + b\).
Ebből az egyenletből a \(b\) értéke kifejezhető: \(b = 9\).
Határozd meg annak az egyenesnek az egyenletét, amelynek meredeksége -8, valamint áthalad az \(A(-3;-11)\) ponton!
A választ \(y = mx + b\) alakban keressük, az \(m\) és a \(b\) értékeit kell meghatározni!
\(m =\)
\(b =\)
Az egyenes általános egyenlete: \(y = mx + b\), az ismert meredekség értékét behelyettesítve: \(y = -8x + b\).
Mivel az \(A\) pont rajta van az egyenesen, a koordinátái az egyenes egyenletét igazzá teszik, azaz: \(-11 = -8\cdot -3 + b\).
Ebből az egyenletből a \(b\) értéke kifejezhető: \(b = -35\).