Kihívás - harmadik alkalom
Értelmezési tartomány
Adott az ábra szerinti függvény.
Határozd meg, hogy mely elemek tartoznak a függvény értelmezési tartományába!
Egy függvény értelmezési tartománya azon elemek halmaza (az alaphalmazból), amihez hozzárendeltünk valamit (de csak egyet, különben nem lenne függvény).
Az ábra szerint a bal oldali halmazból kell azokat megkereseni, amelyekhez hozzárendeltünk valamit, vagyis azokat az elemeket, amelyekből indul ki nyíl.
Adott az ábra szerinti függvény.
Határozd meg, hogy mely elemek tartoznak a függvény értelmezési tartományába!
Egy függvény értelmezési tartománya azon elemek halmaza (az alaphalmazból), amihez hozzárendeltünk valamit (de csak egyet, különben nem lenne függvény).
Az ábra szerint a bal oldali halmazból kell azokat megkereseni, amelyekhez hozzárendeltünk valamit, vagyis azokat az elemeket, amelyekből indul ki nyíl.
Adott az ábra szerinti függvény.
Határozd meg, hogy mely elemek tartoznak a függvény értelmezési tartományába!
Egy függvény értelmezési tartománya azon elemek halmaza (az alaphalmazból), amihez hozzárendeltünk valamit (de csak egyet, különben nem lenne függvény).
Az ábra szerint a bal oldali halmazból kell azokat megkereseni, amelyekhez hozzárendeltünk valamit, vagyis azokat az elemeket, amelyekből indul ki nyíl.
Adott az ábra szerinti függvény.
Határozd meg, hogy mely elemek tartoznak a függvény értelmezési tartományába!
Egy függvény értelmezési tartománya azon elemek halmaza (az alaphalmazból), amihez hozzárendeltünk valamit (de csak egyet, különben nem lenne függvény).
Az ábra szerint a bal oldali halmazból kell azokat megkereseni, amelyekhez hozzárendeltünk valamit, vagyis azokat az elemeket, amelyekből indul ki nyíl.
Adott az ábra szerinti függvény.
Határozd meg, hogy mely elemek tartoznak a függvény értelmezési tartományába!
Egy függvény értelmezési tartománya azon elemek halmaza (az alaphalmazból), amihez hozzárendeltünk valamit (de csak egyet, különben nem lenne függvény).
Az ábra szerint a bal oldali halmazból kell azokat megkereseni, amelyekhez hozzárendeltünk valamit, vagyis azokat az elemeket, amelyekből indul ki nyíl.
Adott az ábra szerinti függvény.
Határozd meg, hogy mely elemek tartoznak a függvény értelmezési tartományába!
Egy függvény értelmezési tartománya azon elemek halmaza (az alaphalmazból), amihez hozzárendeltünk valamit (de csak egyet, különben nem lenne függvény).
Az ábra szerint a bal oldali halmazból kell azokat megkereseni, amelyekhez hozzárendeltünk valamit, vagyis azokat az elemeket, amelyekből indul ki nyíl.
Adott az ábra szerinti függvény.
Határozd meg, hogy mely elemek tartoznak a függvény értelmezési tartományába!
Egy függvény értelmezési tartománya azon elemek halmaza (az alaphalmazból), amihez hozzárendeltünk valamit (de csak egyet, különben nem lenne függvény).
Az ábra szerint a bal oldali halmazból kell azokat megkereseni, amelyekhez hozzárendeltünk valamit, vagyis azokat az elemeket, amelyekből indul ki nyíl.
Adott az ábra szerinti függvény.
Határozd meg, hogy mely elemek tartoznak a függvény értelmezési tartományába!
Egy függvény értelmezési tartománya azon elemek halmaza (az alaphalmazból), amihez hozzárendeltünk valamit (de csak egyet, különben nem lenne függvény).
Az ábra szerint a bal oldali halmazból kell azokat megkereseni, amelyekhez hozzárendeltünk valamit, vagyis azokat az elemeket, amelyekből indul ki nyíl.
Lineáris függvény
Keressük az \(f(x)\) lineáris függvényt \(f(x) = m\cdot x + b\) alakban. Tudjuk, hogy \(f(0) = -3\) és \(f(1) = -8\).
Határozd meg az \(m\) és a \(b\) értékét!
\(m=\); \(b=\).
Ábrázoljuk azokat az értékeket, amikhez tudjuk, hogy mennyit rendelünk, valamint értelemszerűen a hozzárendelt értéket is, és ezt a két pontot kössük össze, ez lesz majd a keresett függvény képe (egyenes).
Az ábráról is leolvasható, hogy a háromszög vízszintes oldala a kettő \(x\) koordináta különbsége, azaz 1, a függőleges oldala pedig a két \(f(x)\) (azaz \(y\)) különbsége: -5.
A függőleges és a vízszintes hányadosa lesz a meredekség: \(m = \frac{-5}{1} = -5\). (A meredekség azt mutatja, ha a függvény bármelyik pontjából egyet megyek jobbra, akkor mennyit kell felfelé menni, hogy a függvényre kerüljünk vissza.)
Azaz az \(f(x) = mx + b\) hozzárendelési szabályból ennyit már tudunk: \(f(x) = -5x + b\), azaz már csak a \(b\) értéke a kérdés.
Tudjuk, hogy 0 számhoz -3 számot rendelünk (előbbi az \(x\), utóbbi az \(f(x)\)), ezt beírva a félig már ismert \(f(x) = -5x + b\) hozzárendelési szabályba: \(-3 = -5\cdot 0 + b\). Ez lényegében egy egyenlet, amelyből a \(b\) meghatározható: \(b=-3\). Természetesen a másik hozzárendeléssel is meg lehet csinálni, és akkor is ugyanaz a \(b\) érték jön ki (érdemes is ellenőrzésképpen).
Azaz a keresett függvény \(f(x) = -5x -3\).
Keressük az \(f(x)\) lineáris függvényt \(f(x) = m\cdot x + b\) alakban. Tudjuk, hogy \(f(-4) = 10\) és \(f(1) = -5\).
Határozd meg az \(m\) és a \(b\) értékét!
\(m=\); \(b=\).
Ábrázoljuk azokat az értékeket, amikhez tudjuk, hogy mennyit rendelünk, valamint értelemszerűen a hozzárendelt értéket is, és ezt a két pontot kössük össze, ez lesz majd a keresett függvény képe (egyenes).
Az ábráról is leolvasható, hogy a háromszög vízszintes oldala a kettő \(x\) koordináta különbsége, azaz 5, a függőleges oldala pedig a két \(f(x)\) (azaz \(y\)) különbsége: -15.
A függőleges és a vízszintes hányadosa lesz a meredekség: \(m = \frac{-15}{5} = -3\). (A meredekség azt mutatja, ha a függvény bármelyik pontjából egyet megyek jobbra, akkor mennyit kell felfelé menni, hogy a függvényre kerüljünk vissza.)
Azaz az \(f(x) = mx + b\) hozzárendelési szabályból ennyit már tudunk: \(f(x) = -3x + b\), azaz már csak a \(b\) értéke a kérdés.
Tudjuk, hogy -4 számhoz 10 számot rendelünk (előbbi az \(x\), utóbbi az \(f(x)\)), ezt beírva a félig már ismert \(f(x) = -3x + b\) hozzárendelési szabályba: \(10 = -3\cdot -4 + b\). Ez lényegében egy egyenlet, amelyből a \(b\) meghatározható: \(b=-2\). Természetesen a másik hozzárendeléssel is meg lehet csinálni, és akkor is ugyanaz a \(b\) érték jön ki (érdemes is ellenőrzésképpen).
Azaz a keresett függvény \(f(x) = -3x -2\).
Keressük az \(f(x)\) lineáris függvényt \(f(x) = m\cdot x + b\) alakban. Tudjuk, hogy \(f(-4) = -7\) és \(f(7) = 15\).
Határozd meg az \(m\) és a \(b\) értékét!
\(m=\); \(b=\).
Ábrázoljuk azokat az értékeket, amikhez tudjuk, hogy mennyit rendelünk, valamint értelemszerűen a hozzárendelt értéket is, és ezt a két pontot kössük össze, ez lesz majd a keresett függvény képe (egyenes).
Az ábráról is leolvasható, hogy a háromszög vízszintes oldala a kettő \(x\) koordináta különbsége, azaz 11, a függőleges oldala pedig a két \(f(x)\) (azaz \(y\)) különbsége: 22.
A függőleges és a vízszintes hányadosa lesz a meredekség: \(m = \frac{22}{11} = 2\). (A meredekség azt mutatja, ha a függvény bármelyik pontjából egyet megyek jobbra, akkor mennyit kell felfelé menni, hogy a függvényre kerüljünk vissza.)
Azaz az \(f(x) = mx + b\) hozzárendelési szabályból ennyit már tudunk: \(f(x) = 2x + b\), azaz már csak a \(b\) értéke a kérdés.
Tudjuk, hogy -4 számhoz -7 számot rendelünk (előbbi az \(x\), utóbbi az \(f(x)\)), ezt beírva a félig már ismert \(f(x) = 2x + b\) hozzárendelési szabályba: \(-7 = 2\cdot -4 + b\). Ez lényegében egy egyenlet, amelyből a \(b\) meghatározható: \(b=1\). Természetesen a másik hozzárendeléssel is meg lehet csinálni, és akkor is ugyanaz a \(b\) érték jön ki (érdemes is ellenőrzésképpen).
Azaz a keresett függvény \(f(x) = 2x + 1\).
Keressük az \(f(x)\) lineáris függvényt \(f(x) = m\cdot x + b\) alakban. Tudjuk, hogy \(f(-3) = 15\) és \(f(1) = -5\).
Határozd meg az \(m\) és a \(b\) értékét!
\(m=\); \(b=\).
Ábrázoljuk azokat az értékeket, amikhez tudjuk, hogy mennyit rendelünk, valamint értelemszerűen a hozzárendelt értéket is, és ezt a két pontot kössük össze, ez lesz majd a keresett függvény képe (egyenes).
Az ábráról is leolvasható, hogy a háromszög vízszintes oldala a kettő \(x\) koordináta különbsége, azaz 4, a függőleges oldala pedig a két \(f(x)\) (azaz \(y\)) különbsége: -20.
A függőleges és a vízszintes hányadosa lesz a meredekség: \(m = \frac{-20}{4} = -5\). (A meredekség azt mutatja, ha a függvény bármelyik pontjából egyet megyek jobbra, akkor mennyit kell felfelé menni, hogy a függvényre kerüljünk vissza.)
Azaz az \(f(x) = mx + b\) hozzárendelési szabályból ennyit már tudunk: \(f(x) = -5x + b\), azaz már csak a \(b\) értéke a kérdés.
Tudjuk, hogy -3 számhoz 15 számot rendelünk (előbbi az \(x\), utóbbi az \(f(x)\)), ezt beírva a félig már ismert \(f(x) = -5x + b\) hozzárendelési szabályba: \(15 = -5\cdot -3 + b\). Ez lényegében egy egyenlet, amelyből a \(b\) meghatározható: \(b=0\). Természetesen a másik hozzárendeléssel is meg lehet csinálni, és akkor is ugyanaz a \(b\) érték jön ki (érdemes is ellenőrzésképpen).
Azaz a keresett függvény \(f(x) = -5x + 0\).
Keressük az \(f(x)\) lineáris függvényt \(f(x) = m\cdot x + b\) alakban. Tudjuk, hogy \(f(-4) = -16\) és \(f(-1) = -4\).
Határozd meg az \(m\) és a \(b\) értékét!
\(m=\); \(b=\).
Ábrázoljuk azokat az értékeket, amikhez tudjuk, hogy mennyit rendelünk, valamint értelemszerűen a hozzárendelt értéket is, és ezt a két pontot kössük össze, ez lesz majd a keresett függvény képe (egyenes).
Az ábráról is leolvasható, hogy a háromszög vízszintes oldala a kettő \(x\) koordináta különbsége, azaz 3, a függőleges oldala pedig a két \(f(x)\) (azaz \(y\)) különbsége: 12.
A függőleges és a vízszintes hányadosa lesz a meredekség: \(m = \frac{12}{3} = 4\). (A meredekség azt mutatja, ha a függvény bármelyik pontjából egyet megyek jobbra, akkor mennyit kell felfelé menni, hogy a függvényre kerüljünk vissza.)
Azaz az \(f(x) = mx + b\) hozzárendelési szabályból ennyit már tudunk: \(f(x) = 4x + b\), azaz már csak a \(b\) értéke a kérdés.
Tudjuk, hogy -4 számhoz -16 számot rendelünk (előbbi az \(x\), utóbbi az \(f(x)\)), ezt beírva a félig már ismert \(f(x) = 4x + b\) hozzárendelési szabályba: \(-16 = 4\cdot -4 + b\). Ez lényegében egy egyenlet, amelyből a \(b\) meghatározható: \(b=0\). Természetesen a másik hozzárendeléssel is meg lehet csinálni, és akkor is ugyanaz a \(b\) érték jön ki (érdemes is ellenőrzésképpen).
Azaz a keresett függvény \(f(x) = 4x + 0\).
Keressük az \(f(x)\) lineáris függvényt \(f(x) = m\cdot x + b\) alakban. Tudjuk, hogy \(f(-4) = 12\) és \(f(-3) = 8\).
Határozd meg az \(m\) és a \(b\) értékét!
\(m=\); \(b=\).
Ábrázoljuk azokat az értékeket, amikhez tudjuk, hogy mennyit rendelünk, valamint értelemszerűen a hozzárendelt értéket is, és ezt a két pontot kössük össze, ez lesz majd a keresett függvény képe (egyenes).
Az ábráról is leolvasható, hogy a háromszög vízszintes oldala a kettő \(x\) koordináta különbsége, azaz 1, a függőleges oldala pedig a két \(f(x)\) (azaz \(y\)) különbsége: -4.
A függőleges és a vízszintes hányadosa lesz a meredekség: \(m = \frac{-4}{1} = -4\). (A meredekség azt mutatja, ha a függvény bármelyik pontjából egyet megyek jobbra, akkor mennyit kell felfelé menni, hogy a függvényre kerüljünk vissza.)
Azaz az \(f(x) = mx + b\) hozzárendelési szabályból ennyit már tudunk: \(f(x) = -4x + b\), azaz már csak a \(b\) értéke a kérdés.
Tudjuk, hogy -4 számhoz 12 számot rendelünk (előbbi az \(x\), utóbbi az \(f(x)\)), ezt beírva a félig már ismert \(f(x) = -4x + b\) hozzárendelési szabályba: \(12 = -4\cdot -4 + b\). Ez lényegében egy egyenlet, amelyből a \(b\) meghatározható: \(b=-4\). Természetesen a másik hozzárendeléssel is meg lehet csinálni, és akkor is ugyanaz a \(b\) érték jön ki (érdemes is ellenőrzésképpen).
Azaz a keresett függvény \(f(x) = -4x -4\).
Keressük az \(f(x)\) lineáris függvényt \(f(x) = m\cdot x + b\) alakban. Tudjuk, hogy \(f(-8) = -20\) és \(f(3) = 2\).
Határozd meg az \(m\) és a \(b\) értékét!
\(m=\); \(b=\).
Ábrázoljuk azokat az értékeket, amikhez tudjuk, hogy mennyit rendelünk, valamint értelemszerűen a hozzárendelt értéket is, és ezt a két pontot kössük össze, ez lesz majd a keresett függvény képe (egyenes).
Az ábráról is leolvasható, hogy a háromszög vízszintes oldala a kettő \(x\) koordináta különbsége, azaz 11, a függőleges oldala pedig a két \(f(x)\) (azaz \(y\)) különbsége: 22.
A függőleges és a vízszintes hányadosa lesz a meredekség: \(m = \frac{22}{11} = 2\). (A meredekség azt mutatja, ha a függvény bármelyik pontjából egyet megyek jobbra, akkor mennyit kell felfelé menni, hogy a függvényre kerüljünk vissza.)
Azaz az \(f(x) = mx + b\) hozzárendelési szabályból ennyit már tudunk: \(f(x) = 2x + b\), azaz már csak a \(b\) értéke a kérdés.
Tudjuk, hogy -8 számhoz -20 számot rendelünk (előbbi az \(x\), utóbbi az \(f(x)\)), ezt beírva a félig már ismert \(f(x) = 2x + b\) hozzárendelési szabályba: \(-20 = 2\cdot -8 + b\). Ez lényegében egy egyenlet, amelyből a \(b\) meghatározható: \(b=-4\). Természetesen a másik hozzárendeléssel is meg lehet csinálni, és akkor is ugyanaz a \(b\) érték jön ki (érdemes is ellenőrzésképpen).
Azaz a keresett függvény \(f(x) = 2x -4\).
Keressük az \(f(x)\) lineáris függvényt \(f(x) = m\cdot x + b\) alakban. Tudjuk, hogy \(f(-4) = 6\) és \(f(-2) = 2\).
Határozd meg az \(m\) és a \(b\) értékét!
\(m=\); \(b=\).
Ábrázoljuk azokat az értékeket, amikhez tudjuk, hogy mennyit rendelünk, valamint értelemszerűen a hozzárendelt értéket is, és ezt a két pontot kössük össze, ez lesz majd a keresett függvény képe (egyenes).
Az ábráról is leolvasható, hogy a háromszög vízszintes oldala a kettő \(x\) koordináta különbsége, azaz 2, a függőleges oldala pedig a két \(f(x)\) (azaz \(y\)) különbsége: -4.
A függőleges és a vízszintes hányadosa lesz a meredekség: \(m = \frac{-4}{2} = -2\). (A meredekség azt mutatja, ha a függvény bármelyik pontjából egyet megyek jobbra, akkor mennyit kell felfelé menni, hogy a függvényre kerüljünk vissza.)
Azaz az \(f(x) = mx + b\) hozzárendelési szabályból ennyit már tudunk: \(f(x) = -2x + b\), azaz már csak a \(b\) értéke a kérdés.
Tudjuk, hogy -4 számhoz 6 számot rendelünk (előbbi az \(x\), utóbbi az \(f(x)\)), ezt beírva a félig már ismert \(f(x) = -2x + b\) hozzárendelési szabályba: \(6 = -2\cdot -4 + b\). Ez lényegében egy egyenlet, amelyből a \(b\) meghatározható: \(b=-2\). Természetesen a másik hozzárendeléssel is meg lehet csinálni, és akkor is ugyanaz a \(b\) érték jön ki (érdemes is ellenőrzésképpen).
Azaz a keresett függvény \(f(x) = -2x -2\).
Valószínűség
Egy zsákban különböző színű golyók vannak: 12 darab kék, 14 darab ibolya, 13 darab sárga, 15 darab vörös, 7 darab narancs, 14 darab zöld. Véletlenszerűen kiválasztunk egy golyót.
Mennyi a valószínűsége, hogy a kiválasztott golyó narancs vagy ibolya színű?
Válaszodat három tizedes jegyre kerekítve add meg!
A valószínűséget \(P = \frac{\text{kedvező esetek száma}}{\text{összes esetek száma}}\) módon számolhatjuk.
Összesen \(12+14+13+15+7+14 = 75\) golyó van, ebből 7 golyó narancs illetve 14 golyó ibolya, azaz a kedvező esetek száma ezek összege, vagyis \(7+14 = 21\).
Tehát a valószínűség: \(\frac{21}{75}\).
Egy zsákban különböző színű golyók vannak: 5 darab ibolya, 13 darab narancs, 14 darab zöld, 5 darab sárga, 7 darab vörös, 6 darab kék. Véletlenszerűen kiválasztunk egy golyót.
Mennyi a valószínűsége, hogy a kiválasztott golyó kék vagy zöld színű?
Válaszodat három tizedes jegyre kerekítve add meg!
A valószínűséget \(P = \frac{\text{kedvező esetek száma}}{\text{összes esetek száma}}\) módon számolhatjuk.
Összesen \(5+13+14+5+7+6 = 50\) golyó van, ebből 6 golyó kék illetve 14 golyó zöld, azaz a kedvező esetek száma ezek összege, vagyis \(6+14 = 20\).
Tehát a valószínűség: \(\frac{20}{50}\).
Egy zsákban különböző színű golyók vannak: 14 darab sárga, 13 darab narancs, 15 darab kék. Véletlenszerűen kiválasztunk egy golyót.
Mennyi a valószínűsége, hogy a kiválasztott golyó narancs vagy kék színű?
Válaszodat három tizedes jegyre kerekítve add meg!
A valószínűséget \(P = \frac{\text{kedvező esetek száma}}{\text{összes esetek száma}}\) módon számolhatjuk.
Összesen \(14+13+15 = 42\) golyó van, ebből 13 golyó narancs illetve 15 golyó kék, azaz a kedvező esetek száma ezek összege, vagyis \(13+15 = 28\).
Tehát a valószínűség: \(\frac{28}{42}\).
Egy zsákban különböző színű golyók vannak: 11 darab ibolya, 14 darab sárga, 12 darab zöld, 9 darab kék, 13 darab narancs, 10 darab vörös. Véletlenszerűen kiválasztunk egy golyót.
Mennyi a valószínűsége, hogy a kiválasztott golyó zöld vagy ibolya színű?
Válaszodat három tizedes jegyre kerekítve add meg!
A valószínűséget \(P = \frac{\text{kedvező esetek száma}}{\text{összes esetek száma}}\) módon számolhatjuk.
Összesen \(11+14+12+9+13+10 = 69\) golyó van, ebből 12 golyó zöld illetve 11 golyó ibolya, azaz a kedvező esetek száma ezek összege, vagyis \(12+11 = 23\).
Tehát a valószínűség: \(\frac{23}{69}\).
Egy zsákban különböző színű golyók vannak: 7 darab ibolya, 13 darab kék, 13 darab sárga, 14 darab vörös, 14 darab zöld. Véletlenszerűen kiválasztunk egy golyót.
Mennyi a valószínűsége, hogy a kiválasztott golyó vörös vagy kék színű?
Válaszodat három tizedes jegyre kerekítve add meg!
A valószínűséget \(P = \frac{\text{kedvező esetek száma}}{\text{összes esetek száma}}\) módon számolhatjuk.
Összesen \(7+13+13+14+14 = 61\) golyó van, ebből 14 golyó vörös illetve 13 golyó kék, azaz a kedvező esetek száma ezek összege, vagyis \(14+13 = 27\).
Tehát a valószínűség: \(\frac{27}{61}\).
Gyökös egyenlet
Oldd meg az alábbi négyzetgyökös egyenletet!
\[\sqrt{-96x+769}=3x+2\]
A megoldásokat növekvő sorrendben add meg! Ha nincs kettő megoldás, akkor először a megoldást írd be (ha van), a másik mezőbe (mezőket) pedig egy kötőjelet (-) írj!
| \(x_1=\) | |
| \(x_2=\) |
Mindkét oldalt négyzetre emeljük: \(-96x+769 = (3x+2)^2\)
A jobb oldalon egy nevezetes azonosság szerepel, azaz az \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) segítségével emelünk négyzetre:
\(-96x+769 = 9x^{2}+12x+4\)
Észrevesszük, hogy ez egy másodfokú egyenlet (van benne \(x^2\)), amelyet nullára kell redukálni: \(0 = 9x^{2}+108x-765\)
Megoldva az egyenletet, a két gyök: 5 és -17.
Ezeket még ellenőrizve az eredeti egyenletbe, kapjuk a megoldásokat.
Oldd meg az alábbi négyzetgyökös egyenletet!
\[\sqrt{-17x+196}=x-8\]
A megoldásokat növekvő sorrendben add meg! Ha nincs kettő megoldás, akkor először a megoldást írd be (ha van), a másik mezőbe (mezőket) pedig egy kötőjelet (-) írj!
| \(x_1=\) | |
| \(x_2=\) |
Mindkét oldalt négyzetre emeljük: \(-17x+196 = (x-8)^2\)
A jobb oldalon egy nevezetes azonosság szerepel, azaz az \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) segítségével emelünk négyzetre:
\(-17x+196 = x^{2}-16x+64\)
Észrevesszük, hogy ez egy másodfokú egyenlet (van benne \(x^2\)), amelyet nullára kell redukálni: \(0 = x^{2}+x-132\)
Megoldva az egyenletet, a két gyök: 11 és -12.
Ezeket még ellenőrizve az eredeti egyenletbe, kapjuk a megoldásokat.
Oldd meg az alábbi négyzetgyökös egyenletet!
\[\sqrt{-153x+153}=3x-3\]
A megoldásokat növekvő sorrendben add meg! Ha nincs kettő megoldás, akkor először a megoldást írd be (ha van), a másik mezőbe (mezőket) pedig egy kötőjelet (-) írj!
| \(x_1=\) | |
| \(x_2=\) |
Mindkét oldalt négyzetre emeljük: \(-153x+153 = (3x-3)^2\)
A jobb oldalon egy nevezetes azonosság szerepel, azaz az \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) segítségével emelünk négyzetre:
\(-153x+153 = 9x^{2}-18x+9\)
Észrevesszük, hogy ez egy másodfokú egyenlet (van benne \(x^2\)), amelyet nullára kell redukálni: \(0 = 9x^{2}+135x-144\)
Megoldva az egyenletet, a két gyök: -16 és 1.
Ezeket még ellenőrizve az eredeti egyenletbe, kapjuk a megoldásokat.
Oldd meg az alábbi négyzetgyökös egyenletet!
\[\sqrt{-64x+132}=2x-6\]
A megoldásokat növekvő sorrendben add meg! Ha nincs kettő megoldás, akkor először a megoldást írd be (ha van), a másik mezőbe (mezőket) pedig egy kötőjelet (-) írj!
| \(x_1=\) | |
| \(x_2=\) |
Mindkét oldalt négyzetre emeljük: \(-64x+132 = (2x-6)^2\)
A jobb oldalon egy nevezetes azonosság szerepel, azaz az \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) segítségével emelünk négyzetre:
\(-64x+132 = 4x^{2}-24x+36\)
Észrevesszük, hogy ez egy másodfokú egyenlet (van benne \(x^2\)), amelyet nullára kell redukálni: \(0 = 4x^{2}+40x-96\)
Megoldva az egyenletet, a két gyök: -12 és 2.
Ezeket még ellenőrizve az eredeti egyenletbe, kapjuk a megoldásokat.
Oldd meg az alábbi négyzetgyökös egyenletet!
\[\sqrt{-114x+766}=3x-1\]
A megoldásokat növekvő sorrendben add meg! Ha nincs kettő megoldás, akkor először a megoldást írd be (ha van), a másik mezőbe (mezőket) pedig egy kötőjelet (-) írj!
| \(x_1=\) | |
| \(x_2=\) |
Mindkét oldalt négyzetre emeljük: \(-114x+766 = (3x-1)^2\)
A jobb oldalon egy nevezetes azonosság szerepel, azaz az \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) segítségével emelünk négyzetre:
\(-114x+766 = 9x^{2}-6x+1\)
Észrevesszük, hogy ez egy másodfokú egyenlet (van benne \(x^2\)), amelyet nullára kell redukálni: \(0 = 9x^{2}+108x-765\)
Megoldva az egyenletet, a két gyök: -17 és 5.
Ezeket még ellenőrizve az eredeti egyenletbe, kapjuk a megoldásokat.
Számrendszer
Váltsd át a(z) \(26580\) tizes számrendszerbeli számot \(9\) alapú számrendszerbe!
A maradékos osztásokat végezzük el egymás után:
\(26580 : 9 = 2953\), a maradék 3
\(2953 : 9 = 328\), a maradék 1
\(328 : 9 = 36\), a maradék 4
\(36 : 9 = 4\), a maradék 0
\(4 : 9 = 0\), a maradék 4
A maradékokat visszafele összeolvasva kapjuk az eredményt.
Váltsd át a(z) \(669\) tizes számrendszerbeli számot \(3\) alapú számrendszerbe!
A maradékos osztásokat végezzük el egymás után:
\(669 : 3 = 223\), a maradék 0
\(223 : 3 = 74\), a maradék 1
\(74 : 3 = 24\), a maradék 2
\(24 : 3 = 8\), a maradék 0
\(8 : 3 = 2\), a maradék 2
\(2 : 3 = 0\), a maradék 2
A maradékokat visszafele összeolvasva kapjuk az eredményt.
Váltsd át a(z) \(2366\) tizes számrendszerbeli számot \(6\) alapú számrendszerbe!
A maradékos osztásokat végezzük el egymás után:
\(2366 : 6 = 394\), a maradék 2
\(394 : 6 = 65\), a maradék 4
\(65 : 6 = 10\), a maradék 5
\(10 : 6 = 1\), a maradék 4
\(1 : 6 = 0\), a maradék 1
A maradékokat visszafele összeolvasva kapjuk az eredményt.
Váltsd át a(z) \(9\) tizes számrendszerbeli számot \(2\) alapú számrendszerbe!
A maradékos osztásokat végezzük el egymás után:
\(9 : 2 = 4\), a maradék 1
\(4 : 2 = 2\), a maradék 0
\(2 : 2 = 1\), a maradék 0
\(1 : 2 = 0\), a maradék 1
A maradékokat visszafele összeolvasva kapjuk az eredményt.
Váltsd át a(z) \(1469\) tizes számrendszerbeli számot \(8\) alapú számrendszerbe!
A maradékos osztásokat végezzük el egymás után:
\(1469 : 8 = 183\), a maradék 5
\(183 : 8 = 22\), a maradék 7
\(22 : 8 = 2\), a maradék 6
\(2 : 8 = 0\), a maradék 2
A maradékokat visszafele összeolvasva kapjuk az eredményt.
Váltsd át a(z) \(87894\) tizes számrendszerbeli számot \(9\) alapú számrendszerbe!
A maradékos osztásokat végezzük el egymás után:
\(87894 : 9 = 9766\), a maradék 0
\(9766 : 9 = 1085\), a maradék 1
\(1085 : 9 = 120\), a maradék 5
\(120 : 9 = 13\), a maradék 3
\(13 : 9 = 1\), a maradék 4
\(1 : 9 = 0\), a maradék 1
A maradékokat visszafele összeolvasva kapjuk az eredményt.
Trigonometria
Adott egy háromszög két oldalának hossza: 25 és 130.91, valamint adott a(z) 130.91 hosszú oldallal szemközti szöge, amely \(55^\circ\).
Határozd meg a háromszög hiányzó oldalának hosszát! A választ kettő tizedes jegyre kerekítve add meg!
Ha több megoldás van, akkor az eredményeket növekvő sorrendben add meg! Ha csak egy megoldás, akkor az első megoldáshoz 0-t írj ("nulla"), a második megoldáshoz az adott megoldást!
A hiányzó oldalt jelöljük x-szel! Ekkor a koszinusztételt az alábbi módon írhatjuk fel:
\(130.91^2 = 25^2 + x^2 - 2\cdot 25\cdot x\cos55^\circ\)
Kiszámolva az értékeket (az utolsó tagban számolható a \(-2\cdot 25\cdot \cos 55^\circ\) kifejezés), és rendezve a keletkező másodfokú egyenletet:
\(0 = x^{2}-16512,43x-28,68\)
A másodfokú egyenlet megoldásai: \(x_1 = 16512.4317\) és \(x_2 = -0.0017\).
A negatív eredmény értelemszerűen nem megoldás.
Adott egy háromszög két oldalának hossza: 47.41 és 27, valamint adott a(z) 27 hosszú oldallal szemközti szöge, amely \(33^\circ\).
Határozd meg a háromszög hiányzó oldalának hosszát! A választ kettő tizedes jegyre kerekítve add meg!
Ha több megoldás van, akkor az eredményeket növekvő sorrendben add meg! Ha csak egy megoldás, akkor az első megoldáshoz 0-t írj ("nulla"), a második megoldáshoz az adott megoldást!
A hiányzó oldalt jelöljük x-szel! Ekkor a koszinusztételt az alábbi módon írhatjuk fel:
\(27^2 = 47.41^2 + x^2 - 2\cdot 47.41\cdot x\cos33^\circ\)
Kiszámolva az értékeket (az utolsó tagban számolható a \(-2\cdot 47.41\cdot \cos 33^\circ\) kifejezés), és rendezve a keletkező másodfokú egyenletet:
\(0 = x^{2}+1518,71x-79,52\)
A másodfokú egyenlet megoldásai: \(x_1 = 0.0524\) és \(x_2 = -1518.7624\).
A negatív eredmény értelemszerűen nem megoldás.
Adott egy háromszög két oldalának hossza: 38.67 és 58.53, valamint adott a(z) 58.53 hosszú oldallal szemközti szöge, amely \(142^\circ\).
Határozd meg a háromszög hiányzó oldalának hosszát! A választ kettő tizedes jegyre kerekítve add meg!
Ha több megoldás van, akkor az eredményeket növekvő sorrendben add meg! Ha csak egy megoldás, akkor az első megoldáshoz 0-t írj ("nulla"), a második megoldáshoz az adott megoldást!
A hiányzó oldalt jelöljük x-szel! Ekkor a koszinusztételt az alábbi módon írhatjuk fel:
\(58.53^2 = 38.67^2 + x^2 - 2\cdot 38.67\cdot x\cos142^\circ\)
Kiszámolva az értékeket (az utolsó tagban számolható a \(-2\cdot 38.67\cdot \cos 142^\circ\) kifejezés), és rendezve a keletkező másodfokú egyenletet:
\(0 = x^{2}-1930,39x+60,94\)
A másodfokú egyenlet megoldásai: \(x_1 = 1930.3584\) és \(x_2 = 0.0316\).
Mindkettő eredmény megoldás.
Adott egy háromszög két oldalának hossza: 28.34 és 42.26, valamint adott a(z) 42.26 hosszú oldallal szemközti szöge, amely \(102^\circ\).
Határozd meg a háromszög hiányzó oldalának hosszát! A választ kettő tizedes jegyre kerekítve add meg!
Ha több megoldás van, akkor az eredményeket növekvő sorrendben add meg! Ha csak egy megoldás, akkor az első megoldáshoz 0-t írj ("nulla"), a második megoldáshoz az adott megoldást!
A hiányzó oldalt jelöljük x-szel! Ekkor a koszinusztételt az alábbi módon írhatjuk fel:
\(42.26^2 = 28.34^2 + x^2 - 2\cdot 28.34\cdot x\cos102^\circ\)
Kiszámolva az értékeket (az utolsó tagban számolható a \(-2\cdot 28.34\cdot \cos 102^\circ\) kifejezés), és rendezve a keletkező másodfokú egyenletet:
\(0 = x^{2}-982,75x+11,78\)
A másodfokú egyenlet megoldásai: \(x_1 = 982.738\) és \(x_2 = 0.012\).
Mindkettő eredmény megoldás.
Adott egy háromszög két oldalának hossza: 17.52 és 19.97, valamint adott a(z) 17.52 hosszú oldallal szemközti szöge, amely \(57^\circ\).
Határozd meg a háromszög hiányzó oldalának hosszát! A választ kettő tizedes jegyre kerekítve add meg!
Ha több megoldás van, akkor az eredményeket növekvő sorrendben add meg! Ha csak egy megoldás, akkor az első megoldáshoz 0-t írj ("nulla"), a második megoldáshoz az adott megoldást!
A hiányzó oldalt jelöljük x-szel! Ekkor a koszinusztételt az alábbi módon írhatjuk fel:
\(17.52^2 = 19.97^2 + x^2 - 2\cdot 19.97\cdot x\cos57^\circ\)
Kiszámolva az értékeket (az utolsó tagban számolható a \(-2\cdot 19.97\cdot \cos 57^\circ\) kifejezés), és rendezve a keletkező másodfokú egyenletet:
\(0 = x^{2}+91,85x-21,75\)
A másodfokú egyenlet megoldásai: \(x_1 = 0.2362\) és \(x_2 = -92.0862\).
A negatív eredmény értelemszerűen nem megoldás.
Akkumulátor
Egy robot akkumulátora minden használati ciklus után 8 %-kal csökken. Új korában az akkumulátor kapacitása 3000 kWh (kilowattóra) volt.
Hány használati ciklus után csökken az akkumulátor kapacitása 1410 kWh alá?
Az akkumulátor kapacitásai egy (csökkenő) mértani sorozat tagjai (kWh mértékegységben). Az első tagja az első ciklus előtti (tehát a teljes) kapacitás, a második tagja a második ciklus előtti (tehát egy ciklus utáni) kapacitás, stb.
A sorozat kvóciense:
minden ciklus után az előző kapacitás \(100 - 8 = 92\) százaléka lesz az új kapacitás
azaz az előző kapacitás \(\frac{92}{100} = 0.92\)-szorosa lesz az új kapacitás
Azaz \(q = 0.92\).
A feladat azt kérdezi, hányadik tagja lesz a sorozatnak kevesebb, mint 1410 kWh:
\(a_n < 1410\), vagyis
\(a_1\cdot q^{n-1} < 1410\), behelyettesítve:
\(3000\cdot 0.92^{n-1} < 1410\)
Osztva az egyenlőtlenség mindkét oldalát 3000 értékkel:
\(0.92^{n-1} < 0.47\)
Az egyenlőtlenség mindkét oldalának 0.92 alapú logaritmusát véve:
\(n-1 > 9.05502536932248\)
Azaz \(n > 10.0550253693225\), vagyis az \(a_{11}\)-re lesz igaz először, hogy kisebb, mint 1410. Ne felejtsd, hogy ez a(z) 11. ciklus előtti érték, vagyis 10 ciklus után lesz igaz.
Egy robot akkumulátora minden használati ciklus után 7 %-kal csökken. Új korában az akkumulátor kapacitása 18000 kWh (kilowattóra) volt.
Hány használati ciklus után csökken az akkumulátor kapacitása 6510 kWh alá?
Az akkumulátor kapacitásai egy (csökkenő) mértani sorozat tagjai (kWh mértékegységben). Az első tagja az első ciklus előtti (tehát a teljes) kapacitás, a második tagja a második ciklus előtti (tehát egy ciklus utáni) kapacitás, stb.
A sorozat kvóciense:
minden ciklus után az előző kapacitás \(100 - 7 = 93\) százaléka lesz az új kapacitás
azaz az előző kapacitás \(\frac{93}{100} = 0.93\)-szorosa lesz az új kapacitás
Azaz \(q = 0.93\).
A feladat azt kérdezi, hányadik tagja lesz a sorozatnak kevesebb, mint 6510 kWh:
\(a_n < 6510\), vagyis
\(a_1\cdot q^{n-1} < 6510\), behelyettesítve:
\(18000\cdot 0.93^{n-1} < 6510\)
Osztva az egyenlőtlenség mindkét oldalát 18000 értékkel:
\(0.93^{n-1} < 0.361666666666667\)
Az egyenlőtlenség mindkét oldalának 0.93 alapú logaritmusát véve:
\(n-1 > 14.0143667084778\)
Azaz \(n > 15.0143667084778\), vagyis az \(a_{16}\)-re lesz igaz először, hogy kisebb, mint 6510. Ne felejtsd, hogy ez a(z) 16. ciklus előtti érték, vagyis 15 ciklus után lesz igaz.
Egy robot akkumulátora minden használati ciklus után 16 %-kal csökken. Új korában az akkumulátor kapacitása 18000 kWh (kilowattóra) volt.
Hány használati ciklus után csökken az akkumulátor kapacitása 1310 kWh alá?
Az akkumulátor kapacitásai egy (csökkenő) mértani sorozat tagjai (kWh mértékegységben). Az első tagja az első ciklus előtti (tehát a teljes) kapacitás, a második tagja a második ciklus előtti (tehát egy ciklus utáni) kapacitás, stb.
A sorozat hányadosa:
minden ciklus után az előző kapacitás \(100 - 16 = 84\) százaléka lesz az új kapacitás
azaz az előző kapacitás \(\frac{84}{100} = 0.84\)-szorosa lesz az új kapacitás
Azaz \(q = 0.84\).
A feladat azt kérdezi, hányadik tagja lesz a sorozatnak kevesebb, mint 1310 kWh:
\(a_n < 1310\), vagyis
\(a_1\cdot q^{n-1} < 1310\), behelyettesítve:
\(18000\cdot 0.84^{n-1} < 1310\)
Osztva az egyenlőtlenség mindkét oldalát 18000 értékkel:
\(0.84^{n-1} < 0.0727777777777778\)
Az egyenlőtlenség mindkét oldalának 0.84 alapú logaritmusát véve:
\(n-1 > 15.0289286809625\)
Azaz \(n > 16.0289286809625\), vagyis az \(a_{17}\)-re lesz igaz először, hogy kisebb, mint 1310. Ne felejtsd, hogy ez a(z) 17. ciklus előtti érték, vagyis 16 ciklus után lesz igaz.
Egy robot akkumulátora minden használati ciklus után 16 %-kal csökken. Új korában az akkumulátor kapacitása 15000 kWh (kilowattóra) volt.
Hány használati ciklus után csökken az akkumulátor kapacitása 650 kWh alá?
Az akkumulátor kapacitásai egy (csökkenő) mértani sorozat tagjai (kWh mértékegységben). Az első tagja az első ciklus előtti (tehát a teljes) kapacitás, a második tagja a második ciklus előtti (tehát egy ciklus utáni) kapacitás, stb.
A sorozat kvóciense:
minden ciklus után az előző kapacitás \(100 - 16 = 84\) százaléka lesz az új kapacitás
azaz az előző kapacitás \(\frac{84}{100} = 0.84\)-szorosa lesz az új kapacitás
Azaz \(q = 0.84\).
A feladat azt kérdezi, hányadik tagja lesz a sorozatnak kevesebb, mint 650 kWh:
\(a_n < 650\), vagyis
\(a_1\cdot q^{n-1} < 650\), behelyettesítve:
\(15000\cdot 0.84^{n-1} < 650\)
Osztva az egyenlőtlenség mindkét oldalát 15000 értékkel:
\(0.84^{n-1} < 0.0433333333333333\)
Az egyenlőtlenség mindkét oldalának 0.84 alapú logaritmusát véve:
\(n-1 > 18.0027079977992\)
Azaz \(n > 19.0027079977992\), vagyis az \(a_{20}\)-re lesz igaz először, hogy kisebb, mint 650. Ne felejtsd, hogy ez a(z) 20. ciklus előtti érték, vagyis 19 ciklus után lesz igaz.
Egy robot akkumulátora minden használati ciklus után 20 %-kal csökken. Új korában az akkumulátor kapacitása 20000 kWh (kilowattóra) volt.
Hány használati ciklus után csökken az akkumulátor kapacitása 360 kWh alá?
Az akkumulátor kapacitásai egy (csökkenő) mértani sorozat tagjai (kWh mértékegységben). Az első tagja az első ciklus előtti (tehát a teljes) kapacitás, a második tagja a második ciklus előtti (tehát egy ciklus utáni) kapacitás, stb.
A sorozat hányadosa:
minden ciklus után az előző kapacitás \(100 - 20 = 80\) százaléka lesz az új kapacitás
azaz az előző kapacitás \(\frac{80}{100} = 0.8\)-szorosa lesz az új kapacitás
Azaz \(q = 0.8\).
A feladat azt kérdezi, hányadik tagja lesz a sorozatnak kevesebb, mint 360 kWh:
\(a_n < 360\), vagyis
\(a_1\cdot q^{n-1} < 360\), behelyettesítve:
\(20000\cdot 0.8^{n-1} < 360\)
Osztva az egyenlőtlenség mindkét oldalát 20000 értékkel:
\(0.8^{n-1} < 0.018\)
Az egyenlőtlenség mindkét oldalának 0.8 alapú logaritmusát véve:
\(n-1 > 18.0035833320098\)
Azaz \(n > 19.0035833320098\), vagyis az \(a_{20}\)-re lesz igaz először, hogy kisebb, mint 360. Ne felejtsd, hogy ez a(z) 20. ciklus előtti érték, vagyis 19 ciklus után lesz igaz.
Koordinátageometria
Határozd meg annak az egyenesnek az egyenletét, amelynek meredeksége 7, valamint áthalad az \(A(20;18)\) ponton!
A választ \(y = mx + b\) alakban keressük, az \(m\) és a \(b\) értékeit kell meghatározni!
\(m =\)
\(b =\)
Az egyenes általános egyenlete: \(y = mx + b\), az ismert meredekség értékét behelyettesítve: \(y = 7x + b\).
Mivel az \(A\) pont rajta van az egyenesen, a koordinátái az egyenes egyenletét igazzá teszik, azaz: \(18 = 7\cdot 20 + b\).
Ebből az egyenletből a \(b\) értéke kifejezhető: \(b = -122\).
Határozd meg annak az egyenesnek az egyenletét, amelynek meredeksége 4, valamint áthalad az \(A(-6;-4)\) ponton!
A választ \(y = mx + b\) alakban keressük, az \(m\) és a \(b\) értékeit kell meghatározni!
\(m =\)
\(b =\)
Az egyenes általános egyenlete: \(y = mx + b\), az ismert meredekség értékét behelyettesítve: \(y = 4x + b\).
Mivel az \(A\) pont rajta van az egyenesen, a koordinátái az egyenes egyenletét igazzá teszik, azaz: \(-4 = 4\cdot -6 + b\).
Ebből az egyenletből a \(b\) értéke kifejezhető: \(b = 20\).
Határozd meg annak az egyenesnek az egyenletét, amelynek meredeksége -9, valamint áthalad az \(A(-6;-8)\) ponton!
A választ \(y = mx + b\) alakban keressük, az \(m\) és a \(b\) értékeit kell meghatározni!
\(m =\)
\(b =\)
Az egyenes általános egyenlete: \(y = mx + b\), az ismert meredekség értékét behelyettesítve: \(y = -9x + b\).
Mivel az \(A\) pont rajta van az egyenesen, a koordinátái az egyenes egyenletét igazzá teszik, azaz: \(-8 = -9\cdot -6 + b\).
Ebből az egyenletből a \(b\) értéke kifejezhető: \(b = -62\).
Határozd meg annak az egyenesnek az egyenletét, amelynek meredeksége -6, valamint áthalad az \(A(-19;-1)\) ponton!
A választ \(y = mx + b\) alakban keressük, az \(m\) és a \(b\) értékeit kell meghatározni!
\(m =\)
\(b =\)
Az egyenes általános egyenlete: \(y = mx + b\), az ismert meredekség értékét behelyettesítve: \(y = -6x + b\).
Mivel az \(A\) pont rajta van az egyenesen, a koordinátái az egyenes egyenletét igazzá teszik, azaz: \(-1 = -6\cdot -19 + b\).
Ebből az egyenletből a \(b\) értéke kifejezhető: \(b = -115\).
Határozd meg annak az egyenesnek az egyenletét, amelynek meredeksége 6, valamint áthalad az \(A(-18;-10)\) ponton!
A választ \(y = mx + b\) alakban keressük, az \(m\) és a \(b\) értékeit kell meghatározni!
\(m =\)
\(b =\)
Az egyenes általános egyenlete: \(y = mx + b\), az ismert meredekség értékét behelyettesítve: \(y = 6x + b\).
Mivel az \(A\) pont rajta van az egyenesen, a koordinátái az egyenes egyenletét igazzá teszik, azaz: \(-10 = 6\cdot -18 + b\).
Ebből az egyenletből a \(b\) értéke kifejezhető: \(b = 98\).