Kihívás - harmadik alkalom
Értelmezési tartomány
Adott az ábra szerinti függvény.
Határozd meg, hogy mely elemek tartoznak a függvény értelmezési tartományába!
Egy függvény értelmezési tartománya azon elemek halmaza (az alaphalmazból), amihez hozzárendeltünk valamit (de csak egyet, különben nem lenne függvény).
Az ábra szerint a bal oldali halmazból kell azokat megkereseni, amelyekhez hozzárendeltünk valamit, vagyis azokat az elemeket, amelyekből indul ki nyíl.
Adott az ábra szerinti függvény.
Határozd meg, hogy mely elemek tartoznak a függvény értelmezési tartományába!
Egy függvény értelmezési tartománya azon elemek halmaza (az alaphalmazból), amihez hozzárendeltünk valamit (de csak egyet, különben nem lenne függvény).
Az ábra szerint a bal oldali halmazból kell azokat megkereseni, amelyekhez hozzárendeltünk valamit, vagyis azokat az elemeket, amelyekből indul ki nyíl.
Adott az ábra szerinti függvény.
Határozd meg, hogy mely elemek tartoznak a függvény értelmezési tartományába!
Egy függvény értelmezési tartománya azon elemek halmaza (az alaphalmazból), amihez hozzárendeltünk valamit (de csak egyet, különben nem lenne függvény).
Az ábra szerint a bal oldali halmazból kell azokat megkereseni, amelyekhez hozzárendeltünk valamit, vagyis azokat az elemeket, amelyekből indul ki nyíl.
Adott az ábra szerinti függvény.
Határozd meg, hogy mely elemek tartoznak a függvény értelmezési tartományába!
Egy függvény értelmezési tartománya azon elemek halmaza (az alaphalmazból), amihez hozzárendeltünk valamit (de csak egyet, különben nem lenne függvény).
Az ábra szerint a bal oldali halmazból kell azokat megkereseni, amelyekhez hozzárendeltünk valamit, vagyis azokat az elemeket, amelyekből indul ki nyíl.
Adott az ábra szerinti függvény.
Határozd meg, hogy mely elemek tartoznak a függvény értelmezési tartományába!
Egy függvény értelmezési tartománya azon elemek halmaza (az alaphalmazból), amihez hozzárendeltünk valamit (de csak egyet, különben nem lenne függvény).
Az ábra szerint a bal oldali halmazból kell azokat megkereseni, amelyekhez hozzárendeltünk valamit, vagyis azokat az elemeket, amelyekből indul ki nyíl.
Adott az ábra szerinti függvény.
Határozd meg, hogy mely elemek tartoznak a függvény értelmezési tartományába!
Egy függvény értelmezési tartománya azon elemek halmaza (az alaphalmazból), amihez hozzárendeltünk valamit (de csak egyet, különben nem lenne függvény).
Az ábra szerint a bal oldali halmazból kell azokat megkereseni, amelyekhez hozzárendeltünk valamit, vagyis azokat az elemeket, amelyekből indul ki nyíl.
Adott az ábra szerinti függvény.
Határozd meg, hogy mely elemek tartoznak a függvény értelmezési tartományába!
Egy függvény értelmezési tartománya azon elemek halmaza (az alaphalmazból), amihez hozzárendeltünk valamit (de csak egyet, különben nem lenne függvény).
Az ábra szerint a bal oldali halmazból kell azokat megkereseni, amelyekhez hozzárendeltünk valamit, vagyis azokat az elemeket, amelyekből indul ki nyíl.
Adott az ábra szerinti függvény.
Határozd meg, hogy mely elemek tartoznak a függvény értelmezési tartományába!
Egy függvény értelmezési tartománya azon elemek halmaza (az alaphalmazból), amihez hozzárendeltünk valamit (de csak egyet, különben nem lenne függvény).
Az ábra szerint a bal oldali halmazból kell azokat megkereseni, amelyekhez hozzárendeltünk valamit, vagyis azokat az elemeket, amelyekből indul ki nyíl.
Lineáris függvény
Keressük az \(f(x)\) lineáris függvényt \(f(x) = m\cdot x + b\) alakban. Tudjuk, hogy \(f(-12) = -14\) és \(f(3) = 1\).
Határozd meg az \(m\) és a \(b\) értékét!
\(m=\); \(b=\).
Ábrázoljuk azokat az értékeket, amikhez tudjuk, hogy mennyit rendelünk, valamint értelemszerűen a hozzárendelt értéket is, és ezt a két pontot kössük össze, ez lesz majd a keresett függvény képe (egyenes).
Az ábráról is leolvasható, hogy a háromszög vízszintes oldala a kettő \(x\) koordináta különbsége, azaz 15, a függőleges oldala pedig a két \(f(x)\) (azaz \(y\)) különbsége: 15.
A függőleges és a vízszintes hányadosa lesz a meredekség: \(m = \frac{15}{15} = 1\). (A meredekség azt mutatja, ha a függvény bármelyik pontjából egyet megyek jobbra, akkor mennyit kell felfelé menni, hogy a függvényre kerüljünk vissza.)
Azaz az \(f(x) = mx + b\) hozzárendelési szabályból ennyit már tudunk: \(f(x) = 1x + b\), azaz már csak a \(b\) értéke a kérdés.
Tudjuk, hogy -12 számhoz -14 számot rendelünk (előbbi az \(x\), utóbbi az \(f(x)\)), ezt beírva a félig már ismert \(f(x) = 1x + b\) hozzárendelési szabályba: \(-14 = 1\cdot -12 + b\). Ez lényegében egy egyenlet, amelyből a \(b\) meghatározható: \(b=-2\). Természetesen a másik hozzárendeléssel is meg lehet csinálni, és akkor is ugyanaz a \(b\) érték jön ki (érdemes is ellenőrzésképpen).
Azaz a keresett függvény \(f(x) = 1x -2\).
Keressük az \(f(x)\) lineáris függvényt \(f(x) = m\cdot x + b\) alakban. Tudjuk, hogy \(f(-1) = -1\) és \(f(2) = 11\).
Határozd meg az \(m\) és a \(b\) értékét!
\(m=\); \(b=\).
Ábrázoljuk azokat az értékeket, amikhez tudjuk, hogy mennyit rendelünk, valamint értelemszerűen a hozzárendelt értéket is, és ezt a két pontot kössük össze, ez lesz majd a keresett függvény képe (egyenes).
Az ábráról is leolvasható, hogy a háromszög vízszintes oldala a kettő \(x\) koordináta különbsége, azaz 3, a függőleges oldala pedig a két \(f(x)\) (azaz \(y\)) különbsége: 12.
A függőleges és a vízszintes hányadosa lesz a meredekség: \(m = \frac{12}{3} = 4\). (A meredekség azt mutatja, ha a függvény bármelyik pontjából egyet megyek jobbra, akkor mennyit kell felfelé menni, hogy a függvényre kerüljünk vissza.)
Azaz az \(f(x) = mx + b\) hozzárendelési szabályból ennyit már tudunk: \(f(x) = 4x + b\), azaz már csak a \(b\) értéke a kérdés.
Tudjuk, hogy -1 számhoz -1 számot rendelünk (előbbi az \(x\), utóbbi az \(f(x)\)), ezt beírva a félig már ismert \(f(x) = 4x + b\) hozzárendelési szabályba: \(-1 = 4\cdot -1 + b\). Ez lényegében egy egyenlet, amelyből a \(b\) meghatározható: \(b=3\). Természetesen a másik hozzárendeléssel is meg lehet csinálni, és akkor is ugyanaz a \(b\) érték jön ki (érdemes is ellenőrzésképpen).
Azaz a keresett függvény \(f(x) = 4x + 3\).
Keressük az \(f(x)\) lineáris függvényt \(f(x) = m\cdot x + b\) alakban. Tudjuk, hogy \(f(-3) = -9\) és \(f(4) = 19\).
Határozd meg az \(m\) és a \(b\) értékét!
\(m=\); \(b=\).
Ábrázoljuk azokat az értékeket, amikhez tudjuk, hogy mennyit rendelünk, valamint értelemszerűen a hozzárendelt értéket is, és ezt a két pontot kössük össze, ez lesz majd a keresett függvény képe (egyenes).
Az ábráról is leolvasható, hogy a háromszög vízszintes oldala a kettő \(x\) koordináta különbsége, azaz 7, a függőleges oldala pedig a két \(f(x)\) (azaz \(y\)) különbsége: 28.
A függőleges és a vízszintes hányadosa lesz a meredekség: \(m = \frac{28}{7} = 4\). (A meredekség azt mutatja, ha a függvény bármelyik pontjából egyet megyek jobbra, akkor mennyit kell felfelé menni, hogy a függvényre kerüljünk vissza.)
Azaz az \(f(x) = mx + b\) hozzárendelési szabályból ennyit már tudunk: \(f(x) = 4x + b\), azaz már csak a \(b\) értéke a kérdés.
Tudjuk, hogy -3 számhoz -9 számot rendelünk (előbbi az \(x\), utóbbi az \(f(x)\)), ezt beírva a félig már ismert \(f(x) = 4x + b\) hozzárendelési szabályba: \(-9 = 4\cdot -3 + b\). Ez lényegében egy egyenlet, amelyből a \(b\) meghatározható: \(b=3\). Természetesen a másik hozzárendeléssel is meg lehet csinálni, és akkor is ugyanaz a \(b\) érték jön ki (érdemes is ellenőrzésképpen).
Azaz a keresett függvény \(f(x) = 4x + 3\).
Keressük az \(f(x)\) lineáris függvényt \(f(x) = m\cdot x + b\) alakban. Tudjuk, hogy \(f(-4) = 13\) és \(f(3) = -8\).
Határozd meg az \(m\) és a \(b\) értékét!
\(m=\); \(b=\).
Ábrázoljuk azokat az értékeket, amikhez tudjuk, hogy mennyit rendelünk, valamint értelemszerűen a hozzárendelt értéket is, és ezt a két pontot kössük össze, ez lesz majd a keresett függvény képe (egyenes).
Az ábráról is leolvasható, hogy a háromszög vízszintes oldala a kettő \(x\) koordináta különbsége, azaz 7, a függőleges oldala pedig a két \(f(x)\) (azaz \(y\)) különbsége: -21.
A függőleges és a vízszintes hányadosa lesz a meredekség: \(m = \frac{-21}{7} = -3\). (A meredekség azt mutatja, ha a függvény bármelyik pontjából egyet megyek jobbra, akkor mennyit kell felfelé menni, hogy a függvényre kerüljünk vissza.)
Azaz az \(f(x) = mx + b\) hozzárendelési szabályból ennyit már tudunk: \(f(x) = -3x + b\), azaz már csak a \(b\) értéke a kérdés.
Tudjuk, hogy -4 számhoz 13 számot rendelünk (előbbi az \(x\), utóbbi az \(f(x)\)), ezt beírva a félig már ismert \(f(x) = -3x + b\) hozzárendelési szabályba: \(13 = -3\cdot -4 + b\). Ez lényegében egy egyenlet, amelyből a \(b\) meghatározható: \(b=1\). Természetesen a másik hozzárendeléssel is meg lehet csinálni, és akkor is ugyanaz a \(b\) érték jön ki (érdemes is ellenőrzésképpen).
Azaz a keresett függvény \(f(x) = -3x + 1\).
Keressük az \(f(x)\) lineáris függvényt \(f(x) = m\cdot x + b\) alakban. Tudjuk, hogy \(f(-13) = -10\) és \(f(12) = 15\).
Határozd meg az \(m\) és a \(b\) értékét!
\(m=\); \(b=\).
Ábrázoljuk azokat az értékeket, amikhez tudjuk, hogy mennyit rendelünk, valamint értelemszerűen a hozzárendelt értéket is, és ezt a két pontot kössük össze, ez lesz majd a keresett függvény képe (egyenes).
Az ábráról is leolvasható, hogy a háromszög vízszintes oldala a kettő \(x\) koordináta különbsége, azaz 25, a függőleges oldala pedig a két \(f(x)\) (azaz \(y\)) különbsége: 25.
A függőleges és a vízszintes hányadosa lesz a meredekség: \(m = \frac{25}{25} = 1\). (A meredekség azt mutatja, ha a függvény bármelyik pontjából egyet megyek jobbra, akkor mennyit kell felfelé menni, hogy a függvényre kerüljünk vissza.)
Azaz az \(f(x) = mx + b\) hozzárendelési szabályból ennyit már tudunk: \(f(x) = 1x + b\), azaz már csak a \(b\) értéke a kérdés.
Tudjuk, hogy -13 számhoz -10 számot rendelünk (előbbi az \(x\), utóbbi az \(f(x)\)), ezt beírva a félig már ismert \(f(x) = 1x + b\) hozzárendelési szabályba: \(-10 = 1\cdot -13 + b\). Ez lényegében egy egyenlet, amelyből a \(b\) meghatározható: \(b=3\). Természetesen a másik hozzárendeléssel is meg lehet csinálni, és akkor is ugyanaz a \(b\) érték jön ki (érdemes is ellenőrzésképpen).
Azaz a keresett függvény \(f(x) = 1x + 3\).
Keressük az \(f(x)\) lineáris függvényt \(f(x) = m\cdot x + b\) alakban. Tudjuk, hogy \(f(-12) = -17\) és \(f(15) = 10\).
Határozd meg az \(m\) és a \(b\) értékét!
\(m=\); \(b=\).
Ábrázoljuk azokat az értékeket, amikhez tudjuk, hogy mennyit rendelünk, valamint értelemszerűen a hozzárendelt értéket is, és ezt a két pontot kössük össze, ez lesz majd a keresett függvény képe (egyenes).
Az ábráról is leolvasható, hogy a háromszög vízszintes oldala a kettő \(x\) koordináta különbsége, azaz 27, a függőleges oldala pedig a két \(f(x)\) (azaz \(y\)) különbsége: 27.
A függőleges és a vízszintes hányadosa lesz a meredekség: \(m = \frac{27}{27} = 1\). (A meredekség azt mutatja, ha a függvény bármelyik pontjából egyet megyek jobbra, akkor mennyit kell felfelé menni, hogy a függvényre kerüljünk vissza.)
Azaz az \(f(x) = mx + b\) hozzárendelési szabályból ennyit már tudunk: \(f(x) = 1x + b\), azaz már csak a \(b\) értéke a kérdés.
Tudjuk, hogy -12 számhoz -17 számot rendelünk (előbbi az \(x\), utóbbi az \(f(x)\)), ezt beírva a félig már ismert \(f(x) = 1x + b\) hozzárendelési szabályba: \(-17 = 1\cdot -12 + b\). Ez lényegében egy egyenlet, amelyből a \(b\) meghatározható: \(b=-5\). Természetesen a másik hozzárendeléssel is meg lehet csinálni, és akkor is ugyanaz a \(b\) érték jön ki (érdemes is ellenőrzésképpen).
Azaz a keresett függvény \(f(x) = 1x -5\).
Keressük az \(f(x)\) lineáris függvényt \(f(x) = m\cdot x + b\) alakban. Tudjuk, hogy \(f(5) = 2\) és \(f(10) = 7\).
Határozd meg az \(m\) és a \(b\) értékét!
\(m=\); \(b=\).
Ábrázoljuk azokat az értékeket, amikhez tudjuk, hogy mennyit rendelünk, valamint értelemszerűen a hozzárendelt értéket is, és ezt a két pontot kössük össze, ez lesz majd a keresett függvény képe (egyenes).
Az ábráról is leolvasható, hogy a háromszög vízszintes oldala a kettő \(x\) koordináta különbsége, azaz 5, a függőleges oldala pedig a két \(f(x)\) (azaz \(y\)) különbsége: 5.
A függőleges és a vízszintes hányadosa lesz a meredekség: \(m = \frac{5}{5} = 1\). (A meredekség azt mutatja, ha a függvény bármelyik pontjából egyet megyek jobbra, akkor mennyit kell felfelé menni, hogy a függvényre kerüljünk vissza.)
Azaz az \(f(x) = mx + b\) hozzárendelési szabályból ennyit már tudunk: \(f(x) = 1x + b\), azaz már csak a \(b\) értéke a kérdés.
Tudjuk, hogy 5 számhoz 2 számot rendelünk (előbbi az \(x\), utóbbi az \(f(x)\)), ezt beírva a félig már ismert \(f(x) = 1x + b\) hozzárendelési szabályba: \(2 = 1\cdot 5 + b\). Ez lényegében egy egyenlet, amelyből a \(b\) meghatározható: \(b=-3\). Természetesen a másik hozzárendeléssel is meg lehet csinálni, és akkor is ugyanaz a \(b\) érték jön ki (érdemes is ellenőrzésképpen).
Azaz a keresett függvény \(f(x) = 1x -3\).
Keressük az \(f(x)\) lineáris függvényt \(f(x) = m\cdot x + b\) alakban. Tudjuk, hogy \(f(-2) = 12\) és \(f(3) = -8\).
Határozd meg az \(m\) és a \(b\) értékét!
\(m=\); \(b=\).
Ábrázoljuk azokat az értékeket, amikhez tudjuk, hogy mennyit rendelünk, valamint értelemszerűen a hozzárendelt értéket is, és ezt a két pontot kössük össze, ez lesz majd a keresett függvény képe (egyenes).
Az ábráról is leolvasható, hogy a háromszög vízszintes oldala a kettő \(x\) koordináta különbsége, azaz 5, a függőleges oldala pedig a két \(f(x)\) (azaz \(y\)) különbsége: -20.
A függőleges és a vízszintes hányadosa lesz a meredekség: \(m = \frac{-20}{5} = -4\). (A meredekség azt mutatja, ha a függvény bármelyik pontjából egyet megyek jobbra, akkor mennyit kell felfelé menni, hogy a függvényre kerüljünk vissza.)
Azaz az \(f(x) = mx + b\) hozzárendelési szabályból ennyit már tudunk: \(f(x) = -4x + b\), azaz már csak a \(b\) értéke a kérdés.
Tudjuk, hogy -2 számhoz 12 számot rendelünk (előbbi az \(x\), utóbbi az \(f(x)\)), ezt beírva a félig már ismert \(f(x) = -4x + b\) hozzárendelési szabályba: \(12 = -4\cdot -2 + b\). Ez lényegében egy egyenlet, amelyből a \(b\) meghatározható: \(b=4\). Természetesen a másik hozzárendeléssel is meg lehet csinálni, és akkor is ugyanaz a \(b\) érték jön ki (érdemes is ellenőrzésképpen).
Azaz a keresett függvény \(f(x) = -4x + 4\).
Valószínűség
Egy zsákban különböző színű golyók vannak: 7 darab ibolya, 9 darab sárga, 10 darab vörös, 13 darab zöld, 11 darab narancs. Véletlenszerűen kiválasztunk egy golyót.
Mennyi a valószínűsége, hogy a kiválasztott golyó ibolya vagy sárga színű?
Válaszodat három tizedes jegyre kerekítve add meg!
A valószínűséget \(P = \frac{\text{kedvező esetek száma}}{\text{összes esetek száma}}\) módon számolhatjuk.
Összesen \(7+9+10+13+11 = 50\) golyó van, ebből 7 golyó ibolya illetve 9 golyó sárga, azaz a kedvező esetek száma ezek összege, vagyis \(7+9 = 16\).
Tehát a valószínűség: \(\frac{16}{50}\).
Egy zsákban különböző színű golyók vannak: 8 darab zöld, 15 darab kék, 15 darab narancs. Véletlenszerűen kiválasztunk egy golyót.
Mennyi a valószínűsége, hogy a kiválasztott golyó zöld vagy kék színű?
Válaszodat három tizedes jegyre kerekítve add meg!
A valószínűséget \(P = \frac{\text{kedvező esetek száma}}{\text{összes esetek száma}}\) módon számolhatjuk.
Összesen \(8+15+15 = 38\) golyó van, ebből 8 golyó zöld illetve 15 golyó kék, azaz a kedvező esetek száma ezek összege, vagyis \(8+15 = 23\).
Tehát a valószínűség: \(\frac{23}{38}\).
Egy zsákban különböző színű golyók vannak: 15 darab vörös, 12 darab narancs, 10 darab kék, 9 darab zöld, 14 darab ibolya, 8 darab sárga. Véletlenszerűen kiválasztunk egy golyót.
Mennyi a valószínűsége, hogy a kiválasztott golyó sárga vagy zöld színű?
Válaszodat három tizedes jegyre kerekítve add meg!
A valószínűséget \(P = \frac{\text{kedvező esetek száma}}{\text{összes esetek száma}}\) módon számolhatjuk.
Összesen \(15+12+10+9+14+8 = 68\) golyó van, ebből 8 golyó sárga illetve 9 golyó zöld, azaz a kedvező esetek száma ezek összege, vagyis \(8+9 = 17\).
Tehát a valószínűség: \(\frac{17}{68}\).
Egy zsákban különböző színű golyók vannak: 13 darab sárga, 8 darab kék, 12 darab narancs, 11 darab ibolya, 9 darab vörös, 12 darab zöld. Véletlenszerűen kiválasztunk egy golyót.
Mennyi a valószínűsége, hogy a kiválasztott golyó narancs vagy sárga színű?
Válaszodat három tizedes jegyre kerekítve add meg!
A valószínűséget \(P = \frac{\text{kedvező esetek száma}}{\text{összes esetek száma}}\) módon számolhatjuk.
Összesen \(13+8+12+11+9+12 = 65\) golyó van, ebből 12 golyó narancs illetve 13 golyó sárga, azaz a kedvező esetek száma ezek összege, vagyis \(12+13 = 25\).
Tehát a valószínűség: \(\frac{25}{65}\).
Egy zsákban különböző színű golyók vannak: 7 darab kék, 11 darab ibolya, 13 darab vörös, 12 darab zöld, 8 darab sárga. Véletlenszerűen kiválasztunk egy golyót.
Mennyi a valószínűsége, hogy a kiválasztott golyó kék vagy vörös színű?
Válaszodat három tizedes jegyre kerekítve add meg!
A valószínűséget \(P = \frac{\text{kedvező esetek száma}}{\text{összes esetek száma}}\) módon számolhatjuk.
Összesen \(7+11+13+12+8 = 51\) golyó van, ebből 7 golyó kék illetve 13 golyó vörös, azaz a kedvező esetek száma ezek összege, vagyis \(7+13 = 20\).
Tehát a valószínűség: \(\frac{20}{51}\).
Gyökös egyenlet
Oldd meg az alábbi négyzetgyökös egyenletet!
\[\sqrt{-75x+1150}=3x+4\]
A megoldásokat növekvő sorrendben add meg! Ha nincs kettő megoldás, akkor először a megoldást írd be (ha van), a másik mezőbe (mezőket) pedig egy kötőjelet (-) írj!
| \(x_1=\) | |
| \(x_2=\) |
Mindkét oldalt négyzetre emeljük: \(-75x+1150 = (3x+4)^2\)
A jobb oldalon egy nevezetes azonosság szerepel, azaz az \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) segítségével emelünk négyzetre:
\(-75x+1150 = 9x^{2}+24x+16\)
Észrevesszük, hogy ez egy másodfokú egyenlet (van benne \(x^2\)), amelyet nullára kell redukálni: \(0 = 9x^{2}+99x-1134\)
Megoldva az egyenletet, a két gyök: 7 és -18.
Ezeket még ellenőrizve az eredeti egyenletbe, kapjuk a megoldásokat.
Oldd meg az alábbi négyzetgyökös egyenletet!
\[\sqrt{-25x+96}=x-10\]
A megoldásokat növekvő sorrendben add meg! Ha nincs kettő megoldás, akkor először a megoldást írd be (ha van), a másik mezőbe (mezőket) pedig egy kötőjelet (-) írj!
| \(x_1=\) | |
| \(x_2=\) |
Mindkét oldalt négyzetre emeljük: \(-25x+96 = (x-10)^2\)
A jobb oldalon egy nevezetes azonosság szerepel, azaz az \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) segítségével emelünk négyzetre:
\(-25x+96 = x^{2}-20x+100\)
Észrevesszük, hogy ez egy másodfokú egyenlet (van benne \(x^2\)), amelyet nullára kell redukálni: \(0 = x^{2}+5x+4\)
Megoldva az egyenletet, a két gyök: -4 és -1.
Ezeket még ellenőrizve az eredeti egyenletbe, kapjuk a megoldásokat.
Oldd meg az alábbi négyzetgyökös egyenletet!
\[\sqrt{18x+127}=x+8\]
A megoldásokat növekvő sorrendben add meg! Ha nincs kettő megoldás, akkor először a megoldást írd be (ha van), a másik mezőbe (mezőket) pedig egy kötőjelet (-) írj!
| \(x_1=\) | |
| \(x_2=\) |
Mindkét oldalt négyzetre emeljük: \(18x+127 = (x+8)^2\)
A jobb oldalon egy nevezetes azonosság szerepel, azaz az \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) segítségével emelünk négyzetre:
\(18x+127 = x^{2}+16x+64\)
Észrevesszük, hogy ez egy másodfokú egyenlet (van benne \(x^2\)), amelyet nullára kell redukálni: \(0 = x^{2}-2x-63\)
Megoldva az egyenletet, a két gyök: -7 és 9.
Ezeket még ellenőrizve az eredeti egyenletbe, kapjuk a megoldásokat.
Oldd meg az alábbi négyzetgyökös egyenletet!
\[\sqrt{300x-575}=5x+5\]
A megoldásokat növekvő sorrendben add meg! Ha nincs kettő megoldás, akkor először a megoldást írd be (ha van), a másik mezőbe (mezőket) pedig egy kötőjelet (-) írj!
| \(x_1=\) | |
| \(x_2=\) |
Mindkét oldalt négyzetre emeljük: \(300x-575 = (5x+5)^2\)
A jobb oldalon egy nevezetes azonosság szerepel, azaz az \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) segítségével emelünk négyzetre:
\(300x-575 = 25x^{2}+50x+25\)
Észrevesszük, hogy ez egy másodfokú egyenlet (van benne \(x^2\)), amelyet nullára kell redukálni: \(0 = 25x^{2}-250x+600\)
Megoldva az egyenletet, a két gyök: 4 és 6.
Ezeket még ellenőrizve az eredeti egyenletbe, kapjuk a megoldásokat.
Oldd meg az alábbi négyzetgyökös egyenletet!
\[\sqrt{-40x+281}=2x+3\]
A megoldásokat növekvő sorrendben add meg! Ha nincs kettő megoldás, akkor először a megoldást írd be (ha van), a másik mezőbe (mezőket) pedig egy kötőjelet (-) írj!
| \(x_1=\) | |
| \(x_2=\) |
Mindkét oldalt négyzetre emeljük: \(-40x+281 = (2x+3)^2\)
A jobb oldalon egy nevezetes azonosság szerepel, azaz az \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) segítségével emelünk négyzetre:
\(-40x+281 = 4x^{2}+12x+9\)
Észrevesszük, hogy ez egy másodfokú egyenlet (van benne \(x^2\)), amelyet nullára kell redukálni: \(0 = 4x^{2}+52x-272\)
Megoldva az egyenletet, a két gyök: 4 és -17.
Ezeket még ellenőrizve az eredeti egyenletbe, kapjuk a megoldásokat.
Számrendszer
Váltsd át a(z) \(3655\) tizes számrendszerbeli számot \(5\) alapú számrendszerbe!
A maradékos osztásokat végezzük el egymás után:
\(3655 : 5 = 731\), a maradék 0
\(731 : 5 = 146\), a maradék 1
\(146 : 5 = 29\), a maradék 1
\(29 : 5 = 5\), a maradék 4
\(5 : 5 = 1\), a maradék 0
\(1 : 5 = 0\), a maradék 1
A maradékokat visszafele összeolvasva kapjuk az eredményt.
Váltsd át a(z) \(19958\) tizes számrendszerbeli számot \(6\) alapú számrendszerbe!
A maradékos osztásokat végezzük el egymás után:
\(19958 : 6 = 3326\), a maradék 2
\(3326 : 6 = 554\), a maradék 2
\(554 : 6 = 92\), a maradék 2
\(92 : 6 = 15\), a maradék 2
\(15 : 6 = 2\), a maradék 3
\(2 : 6 = 0\), a maradék 2
A maradékokat visszafele összeolvasva kapjuk az eredményt.
Váltsd át a(z) \(474\) tizes számrendszerbeli számot \(5\) alapú számrendszerbe!
A maradékos osztásokat végezzük el egymás után:
\(474 : 5 = 94\), a maradék 4
\(94 : 5 = 18\), a maradék 4
\(18 : 5 = 3\), a maradék 3
\(3 : 5 = 0\), a maradék 3
A maradékokat visszafele összeolvasva kapjuk az eredményt.
Váltsd át a(z) \(139\) tizes számrendszerbeli számot \(3\) alapú számrendszerbe!
A maradékos osztásokat végezzük el egymás után:
\(139 : 3 = 46\), a maradék 1
\(46 : 3 = 15\), a maradék 1
\(15 : 3 = 5\), a maradék 0
\(5 : 3 = 1\), a maradék 2
\(1 : 3 = 0\), a maradék 1
A maradékokat visszafele összeolvasva kapjuk az eredményt.
Váltsd át a(z) \(1988\) tizes számrendszerbeli számot \(5\) alapú számrendszerbe!
A maradékos osztásokat végezzük el egymás után:
\(1988 : 5 = 397\), a maradék 3
\(397 : 5 = 79\), a maradék 2
\(79 : 5 = 15\), a maradék 4
\(15 : 5 = 3\), a maradék 0
\(3 : 5 = 0\), a maradék 3
A maradékokat visszafele összeolvasva kapjuk az eredményt.
Váltsd át a(z) \(203523\) tizes számrendszerbeli számot \(8\) alapú számrendszerbe!
A maradékos osztásokat végezzük el egymás után:
\(203523 : 8 = 25440\), a maradék 3
\(25440 : 8 = 3180\), a maradék 0
\(3180 : 8 = 397\), a maradék 4
\(397 : 8 = 49\), a maradék 5
\(49 : 8 = 6\), a maradék 1
\(6 : 8 = 0\), a maradék 6
A maradékokat visszafele összeolvasva kapjuk az eredményt.
Trigonometria
Adott egy háromszög két oldalának hossza: 10 és 71.58, valamint adott a(z) 71.58 hosszú oldallal szemközti szöge, amely \(22^\circ\).
Határozd meg a háromszög hiányzó oldalának hosszát! A választ kettő tizedes jegyre kerekítve add meg!
Ha több megoldás van, akkor az eredményeket növekvő sorrendben add meg! Ha csak egy megoldás, akkor az első megoldáshoz 0-t írj ("nulla"), a második megoldáshoz az adott megoldást!
A hiányzó oldalt jelöljük x-szel! Ekkor a koszinusztételt az alábbi módon írhatjuk fel:
\(71.58^2 = 10^2 + x^2 - 2\cdot 10\cdot x\cos22^\circ\)
Kiszámolva az értékeket (az utolsó tagban számolható a \(-2\cdot 10\cdot \cos 22^\circ\) kifejezés), és rendezve a keletkező másodfokú egyenletet:
\(0 = x^{2}-5023,7x-18,54\)
A másodfokú egyenlet megoldásai: \(x_1 = 5023.7037\) és \(x_2 = -0.0037\).
A negatív eredmény értelemszerűen nem megoldás.
Adott egy háromszög két oldalának hossza: 13.44 és 17.33, valamint adott a(z) 13.44 hosszú oldallal szemközti szöge, amely \(46^\circ\).
Határozd meg a háromszög hiányzó oldalának hosszát! A választ kettő tizedes jegyre kerekítve add meg!
Ha több megoldás van, akkor az eredményeket növekvő sorrendben add meg! Ha csak egy megoldás, akkor az első megoldáshoz 0-t írj ("nulla"), a második megoldáshoz az adott megoldást!
A hiányzó oldalt jelöljük x-szel! Ekkor a koszinusztételt az alábbi módon írhatjuk fel:
\(13.44^2 = 17.33^2 + x^2 - 2\cdot 17.33\cdot x\cos46^\circ\)
Kiszámolva az értékeket (az utolsó tagban számolható a \(-2\cdot 17.33\cdot \cos 46^\circ\) kifejezés), és rendezve a keletkező másodfokú egyenletet:
\(0 = x^{2}+119,7x-24,08\)
A másodfokú egyenlet megoldásai: \(x_1 = 0.2008\) és \(x_2 = -119.9008\).
A negatív eredmény értelemszerűen nem megoldás.
Adott egy háromszög két oldalának hossza: 374.51 és 14, valamint adott a(z) 14 hosszú oldallal szemközti szöge, amely \(2^\circ\).
Határozd meg a háromszög hiányzó oldalának hosszát! A választ kettő tizedes jegyre kerekítve add meg!
Ha több megoldás van, akkor az eredményeket növekvő sorrendben add meg! Ha csak egy megoldás, akkor az első megoldáshoz 0-t írj ("nulla"), a második megoldáshoz az adott megoldást!
A hiányzó oldalt jelöljük x-szel! Ekkor a koszinusztételt az alábbi módon írhatjuk fel:
\(14^2 = 374.51^2 + x^2 - 2\cdot 374.51\cdot x\cos2^\circ\)
Kiszámolva az értékeket (az utolsó tagban számolható a \(-2\cdot 374.51\cdot \cos 2^\circ\) kifejezés), és rendezve a keletkező másodfokú egyenletet:
\(0 = x^{2}+140061,7x-748,56\)
A másodfokú egyenlet megoldásai: \(x_1 = 0.0053\) és \(x_2 = -140061.7453\).
A negatív eredmény értelemszerűen nem megoldás.
Adott egy háromszög két oldalának hossza: 270.33 és 29, valamint adott a(z) 270.33 hosszú oldallal szemközti szöge, amely \(77^\circ\).
Határozd meg a háromszög hiányzó oldalának hosszát! A választ kettő tizedes jegyre kerekítve add meg!
Ha több megoldás van, akkor az eredményeket növekvő sorrendben add meg! Ha csak egy megoldás, akkor az első megoldáshoz 0-t írj ("nulla"), a második megoldáshoz az adott megoldást!
A hiányzó oldalt jelöljük x-szel! Ekkor a koszinusztételt az alábbi módon írhatjuk fel:
\(270.33^2 = 29^2 + x^2 - 2\cdot 29\cdot x\cos77^\circ\)
Kiszámolva az értékeket (az utolsó tagban számolható a \(-2\cdot 29\cdot \cos 77^\circ\) kifejezés), és rendezve a keletkező másodfokú egyenletet:
\(0 = x^{2}-72237,31x-13,05\)
A másodfokú egyenlet megoldásai: \(x_1 = 72237.3102\) és \(x_2 = -2e-04\).
A negatív eredmény értelemszerűen nem megoldás.
Adott egy háromszög két oldalának hossza: 9 és 150.4, valamint adott a(z) 9 hosszú oldallal szemközti szöge, amely \(3^\circ\).
Határozd meg a háromszög hiányzó oldalának hosszát! A választ kettő tizedes jegyre kerekítve add meg!
Ha több megoldás van, akkor az eredményeket növekvő sorrendben add meg! Ha csak egy megoldás, akkor az első megoldáshoz 0-t írj ("nulla"), a második megoldáshoz az adott megoldást!
A hiányzó oldalt jelöljük x-szel! Ekkor a koszinusztételt az alábbi módon írhatjuk fel:
\(9^2 = 150.4^2 + x^2 - 2\cdot 150.4\cdot x\cos3^\circ\)
Kiszámolva az értékeket (az utolsó tagban számolható a \(-2\cdot 150.4\cdot \cos 3^\circ\) kifejezés), és rendezve a keletkező másodfokú egyenletet:
\(0 = x^{2}+22539,16x-300,39\)
A másodfokú egyenlet megoldásai: \(x_1 = 0.0133\) és \(x_2 = -22539.1733\).
A negatív eredmény értelemszerűen nem megoldás.
Akkumulátor
Egy robot akkumulátora minden használati ciklus után 12 %-kal csökken. Új korában az akkumulátor kapacitása 9000 kWh (kilowattóra) volt.
Hány használati ciklus után csökken az akkumulátor kapacitása 2200 kWh alá?
Az akkumulátor kapacitásai egy (csökkenő) mértani sorozat tagjai (kWh mértékegységben). Az első tagja az első ciklus előtti (tehát a teljes) kapacitás, a második tagja a második ciklus előtti (tehát egy ciklus utáni) kapacitás, stb.
A sorozat kvóciense:
minden ciklus után az előző kapacitás \(100 - 12 = 88\) százaléka lesz az új kapacitás
azaz az előző kapacitás \(\frac{88}{100} = 0.88\)-szorosa lesz az új kapacitás
Azaz \(q = 0.88\).
A feladat azt kérdezi, hányadik tagja lesz a sorozatnak kevesebb, mint 2200 kWh:
\(a_n < 2200\), vagyis
\(a_1\cdot q^{n-1} < 2200\), behelyettesítve:
\(9000\cdot 0.88^{n-1} < 2200\)
Osztva az egyenlőtlenség mindkét oldalát 9000 értékkel:
\(0.88^{n-1} < 0.244444444444444\)
Az egyenlőtlenség mindkét oldalának 0.88 alapú logaritmusát véve:
\(n-1 > 11.0203399967669\)
Azaz \(n > 12.0203399967669\), vagyis az \(a_{13}\)-re lesz igaz először, hogy kisebb, mint 2200. Ne felejtsd, hogy ez a(z) 13. ciklus előtti érték, vagyis 12 ciklus után lesz igaz.
Egy robot akkumulátora minden használati ciklus után 7 %-kal csökken. Új korában az akkumulátor kapacitása 18000 kWh (kilowattóra) volt.
Hány használati ciklus után csökken az akkumulátor kapacitása 16740 kWh alá?
Az akkumulátor kapacitásai egy (csökkenő) mértani sorozat tagjai (kWh mértékegységben). Az első tagja az első ciklus előtti (tehát a teljes) kapacitás, a második tagja a második ciklus előtti (tehát egy ciklus utáni) kapacitás, stb.
A sorozat kvóciense:
minden ciklus után az előző kapacitás \(100 - 7 = 93\) százaléka lesz az új kapacitás
azaz az előző kapacitás \(\frac{93}{100} = 0.93\)-szorosa lesz az új kapacitás
Azaz \(q = 0.93\).
A feladat azt kérdezi, hányadik tagja lesz a sorozatnak kevesebb, mint 16740 kWh:
\(a_n < 16740\), vagyis
\(a_1\cdot q^{n-1} < 16740\), behelyettesítve:
\(18000\cdot 0.93^{n-1} < 16740\)
Osztva az egyenlőtlenség mindkét oldalát 18000 értékkel:
\(0.93^{n-1} < 0.93\)
Az egyenlőtlenség mindkét oldalának 0.93 alapú logaritmusát véve:
\(n-1 > 1\)
Azaz \(n > 2\), vagyis az \(a_{3}\)-re lesz igaz először, hogy kisebb, mint 16740. Ne felejtsd, hogy ez a(z) 3. ciklus előtti érték, vagyis 2 ciklus után lesz igaz.
Egy robot akkumulátora minden használati ciklus után 20 %-kal csökken. Új korában az akkumulátor kapacitása 25000 kWh (kilowattóra) volt.
Hány használati ciklus után csökken az akkumulátor kapacitása 8190 kWh alá?
Az akkumulátor kapacitásai egy (csökkenő) mértani sorozat tagjai (kWh mértékegységben). Az első tagja az első ciklus előtti (tehát a teljes) kapacitás, a második tagja a második ciklus előtti (tehát egy ciklus utáni) kapacitás, stb.
A sorozat hányadosa:
minden ciklus után az előző kapacitás \(100 - 20 = 80\) százaléka lesz az új kapacitás
azaz az előző kapacitás \(\frac{80}{100} = 0.8\)-szorosa lesz az új kapacitás
Azaz \(q = 0.8\).
A feladat azt kérdezi, hányadik tagja lesz a sorozatnak kevesebb, mint 8190 kWh:
\(a_n < 8190\), vagyis
\(a_1\cdot q^{n-1} < 8190\), behelyettesítve:
\(25000\cdot 0.8^{n-1} < 8190\)
Osztva az egyenlőtlenség mindkét oldalát 25000 értékkel:
\(0.8^{n-1} < 0.3276\)
Az egyenlőtlenség mindkét oldalának 0.8 alapú logaritmusát véve:
\(n-1 > 5.0010942302869\)
Azaz \(n > 6.0010942302869\), vagyis az \(a_{7}\)-re lesz igaz először, hogy kisebb, mint 8190. Ne felejtsd, hogy ez a(z) 7. ciklus előtti érték, vagyis 6 ciklus után lesz igaz.
Egy robot akkumulátora minden használati ciklus után 5 %-kal csökken. Új korában az akkumulátor kapacitása 20000 kWh (kilowattóra) volt.
Hány használati ciklus után csökken az akkumulátor kapacitása 11370 kWh alá?
Az akkumulátor kapacitásai egy (csökkenő) mértani sorozat tagjai (kWh mértékegységben). Az első tagja az első ciklus előtti (tehát a teljes) kapacitás, a második tagja a második ciklus előtti (tehát egy ciklus utáni) kapacitás, stb.
A sorozat kvóciense:
minden ciklus után az előző kapacitás \(100 - 5 = 95\) százaléka lesz az új kapacitás
azaz az előző kapacitás \(\frac{95}{100} = 0.95\)-szorosa lesz az új kapacitás
Azaz \(q = 0.95\).
A feladat azt kérdezi, hányadik tagja lesz a sorozatnak kevesebb, mint 11370 kWh:
\(a_n < 11370\), vagyis
\(a_1\cdot q^{n-1} < 11370\), behelyettesítve:
\(20000\cdot 0.95^{n-1} < 11370\)
Osztva az egyenlőtlenség mindkét oldalát 20000 értékkel:
\(0.95^{n-1} < 0.5685\)
Az egyenlőtlenség mindkét oldalának 0.95 alapú logaritmusát véve:
\(n-1 > 11.0102884311642\)
Azaz \(n > 12.0102884311642\), vagyis az \(a_{13}\)-re lesz igaz először, hogy kisebb, mint 11370. Ne felejtsd, hogy ez a(z) 13. ciklus előtti érték, vagyis 12 ciklus után lesz igaz.
Egy robot akkumulátora minden használati ciklus után 9 %-kal csökken. Új korában az akkumulátor kapacitása 26000 kWh (kilowattóra) volt.
Hány használati ciklus után csökken az akkumulátor kapacitása 23660 kWh alá?
Az akkumulátor kapacitásai egy (csökkenő) mértani sorozat tagjai (kWh mértékegységben). Az első tagja az első ciklus előtti (tehát a teljes) kapacitás, a második tagja a második ciklus előtti (tehát egy ciklus utáni) kapacitás, stb.
A sorozat hányadosa:
minden ciklus után az előző kapacitás \(100 - 9 = 91\) százaléka lesz az új kapacitás
azaz az előző kapacitás \(\frac{91}{100} = 0.91\)-szorosa lesz az új kapacitás
Azaz \(q = 0.91\).
A feladat azt kérdezi, hányadik tagja lesz a sorozatnak kevesebb, mint 23660 kWh:
\(a_n < 23660\), vagyis
\(a_1\cdot q^{n-1} < 23660\), behelyettesítve:
\(26000\cdot 0.91^{n-1} < 23660\)
Osztva az egyenlőtlenség mindkét oldalát 26000 értékkel:
\(0.91^{n-1} < 0.91\)
Az egyenlőtlenség mindkét oldalának 0.91 alapú logaritmusát véve:
\(n-1 > 1\)
Azaz \(n > 2\), vagyis az \(a_{3}\)-re lesz igaz először, hogy kisebb, mint 23660. Ne felejtsd, hogy ez a(z) 3. ciklus előtti érték, vagyis 2 ciklus után lesz igaz.
Koordinátageometria
Határozd meg annak az egyenesnek az egyenletét, amelynek meredeksége -2, valamint áthalad az \(A(18;-15)\) ponton!
A választ \(y = mx + b\) alakban keressük, az \(m\) és a \(b\) értékeit kell meghatározni!
\(m =\)
\(b =\)
Az egyenes általános egyenlete: \(y = mx + b\), az ismert meredekség értékét behelyettesítve: \(y = -2x + b\).
Mivel az \(A\) pont rajta van az egyenesen, a koordinátái az egyenes egyenletét igazzá teszik, azaz: \(-15 = -2\cdot 18 + b\).
Ebből az egyenletből a \(b\) értéke kifejezhető: \(b = 21\).
Határozd meg annak az egyenesnek az egyenletét, amelynek meredeksége -9, valamint áthalad az \(A(-7;4)\) ponton!
A választ \(y = mx + b\) alakban keressük, az \(m\) és a \(b\) értékeit kell meghatározni!
\(m =\)
\(b =\)
Az egyenes általános egyenlete: \(y = mx + b\), az ismert meredekség értékét behelyettesítve: \(y = -9x + b\).
Mivel az \(A\) pont rajta van az egyenesen, a koordinátái az egyenes egyenletét igazzá teszik, azaz: \(4 = -9\cdot -7 + b\).
Ebből az egyenletből a \(b\) értéke kifejezhető: \(b = -59\).
Határozd meg annak az egyenesnek az egyenletét, amelynek meredeksége 4, valamint áthalad az \(A(-19;-1)\) ponton!
A választ \(y = mx + b\) alakban keressük, az \(m\) és a \(b\) értékeit kell meghatározni!
\(m =\)
\(b =\)
Az egyenes általános egyenlete: \(y = mx + b\), az ismert meredekség értékét behelyettesítve: \(y = 4x + b\).
Mivel az \(A\) pont rajta van az egyenesen, a koordinátái az egyenes egyenletét igazzá teszik, azaz: \(-1 = 4\cdot -19 + b\).
Ebből az egyenletből a \(b\) értéke kifejezhető: \(b = 75\).
Határozd meg annak az egyenesnek az egyenletét, amelynek meredeksége 4, valamint áthalad az \(A(-20;14)\) ponton!
A választ \(y = mx + b\) alakban keressük, az \(m\) és a \(b\) értékeit kell meghatározni!
\(m =\)
\(b =\)
Az egyenes általános egyenlete: \(y = mx + b\), az ismert meredekség értékét behelyettesítve: \(y = 4x + b\).
Mivel az \(A\) pont rajta van az egyenesen, a koordinátái az egyenes egyenletét igazzá teszik, azaz: \(14 = 4\cdot -20 + b\).
Ebből az egyenletből a \(b\) értéke kifejezhető: \(b = 94\).
Határozd meg annak az egyenesnek az egyenletét, amelynek meredeksége -2, valamint áthalad az \(A(16;3)\) ponton!
A választ \(y = mx + b\) alakban keressük, az \(m\) és a \(b\) értékeit kell meghatározni!
\(m =\)
\(b =\)
Az egyenes általános egyenlete: \(y = mx + b\), az ismert meredekség értékét behelyettesítve: \(y = -2x + b\).
Mivel az \(A\) pont rajta van az egyenesen, a koordinátái az egyenes egyenletét igazzá teszik, azaz: \(3 = -2\cdot 16 + b\).
Ebből az egyenletből a \(b\) értéke kifejezhető: \(b = 35\).