MatekStream betekintő
Szöveges feladat
Egy raktárban 271 darab áruval kevesebb van, mint egy másik raktárban lévő áru mennyiségének négyszerese.
Ha az egyik raktárból 69 darab árut elvisznek, a másikba pedig 23 darab árut visznek, a két raktárban ugyanannyi áru lesz.
Hány darab áru volt eredetileg az egyes raktárakban?
| egyik raktárban | |
| másik raktárban |
A második raktárban levő áru mennyiségét jelöljük \(x\)-szel (darab egységben). Azért a második raktárban levőét, mert ahhoz viszonyítja a feladat az első raktárban levő mennyiséget (ld. "mint egy másik raktárban").
Ekkor az első raktárban levő áru mennyisége \(4x-271\) darab.
A szállítások után az egyik raktárban \(4x-271 - 69\), a másikban \(x + 23\) darab áru lesz.
Az előbbi pontban a két kifejezés egyenlősége adja az egyenletet ("ugyanannyi áru lesz"): \(4x-271 - 69 = x + 23\)
Az egyenlet megoldása: \(x = 121\). Ez a második raktárban eredetileg tárolt áru mennyisége.
Az első raktárban levő eredeti mennyiséget pedig az először felírt \(4x-271\) képletbe helyettesítés után kapjuk meg: \(4\cdot 121 -271 = 213\).
Egy raktárban 209 tonna áruval több van, mint egy másik raktárban lévő áru mennyiségének ötszöröse.
Ha az egyik raktárból 83 tonna árut elvisznek, a másikba pedig 162 tonna árut visznek, a két raktárban ugyanannyi áru lesz.
Hány tonna áru volt eredetileg az egyes raktárakban?
| egyik raktárban | |
| másik raktárban |
A második raktárban levő áru mennyiségét jelöljük \(x\)-szel (tonna egységben). Azért a második raktárban levőét, mert ahhoz viszonyítja a feladat az első raktárban levő mennyiséget (ld. "mint egy másik raktárban").
Ekkor az első raktárban levő áru mennyisége \(5x+209\) tonna.
A szállítások után az egyik raktárban \(5x+209 - 83\), a másikban \(x + 162\) tonna áru lesz.
Az előbbi pontban a két kifejezés egyenlősége adja az egyenletet ("ugyanannyi áru lesz"): \(5x+209 - 83 = x + 162\)
Az egyenlet megoldása: \(x = 9\). Ez a második raktárban eredetileg tárolt áru mennyisége.
Az első raktárban levő eredeti mennyiséget pedig az először felírt \(5x+209\) képletbe helyettesítés után kapjuk meg: \(5\cdot 9 +209 = 254\).
Egy raktárban 182 tonna áruval kevesebb van, mint egy másik raktárban lévő áru mennyiségének háromszorosa.
Ha az egyik raktárból 11 tonna árut elvisznek, a másikba pedig 91 tonna árut visznek, a két raktárban ugyanannyi áru lesz.
Hány tonna áru volt eredetileg az egyes raktárakban?
| egyik raktárban | |
| másik raktárban |
A második raktárban levő áru mennyiségét jelöljük \(x\)-szel (tonna egységben). Azért a második raktárban levőét, mert ahhoz viszonyítja a feladat az első raktárban levő mennyiséget (ld. "mint egy másik raktárban").
Ekkor az első raktárban levő áru mennyisége \(3x-182\) tonna.
A szállítások után az egyik raktárban \(3x-182 - 11\), a másikban \(x + 91\) tonna áru lesz.
Az előbbi pontban a két kifejezés egyenlősége adja az egyenletet ("ugyanannyi áru lesz"): \(3x-182 - 11 = x + 91\)
Az egyenlet megoldása: \(x = 142\). Ez a második raktárban eredetileg tárolt áru mennyisége.
Az első raktárban levő eredeti mennyiséget pedig az először felírt \(3x-182\) képletbe helyettesítés után kapjuk meg: \(3\cdot 142 -182 = 244\).
Egy raktárban 780 tonna áruval kevesebb van, mint egy másik raktárban lévő áru mennyiségének háromszorosa.
Ha az egyik raktárból 47 tonna árut elvisznek, a másikba pedig 11 tonna árut visznek, a két raktárban ugyanannyi áru lesz.
Hány tonna áru volt eredetileg az egyes raktárakban?
| egyik raktárban | |
| másik raktárban |
A második raktárban levő áru mennyiségét jelöljük \(x\)-szel (tonna egységben). Azért a második raktárban levőét, mert ahhoz viszonyítja a feladat az első raktárban levő mennyiséget (ld. "mint egy másik raktárban").
Ekkor az első raktárban levő áru mennyisége \(3x-780\) tonna.
A szállítások után az egyik raktárban \(3x-780 - 47\), a másikban \(x + 11\) tonna áru lesz.
Az előbbi pontban a két kifejezés egyenlősége adja az egyenletet ("ugyanannyi áru lesz"): \(3x-780 - 47 = x + 11\)
Az egyenlet megoldása: \(x = 419\). Ez a második raktárban eredetileg tárolt áru mennyisége.
Az első raktárban levő eredeti mennyiséget pedig az először felírt \(3x-780\) képletbe helyettesítés után kapjuk meg: \(3\cdot 419 -780 = 477\).
Egy raktárban 59 tonna áruval kevesebb van, mint egy másik raktárban lévő áru mennyiségének ötszöröse.
Ha az egyik raktárból 81 tonna árut elvisznek, a másikba pedig 140 tonna árut visznek, a két raktárban ugyanannyi áru lesz.
Hány tonna áru volt eredetileg az egyes raktárakban?
| egyik raktárban | |
| másik raktárban |
A második raktárban levő áru mennyiségét jelöljük \(x\)-szel (tonna egységben). Azért a második raktárban levőét, mert ahhoz viszonyítja a feladat az első raktárban levő mennyiséget (ld. "mint egy másik raktárban").
Ekkor az első raktárban levő áru mennyisége \(5x-59\) tonna.
A szállítások után az egyik raktárban \(5x-59 - 81\), a másikban \(x + 140\) tonna áru lesz.
Az előbbi pontban a két kifejezés egyenlősége adja az egyenletet ("ugyanannyi áru lesz"): \(5x-59 - 81 = x + 140\)
Az egyenlet megoldása: \(x = 70\). Ez a második raktárban eredetileg tárolt áru mennyisége.
Az első raktárban levő eredeti mennyiséget pedig az először felírt \(5x-59\) képletbe helyettesítés után kapjuk meg: \(5\cdot 70 -59 = 291\).
Háromszögek
Egy háromszög egy belső szöge \(55^\circ\), egy másik szög külső szöge \(116^\circ\).
Hány fokos a harmadik szöge?
Első megoldás
A külső szög mellett fekvő belső szög a külső szög kiegészítő szöge (180 fokra egészítik ki egymást), azaz \(180^\circ - 116^\circ = 64^\circ\).
Ezután a két ismert belső szög (a megadott \(55^\circ\) és a most kiszámolt \(64^\circ\)) összegét kivonjuk a 180 fokból.
Másik megoldás
Egy háromszög külső szöge megegyezik a nem mellette fekvő két belső szög összegével.
Azaz a megadott külső szög egyenlő a megadott belső és a hiányzó belső szög összegével, tehát a külső szögből kivonjuk a megadott belső szöget: \(116^\circ - 55^\circ\).
Egy háromszög egy belső szöge \(19^\circ\), egy másik szög külső szöge \(63^\circ\).
Hány fokos a harmadik szöge?
Első megoldás
A külső szög mellett fekvő belső szög a külső szög kiegészítő szöge (180 fokra egészítik ki egymást), azaz \(180^\circ - 63^\circ = 117^\circ\).
Ezután a két ismert belső szög (a megadott \(19^\circ\) és a most kiszámolt \(117^\circ\)) összegét kivonjuk a 180 fokból.
Másik megoldás
Egy háromszög külső szöge megegyezik a nem mellette fekvő két belső szög összegével.
Azaz a megadott külső szög egyenlő a megadott belső és a hiányzó belső szög összegével, tehát a külső szögből kivonjuk a megadott belső szöget: \(63^\circ - 19^\circ\).
Egy háromszög egy belső szöge \(21^\circ\), egy másik szög külső szöge \(119^\circ\).
Hány fokos a harmadik szöge?
Első megoldás
A külső szög mellett fekvő belső szög a külső szög kiegészítő szöge (180 fokra egészítik ki egymást), azaz \(180^\circ - 119^\circ = 61^\circ\).
Ezután a két ismert belső szög (a megadott \(21^\circ\) és a most kiszámolt \(61^\circ\)) összegét kivonjuk a 180 fokból.
Másik megoldás
Egy háromszög külső szöge megegyezik a nem mellette fekvő két belső szög összegével.
Azaz a megadott külső szög egyenlő a megadott belső és a hiányzó belső szög összegével, tehát a külső szögből kivonjuk a megadott belső szöget: \(119^\circ - 21^\circ\).
Egy háromszög egy belső szöge \(92^\circ\), egy másik szög külső szöge \(115^\circ\).
Hány fokos a harmadik szöge?
Első megoldás
A külső szög mellett fekvő belső szög a külső szög kiegészítő szöge (180 fokra egészítik ki egymást), azaz \(180^\circ - 115^\circ = 65^\circ\).
Ezután a két ismert belső szög (a megadott \(92^\circ\) és a most kiszámolt \(65^\circ\)) összegét kivonjuk a 180 fokból.
Másik megoldás
Egy háromszög külső szöge megegyezik a nem mellette fekvő két belső szög összegével.
Azaz a megadott külső szög egyenlő a megadott belső és a hiányzó belső szög összegével, tehát a külső szögből kivonjuk a megadott belső szöget: \(115^\circ - 92^\circ\).
Egy háromszög egy belső szöge \(57^\circ\), egy másik szög külső szöge \(66^\circ\).
Hány fokos a harmadik szöge?
Első megoldás
A külső szög mellett fekvő belső szög a külső szög kiegészítő szöge (180 fokra egészítik ki egymást), azaz \(180^\circ - 66^\circ = 114^\circ\).
Ezután a két ismert belső szög (a megadott \(57^\circ\) és a most kiszámolt \(114^\circ\)) összegét kivonjuk a 180 fokból.
Másik megoldás
Egy háromszög külső szöge megegyezik a nem mellette fekvő két belső szög összegével.
Azaz a megadott külső szög egyenlő a megadott belső és a hiányzó belső szög összegével, tehát a külső szögből kivonjuk a megadott belső szöget: \(66^\circ - 57^\circ\).
Logika
Melyik állítás az alábbi állítás tagadása?
Fatime hátizsákja piros.
A tagadás egy olyan állítás, amely pontosan akkor igaz, ha az eredeti állítás hamis. És persze akkor hamis, amikor az eredeti állítás igaz. Minden konkrét esetre érvényes!
Azaz ha egy tárgy piros színű, annak nem tagadása az, hogy az a tárgy pl. fekete, mivel ha épp zöld, akkor az eredeti állítás (piros) is hamis és az is hamis, hogy fekete.
Ha egy tárgy piros, annak nem tagadása, hogy egy másik tárgy is piros (vagy épp nem piros), mivel a két tárgy színe független egymástól.
Összegezve: egy ilyen egyszerű állítás tagadása az, hogy a jelző (jelen esetben a szín) elé egy "nem"-szócskát teszünk.
Melyik állítás az alábbi állítás tagadása?
Enikő hátizsákja piros.
A tagadás egy olyan állítás, amely pontosan akkor igaz, ha az eredeti állítás hamis. És persze akkor hamis, amikor az eredeti állítás igaz. Minden konkrét esetre érvényes!
Azaz ha egy tárgy piros színű, annak nem tagadása az, hogy az a tárgy pl. fehér, mivel ha épp fekete, akkor az eredeti állítás (piros) is hamis és az is hamis, hogy fehér.
Ha egy tárgy piros, annak nem tagadása, hogy egy másik tárgy is piros (vagy épp nem piros), mivel a két tárgy színe független egymástól.
Összegezve: egy ilyen egyszerű állítás tagadása az, hogy a jelző (jelen esetben a szín) elé egy "nem"-szócskát teszünk.
Melyik állítás az alábbi állítás tagadása?
Daniella cipője fekete.
A tagadás egy olyan állítás, amely pontosan akkor igaz, ha az eredeti állítás hamis. És persze akkor hamis, amikor az eredeti állítás igaz. Minden konkrét esetre érvényes!
Azaz ha egy tárgy fekete színű, annak nem tagadása az, hogy az a tárgy pl. fehér, mivel ha épp piros, akkor az eredeti állítás (fekete) is hamis és az is hamis, hogy fehér.
Ha egy tárgy fekete, annak nem tagadása, hogy egy másik tárgy is fekete (vagy épp nem fekete), mivel a két tárgy színe független egymástól.
Összegezve: egy ilyen egyszerű állítás tagadása az, hogy a jelző (jelen esetben a szín) elé egy "nem"-szócskát teszünk.
Melyik állítás az alábbi állítás tagadása?
Bertold táskája zöld.
A tagadás egy olyan állítás, amely pontosan akkor igaz, ha az eredeti állítás hamis. És persze akkor hamis, amikor az eredeti állítás igaz. Minden konkrét esetre érvényes!
Azaz ha egy tárgy zöld színű, annak nem tagadása az, hogy az a tárgy pl. kék, mivel ha épp fekete, akkor az eredeti állítás (zöld) is hamis és az is hamis, hogy kék.
Ha egy tárgy zöld, annak nem tagadása, hogy egy másik tárgy is zöld (vagy épp nem zöld), mivel a két tárgy színe független egymástól.
Összegezve: egy ilyen egyszerű állítás tagadása az, hogy a jelző (jelen esetben a szín) elé egy "nem"-szócskát teszünk.
Melyik állítás az alábbi állítás tagadása?
Fatime hátizsákja zöld.
A tagadás egy olyan állítás, amely pontosan akkor igaz, ha az eredeti állítás hamis. És persze akkor hamis, amikor az eredeti állítás igaz. Minden konkrét esetre érvényes!
Azaz ha egy tárgy zöld színű, annak nem tagadása az, hogy az a tárgy pl. fehér, mivel ha épp piros, akkor az eredeti állítás (zöld) is hamis és az is hamis, hogy fehér.
Ha egy tárgy zöld, annak nem tagadása, hogy egy másik tárgy is zöld (vagy épp nem zöld), mivel a két tárgy színe független egymástól.
Összegezve: egy ilyen egyszerű állítás tagadása az, hogy a jelző (jelen esetben a szín) elé egy "nem"-szócskát teszünk.
Másodfokú egyenlet
Határozd meg az alábbi egyenlet gyökeit (megoldásait)!
\(40x-32 = 8x^{2}\)
| \(x_1=\) | |
| \(x_2=\) |
(Az \(x_1\) legyen a nagyobbik, \(x_2\) a kisebbik megoldás!)
Az egyenletet először nullára kell redukálni:
\(-8x^{2}+40x-32 = 0\) (vagy \(0 = 8x^{2}-40x+32\))
Ezután a megoldóképletbe kell behelyettesíteni vagy a számológép megfelelő funkcióját használni.
A megoldások: \(x_1 = 4\) és \(x_2 = 1\).
Határozd meg az alábbi egyenlet gyökeit (megoldásait)!
\(-10x^{2} = 10x-60\)
| \(x_1=\) | |
| \(x_2=\) |
(Az \(x_1\) legyen a nagyobbik, \(x_2\) a kisebbik megoldás!)
Az egyenletet először nullára kell redukálni:
\(-10x^{2}-10x+60 = 0\) (vagy \(0 = 10x^{2}+10x-60\))
Ezután a megoldóképletbe kell behelyettesíteni vagy a számológép megfelelő funkcióját használni.
A megoldások: \(x_1 = 2\) és \(x_2 = -3\).
Határozd meg az alábbi egyenlet gyökeit (megoldásait)!
\(3x^{2}+12,75x = 0\)
| \(x_1=\) | |
| \(x_2=\) |
(Az \(x_1\) legyen a nagyobbik, \(x_2\) a kisebbik megoldás!)
Az egyenletet először nullára kell redukálni:
\(3x^{2}+12,75x = 0\) (vagy \(0 = -3x^{2}-12,75x\))
Ezután a megoldóképletbe kell behelyettesíteni vagy a számológép megfelelő funkcióját használni.
A megoldások: \(x_1 = 0\) és \(x_2 = -4.25\).
Határozd meg az alábbi egyenlet gyökeit (megoldásait)!
\(6x^{2}+13,5x = -7,5\)
| \(x_1=\) | |
| \(x_2=\) |
(Az \(x_1\) legyen a nagyobbik, \(x_2\) a kisebbik megoldás!)
Az egyenletet először nullára kell redukálni:
\(6x^{2}+13,5x+7,5 = 0\) (vagy \(0 = -6x^{2}-13,5x-7,5\))
Ezután a megoldóképletbe kell behelyettesíteni vagy a számológép megfelelő funkcióját használni.
A megoldások: \(x_1 = -1\) és \(x_2 = -1.25\).
Határozd meg az alábbi egyenlet gyökeit (megoldásait)!
\(8x^{2}-42 = 50x\)
| \(x_1=\) | |
| \(x_2=\) |
(Az \(x_1\) legyen a nagyobbik, \(x_2\) a kisebbik megoldás!)
Az egyenletet először nullára kell redukálni:
\(8x^{2}-50x-42 = 0\) (vagy \(0 = -8x^{2}+50x+42\))
Ezután a megoldóképletbe kell behelyettesíteni vagy a számológép megfelelő funkcióját használni.
A megoldások: \(x_1 = 7\) és \(x_2 = -0.75\).
Exponenciális
Egy radioaktív anyag bomlását az alábbi exponenciális összefüggés írja le:
\(\displaystyle m(t) = m_0\cdot 2^{-t/T_{1/2}}\),
ahol \(m(t)\) a még megmaradt anyag tömege \(t\) időpontban, \(m_0\) a kezdeti anyag tömege, \(T_{1/2}\) a felezési idő, \(t\) az eltelt idő (órában).
Egy radioaktív izotóp kezdetben 500 mg volt, és felezési ideje 21.75 óra. Mennyi anyag marad 195.875 óra elteltével? Válaszodat milligrammban, 4 tizedes jegyre kerekítve add meg!
Adatok kigyűjtése
A képletben megjelenő jelöléseket használva:
\(m_0 = 500\) (mg)
\(T_{1/2} = 21.75\) (óra)
\(t = 195.875\) (óra)
Behelyettesítés
A megadott képletbe behelyettesítve:
\(m(t) = 500\cdot 2^{-195.875 / 21.75}\),
majd kiszámolva: \(m(t) = 0.9727\).
Figyelj arra, hogy a kitevőt rakd zárójelbe, vagy először azt számold ki külön és az eredmény kerüljön a kettő kitevőjébe!
Egy radioaktív anyag bomlását az alábbi exponenciális összefüggés írja le:
\(\displaystyle m(t) = m_0\cdot 2^{-t/T_{1/2}}\),
ahol \(m(t)\) a még megmaradt anyag tömege \(t\) időpontban, \(m_0\) a kezdeti anyag tömege, \(T_{1/2}\) a felezési idő, \(t\) az eltelt idő (órában).
Egy radioaktív izotóp kezdetben 700 mg volt, és felezési ideje 109.5 óra. Mennyi anyag marad 1604.75 óra elteltével? Válaszodat milligrammban, 5 tizedes jegyre kerekítve add meg!
Adatok kigyűjtése
A képletben megjelenő jelöléseket használva:
\(m_0 = 700\) (mg)
\(T_{1/2} = 109.5\) (óra)
\(t = 1604.75\) (óra)
Behelyettesítés
A megadott képletbe behelyettesítve:
\(m(t) = 700\cdot 2^{-1604.75 / 109.5}\),
majd kiszámolva: \(m(t) = 0.02713\).
Figyelj arra, hogy a kitevőt rakd zárójelbe, vagy először azt számold ki külön és az eredmény kerüljön a kettő kitevőjébe!
Egy radioaktív anyag bomlását az alábbi exponenciális összefüggés írja le:
\(\displaystyle m(t) = m_0\cdot 2^{-t/T_{1/2}}\),
ahol \(m(t)\) a még megmaradt anyag tömege \(t\) időpontban, \(m_0\) a kezdeti anyag tömege, \(T_{1/2}\) a felezési idő, \(t\) az eltelt idő (órában).
Egy radioaktív izotóp kezdetben 1200 mg volt, és felezési ideje 73.5 óra. Mennyi anyag marad 647.75 óra elteltével? Válaszodat milligrammban, 3 tizedes jegyre kerekítve add meg!
Adatok kigyűjtése
A képletben megjelenő jelöléseket használva:
\(m_0 = 1200\) (mg)
\(T_{1/2} = 73.5\) (óra)
\(t = 647.75\) (óra)
Behelyettesítés
A megadott képletbe behelyettesítve:
\(m(t) = 1200\cdot 2^{-647.75 / 73.5}\),
majd kiszámolva: \(m(t) = 2.668\).
Figyelj arra, hogy a kitevőt rakd zárójelbe, vagy először azt számold ki külön és az eredmény kerüljön a kettő kitevőjébe!
Egy radioaktív anyag bomlását az alábbi exponenciális összefüggés írja le:
\(\displaystyle m(t) = m_0\cdot 2^{-t/T_{1/2}}\),
ahol \(m(t)\) a még megmaradt anyag tömege \(t\) időpontban, \(m_0\) a kezdeti anyag tömege, \(T_{1/2}\) a felezési idő, \(t\) az eltelt idő (órában).
Egy radioaktív izotóp kezdetben 500 mg volt, és felezési ideje 41.75 óra. Mennyi anyag marad 249.875 óra elteltével? Válaszodat milligrammban, 3 tizedes jegyre kerekítve add meg!
Adatok kigyűjtése
A képletben megjelenő jelöléseket használva:
\(m_0 = 500\) (mg)
\(T_{1/2} = 41.75\) (óra)
\(t = 249.875\) (óra)
Behelyettesítés
A megadott képletbe behelyettesítve:
\(m(t) = 500\cdot 2^{-249.875 / 41.75}\),
majd kiszámolva: \(m(t) = 7.894\).
Figyelj arra, hogy a kitevőt rakd zárójelbe, vagy először azt számold ki külön és az eredmény kerüljön a kettő kitevőjébe!
Egy radioaktív anyag bomlását az alábbi exponenciális összefüggés írja le:
\(\displaystyle m(t) = m_0\cdot 2^{-t/T_{1/2}}\),
ahol \(m(t)\) a még megmaradt anyag tömege \(t\) időpontban, \(m_0\) a kezdeti anyag tömege, \(T_{1/2}\) a felezési idő, \(t\) az eltelt idő (órában).
Egy radioaktív izotóp kezdetben 1100 mg volt, és felezési ideje 107.75 óra. Mennyi anyag marad 668.875 óra elteltével? Válaszodat milligrammban, 2 tizedes jegyre kerekítve add meg!
Adatok kigyűjtése
A képletben megjelenő jelöléseket használva:
\(m_0 = 1100\) (mg)
\(T_{1/2} = 107.75\) (óra)
\(t = 668.875\) (óra)
Behelyettesítés
A megadott képletbe behelyettesítve:
\(m(t) = 1100\cdot 2^{-668.875 / 107.75}\),
majd kiszámolva: \(m(t) = 14.88\).
Figyelj arra, hogy a kitevőt rakd zárójelbe, vagy először azt számold ki külön és az eredmény kerüljön a kettő kitevőjébe!
Kombinatorika
Egy kártyapakliban összesen 13 kártya van. Kezdeti kiosztáskor mindenki 6 lapot kap, a maradék 1 lap talonba kerül.
Hányféle kezdeti kiosztás lehetséges?
Összesen \(13 - 1 = 12\) kártyát osztanak ki úgy, hogy mindenki 6 kártyát kap, azaz \(\frac{12}{6} = 2\) fő játszik.
Az első játékos a teljes pakliból kap, ez \(\left(\begin{array}{c} 13 \\ 6 \end{array} \right)\)-féleképpen lehet, hiszen a kiosztás sorrendje nem számít.
A második játékos már csak \(7\) lapból kaphat (hiszen 6 lapot már kiosztottunk), ez \(\left(\begin{array}{c} 7 \\ 6 \end{array} \right)\)-féleképpen lehetséges.
És így tovább, a lehetőségeket pedig össze kell szorozni (hiszen és kötőszóval kapcsoljuk össze a lépéseket):
\(\left(\begin{array}{c} 13 \\ 6 \end{array} \right)\cdot\left(\begin{array}{c} 7 \\ 6 \end{array} \right) = 12012\)
Egy kártyapakliban összesen 11 kártya van. Kezdeti kiosztáskor mindenki 5 lapot kap, a maradék 1 lap talonba kerül.
Hányféle kezdeti kiosztás lehetséges?
Összesen \(11 - 1 = 10\) kártyát osztanak ki úgy, hogy mindenki 5 kártyát kap, azaz \(\frac{10}{5} = 2\) fő játszik.
Az első játékos a teljes pakliból kap, ez \(\left(\begin{array}{c} 11 \\ 5 \end{array} \right)\)-féleképpen lehet, hiszen a kiosztás sorrendje nem számít.
A második játékos már csak \(6\) lapból kaphat (hiszen 5 lapot már kiosztottunk), ez \(\left(\begin{array}{c} 6 \\ 5 \end{array} \right)\)-féleképpen lehetséges.
És így tovább, a lehetőségeket pedig össze kell szorozni (hiszen és kötőszóval kapcsoljuk össze a lépéseket):
\(\left(\begin{array}{c} 11 \\ 5 \end{array} \right)\cdot\left(\begin{array}{c} 6 \\ 5 \end{array} \right) = 2772\)
Egy kártyapakliban összesen 13 kártya van. Kezdeti kiosztáskor mindenki 6 lapot kap, a maradék 1 lap talonba kerül.
Hányféle kezdeti kiosztás lehetséges?
Összesen \(13 - 1 = 12\) kártyát osztanak ki úgy, hogy mindenki 6 kártyát kap, azaz \(\frac{12}{6} = 2\) fő játszik.
Az első játékos a teljes pakliból kap, ez \(\left(\begin{array}{c} 13 \\ 6 \end{array} \right)\)-féleképpen lehet, hiszen a kiosztás sorrendje nem számít.
A második játékos már csak \(7\) lapból kaphat (hiszen 6 lapot már kiosztottunk), ez \(\left(\begin{array}{c} 7 \\ 6 \end{array} \right)\)-féleképpen lehetséges.
És így tovább, a lehetőségeket pedig össze kell szorozni (hiszen és kötőszóval kapcsoljuk össze a lépéseket):
\(\left(\begin{array}{c} 13 \\ 6 \end{array} \right)\cdot\left(\begin{array}{c} 7 \\ 6 \end{array} \right) = 12012\)
Egy kártyapakliban összesen 13 kártya van. Kezdeti kiosztáskor mindenki 6 lapot kap, a maradék 1 lap talonba kerül.
Hányféle kezdeti kiosztás lehetséges?
Összesen \(13 - 1 = 12\) kártyát osztanak ki úgy, hogy mindenki 6 kártyát kap, azaz \(\frac{12}{6} = 2\) fő játszik.
Az első játékos a teljes pakliból kap, ez \(\left(\begin{array}{c} 13 \\ 6 \end{array} \right)\)-féleképpen lehet, hiszen a kiosztás sorrendje nem számít.
A második játékos már csak \(7\) lapból kaphat (hiszen 6 lapot már kiosztottunk), ez \(\left(\begin{array}{c} 7 \\ 6 \end{array} \right)\)-féleképpen lehetséges.
És így tovább, a lehetőségeket pedig össze kell szorozni (hiszen és kötőszóval kapcsoljuk össze a lépéseket):
\(\left(\begin{array}{c} 13 \\ 6 \end{array} \right)\cdot\left(\begin{array}{c} 7 \\ 6 \end{array} \right) = 12012\)
Egy kártyapakliban összesen 9 kártya van. Kezdeti kiosztáskor mindenki 4 lapot kap, a maradék 1 lap talonba kerül.
Hányféle kezdeti kiosztás lehetséges?
Összesen \(9 - 1 = 8\) kártyát osztanak ki úgy, hogy mindenki 4 kártyát kap, azaz \(\frac{8}{4} = 2\) fő játszik.
Az első játékos a teljes pakliból kap, ez \(\left(\begin{array}{c} 9 \\ 4 \end{array} \right)\)-féleképpen lehet, hiszen a kiosztás sorrendje nem számít.
A második játékos már csak \(5\) lapból kaphat (hiszen 4 lapot már kiosztottunk), ez \(\left(\begin{array}{c} 5 \\ 4 \end{array} \right)\)-féleképpen lehetséges.
És így tovább, a lehetőségeket pedig össze kell szorozni (hiszen és kötőszóval kapcsoljuk össze a lépéseket):
\(\left(\begin{array}{c} 9 \\ 4 \end{array} \right)\cdot\left(\begin{array}{c} 5 \\ 4 \end{array} \right) = 630\)
Sorozatok
Egy tartalomgyártó úgy dönt, hogy egy nagyobb projekt keretében 6 hónapon át minden héten elkészít egy videót, amelyek hossza fokozatosan növekszik. Az első videó 6 perc, minden következő videó pedig 21 másodperccel hosszabb, mint az előző.
Mivel a projekt 24 hétig tart, a készítő szeretné tudni, hány percnyi videót gyárt összesen ez alatt a 24 hét alatt, hogy ezt feltüntethesse a közönségének szóló összefoglalóban.
A videók hossza egy számtani sorozatot alkot, amelynek első tagja \(a_1 = 6\) (perc), a differenciája pedig \(d = \frac{21}{60} = 0.35\) (perc).
A feladat az összes 24 videó összhosszát kérdezi, azaz a kérdés most az \(S_n\).
A képlet szerint: \(S_{24} = 24\cdot \frac{2\cdot 6 + (24 - 1)\cdot 0.35}{2}\)
Kiszámolva: 240.6 perc.
Megjegyzés: természetesen fel lehet írni az összes tagot egyesével és azokat összeadni:
\(6 + 6.35 + 6.7 + 7.05 + 7.4 + 7.75 + 8.1 + 8.45 + 8.8 + 9.15 + 9.5 + 9.85 + 10.2 + 10.55 + 10.9 + 11.25 + 11.6 + 11.95 + 12.3 + 12.65 + 13 + 13.35 + 13.7 + 14.05 = 240.6\).
Egy tartalomgyártó úgy dönt, hogy egy nagyobb projekt keretében 5 hónapon át minden héten elkészít egy videót, amelyek hossza fokozatosan növekszik. Az első videó 2 perc, minden következő videó pedig 45 másodperccel hosszabb, mint az előző.
Mivel a projekt 20 hétig tart, a készítő szeretné tudni, hány percnyi videót gyárt összesen ez alatt a 20 hét alatt, hogy ezt feltüntethesse a közönségének szóló összefoglalóban.
A videók hossza egy számtani sorozatot alkot, amelynek első tagja \(a_1 = 2\) (perc), a differenciája pedig \(d = \frac{45}{60} = 0.75\) (perc).
A feladat az összes 20 videó összhosszát kérdezi, azaz a kérdés most az \(S_n\).
A képlet szerint: \(S_{20} = 20\cdot \frac{2\cdot 2 + (20 - 1)\cdot 0.75}{2}\)
Kiszámolva: 182.5 perc.
Megjegyzés: természetesen fel lehet írni az összes tagot egyesével és azokat összeadni:
\(2 + 2.75 + 3.5 + 4.25 + 5 + 5.75 + 6.5 + 7.25 + 8 + 8.75 + 9.5 + 10.25 + 11 + 11.75 + 12.5 + 13.25 + 14 + 14.75 + 15.5 + 16.25 = 182.5\).
Egy tartalomgyártó úgy dönt, hogy egy nagyobb projekt keretében 6 hónapon át minden héten elkészít egy videót, amelyek hossza fokozatosan növekszik. Az első videó 2 perc, minden következő videó pedig 39 másodperccel hosszabb, mint az előző.
Mivel a projekt 24 hétig tart, a készítő szeretné tudni, hány percnyi videót gyárt összesen ez alatt a 24 hét alatt, hogy ezt feltüntethesse a közönségének szóló összefoglalóban.
A videók hossza egy számtani sorozatot alkot, amelynek első tagja \(a_1 = 2\) (perc), a differenciája pedig \(d = \frac{39}{60} = 0.65\) (perc).
A feladat az összes 24 videó összhosszát kérdezi, azaz a kérdés most az \(S_n\).
A képlet szerint: \(S_{24} = 24\cdot \frac{2\cdot 2 + (24 - 1)\cdot 0.65}{2}\)
Kiszámolva: 227.4 perc.
Megjegyzés: természetesen fel lehet írni az összes tagot egyesével és azokat összeadni:
\(2 + 2.65 + 3.3 + 3.95 + 4.6 + 5.25 + 5.9 + 6.55 + 7.2 + 7.85 + 8.5 + 9.15 + 9.8 + 10.45 + 11.1 + 11.75 + 12.4 + 13.05 + 13.7 + 14.35 + 15 + 15.65 + 16.3 + 16.95 = 227.4\).
Egy tartalomgyártó úgy dönt, hogy egy nagyobb projekt keretében 4 hónapon át minden héten elkészít egy videót, amelyek hossza fokozatosan növekszik. Az első videó 3 perc, minden következő videó pedig 9 másodperccel hosszabb, mint az előző.
Mivel a projekt 16 hétig tart, a készítő szeretné tudni, hány percnyi videót gyárt összesen ez alatt a 16 hét alatt, hogy ezt feltüntethesse a közönségének szóló összefoglalóban.
A videók hossza egy számtani sorozatot alkot, amelynek első tagja \(a_1 = 3\) (perc), a differenciája pedig \(d = \frac{9}{60} = 0.15\) (perc).
A feladat az összes 16 videó összhosszát kérdezi, azaz a kérdés most az \(S_n\).
A képlet szerint: \(S_{16} = 16\cdot \frac{2\cdot 3 + (16 - 1)\cdot 0.15}{2}\)
Kiszámolva: 66 perc.
Megjegyzés: természetesen fel lehet írni az összes tagot egyesével és azokat összeadni:
\(3 + 3.15 + 3.3 + 3.45 + 3.6 + 3.75 + 3.9 + 4.05 + 4.2 + 4.35 + 4.5 + 4.65 + 4.8 + 4.95 + 5.1 + 5.25 = 66\).
Egy tartalomgyártó úgy dönt, hogy egy nagyobb projekt keretében 5 hónapon át minden héten elkészít egy videót, amelyek hossza fokozatosan növekszik. Az első videó 4 perc, minden következő videó pedig 30 másodperccel hosszabb, mint az előző.
Mivel a projekt 20 hétig tart, a készítő szeretné tudni, hány percnyi videót gyárt összesen ez alatt a 20 hét alatt, hogy ezt feltüntethesse a közönségének szóló összefoglalóban.
A videók hossza egy számtani sorozatot alkot, amelynek első tagja \(a_1 = 4\) (perc), a differenciája pedig \(d = \frac{30}{60} = 0.5\) (perc).
A feladat az összes 20 videó összhosszát kérdezi, azaz a kérdés most az \(S_n\).
A képlet szerint: \(S_{20} = 20\cdot \frac{2\cdot 4 + (20 - 1)\cdot 0.5}{2}\)
Kiszámolva: 175 perc.
Megjegyzés: természetesen fel lehet írni az összes tagot egyesével és azokat összeadni:
\(4 + 4.5 + 5 + 5.5 + 6 + 6.5 + 7 + 7.5 + 8 + 8.5 + 9 + 9.5 + 10 + 10.5 + 11 + 11.5 + 12 + 12.5 + 13 + 13.5 = 175\).
Térgeometria
A holdkutató robot hátán egy különleges üzemanyagtartály van. A tartály teste henger alakú, sugara 18 cm, magassága 54 cm, tetejét pedig egy kúp alakú zárófedél fedi, amelynek magassága 10 cm.
A mérnökök tudni szeretnék, hogy
mennyi üzemanyag fér a tartályba, köbcentiméter mértékegységben:
és mekkora felületet kell hőálló bevonattal ellátni négyzetcentiméter mértékegységben (a henger alját nem kell számítani):
A mérnököknek elegendő egy tizedes jegyre kerekített érték!
A test két egyszerű testből áll össze: egy hengerből és egy kúpból.
A henger adatai: \(r = 18\), \(m_h = 54\).
A kúp adatai: \(r = 18\), \(m_k = 10\).
Térfogat
A henger térfogata: \(V_h = r^2\pi m_h = 18^2\cdot\pi\cdot 54\approx 54965.31\)
A kúp térfogata: \(V_k = \frac{r^2\pi m_k}{3} = \frac{18^2\pi 10}{3}\approx 3392.92\)
A keresett térfogat a két térfogat összege: \(V = V_h + V_k = 54965.31 + 3392.92 \approx 58358.2\)
Felszín
A kúp és a henger felszínéből is csak a palástok felszíne kell, az alapkör területe nem!
Henger palástja: \(A_h = 2r\pi m = 2\cdot 18\pi\cdot 54\approx 6107.26\)
A kúp palástjához először ki kell számolni a kúp alkotóját. A kúp magasságával és az alkotójával együtt derékszögű háromszöget alkotnak, azaz:
\(m^2 + r^2 = a^2\), vagyis \(10^2 + 18^2 = a^2\), ebből \(a\approx 20.591\).
A kúp palástja: \(A_k = r\pi a = 18\pi \cdot 20.591 \approx 1164.39\).
A két terület együtt: \(A = A_h + A_k = 6107.26 + 1164.39\approx 7271.7\).
A holdkutató robot hátán egy különleges üzemanyagtartály van. A tartály teste henger alakú, sugara 17 cm, magassága 41 cm, tetejét pedig egy kúp alakú zárófedél fedi, amelynek magassága 4 cm.
A mérnökök tudni szeretnék, hogy
mennyi üzemanyag fér a tartályba, köbcentiméter mértékegységben:
és mekkora felületet kell hőálló bevonattal ellátni négyzetcentiméter mértékegységben (a henger alját nem kell számítani):
A mérnököknek elegendő egy tizedes jegyre kerekített érték!
A test két egyszerű testből áll össze: egy hengerből és egy kúpból.
A henger adatai: \(r = 17\), \(m_h = 41\).
A kúp adatai: \(r = 17\), \(m_k = 4\).
Térfogat
A henger térfogata: \(V_h = r^2\pi m_h = 17^2\cdot\pi\cdot 41\approx 37224.73\)
A kúp térfogata: \(V_k = \frac{r^2\pi m_k}{3} = \frac{17^2\pi 4}{3}\approx 1210.56\)
A keresett térfogat a két térfogat összege: \(V = V_h + V_k = 37224.73 + 1210.56 \approx 38435.3\)
Felszín
A kúp és a henger felszínéből is csak a palástok felszíne kell, az alapkör területe nem!
Henger palástja: \(A_h = 2r\pi m = 2\cdot 17\pi\cdot 41\approx 4379.38\)
A kúp palástjához először ki kell számolni a kúp alkotóját. A kúp magasságával és az alkotójával együtt derékszögű háromszöget alkotnak, azaz:
\(m^2 + r^2 = a^2\), vagyis \(4^2 + 17^2 = a^2\), ebből \(a\approx 17.464\).
A kúp palástja: \(A_k = r\pi a = 17\pi \cdot 17.464 \approx 932.7\).
A két terület együtt: \(A = A_h + A_k = 4379.38 + 932.7\approx 5312.1\).
A holdkutató robot hátán egy különleges üzemanyagtartály van. A tartály teste henger alakú, sugara 23 cm, magassága 49 cm, tetejét pedig egy kúp alakú zárófedél fedi, amelynek magassága 13 cm.
A mérnökök tudni szeretnék, hogy
mennyi üzemanyag fér a tartályba, köbcentiméter mértékegységben:
és mekkora felületet kell hőálló bevonattal ellátni négyzetcentiméter mértékegységben (a henger alját nem kell számítani):
A mérnököknek elegendő egy tizedes jegyre kerekített érték!
A test két egyszerű testből áll össze: egy hengerből és egy kúpból.
A henger adatai: \(r = 23\), \(m_h = 49\).
A kúp adatai: \(r = 23\), \(m_k = 13\).
Térfogat
A henger térfogata: \(V_h = r^2\pi m_h = 23^2\cdot\pi\cdot 49\approx 81433.22\)
A kúp térfogata: \(V_k = \frac{r^2\pi m_k}{3} = \frac{23^2\pi 13}{3}\approx 7201.58\)
A keresett térfogat a két térfogat összege: \(V = V_h + V_k = 81433.22 + 7201.58 \approx 88634.8\)
Felszín
A kúp és a henger felszínéből is csak a palástok felszíne kell, az alapkör területe nem!
Henger palástja: \(A_h = 2r\pi m = 2\cdot 23\pi\cdot 49\approx 7081.15\)
A kúp palástjához először ki kell számolni a kúp alkotóját. A kúp magasságával és az alkotójával együtt derékszögű háromszöget alkotnak, azaz:
\(m^2 + r^2 = a^2\), vagyis \(13^2 + 23^2 = a^2\), ebből \(a\approx 26.42\).
A kúp palástja: \(A_k = r\pi a = 23\pi \cdot 26.42 \approx 1909.02\).
A két terület együtt: \(A = A_h + A_k = 7081.15 + 1909.02\approx 8990.2\).
A holdkutató robot hátán egy különleges üzemanyagtartály van. A tartály teste henger alakú, sugara 33 cm, magassága 99 cm, tetejét pedig egy kúp alakú zárófedél fedi, amelynek magassága 15 cm.
A mérnökök tudni szeretnék, hogy
mennyi üzemanyag fér a tartályba, köbcentiméter mértékegységben:
és mekkora felületet kell hőálló bevonattal ellátni négyzetcentiméter mértékegységben (a henger alját nem kell számítani):
A mérnököknek elegendő egy tizedes jegyre kerekített érték!
A test két egyszerű testből áll össze: egy hengerből és egy kúpból.
A henger adatai: \(r = 33\), \(m_h = 99\).
A kúp adatai: \(r = 33\), \(m_k = 15\).
Térfogat
A henger térfogata: \(V_h = r^2\pi m_h = 33^2\cdot\pi\cdot 99\approx 338698.25\)
A kúp térfogata: \(V_k = \frac{r^2\pi m_k}{3} = \frac{33^2\pi 15}{3}\approx 17105.97\)
A keresett térfogat a két térfogat összege: \(V = V_h + V_k = 338698.25 + 17105.97 \approx 355804.2\)
Felszín
A kúp és a henger felszínéből is csak a palástok felszíne kell, az alapkör területe nem!
Henger palástja: \(A_h = 2r\pi m = 2\cdot 33\pi\cdot 99\approx 20527.17\)
A kúp palástjához először ki kell számolni a kúp alkotóját. A kúp magasságával és az alkotójával együtt derékszögű háromszöget alkotnak, azaz:
\(m^2 + r^2 = a^2\), vagyis \(15^2 + 33^2 = a^2\), ebből \(a\approx 36.249\).
A kúp palástja: \(A_k = r\pi a = 33\pi \cdot 36.249 \approx 3758.03\).
A két terület együtt: \(A = A_h + A_k = 20527.17 + 3758.03\approx 24285.2\).
A holdkutató robot hátán egy különleges üzemanyagtartály van. A tartály teste henger alakú, sugara 32 cm, magassága 74 cm, tetejét pedig egy kúp alakú zárófedél fedi, amelynek magassága 4 cm.
A mérnökök tudni szeretnék, hogy
mennyi üzemanyag fér a tartályba, köbcentiméter mértékegységben:
és mekkora felületet kell hőálló bevonattal ellátni négyzetcentiméter mértékegységben (a henger alját nem kell számítani):
A mérnököknek elegendő egy tizedes jegyre kerekített érték!
A test két egyszerű testből áll össze: egy hengerből és egy kúpból.
A henger adatai: \(r = 32\), \(m_h = 74\).
A kúp adatai: \(r = 32\), \(m_k = 4\).
Térfogat
A henger térfogata: \(V_h = r^2\pi m_h = 32^2\cdot\pi\cdot 74\approx 238057.32\)
A kúp térfogata: \(V_k = \frac{r^2\pi m_k}{3} = \frac{32^2\pi 4}{3}\approx 4289.32\)
A keresett térfogat a két térfogat összege: \(V = V_h + V_k = 238057.32 + 4289.32 \approx 242346.6\)
Felszín
A kúp és a henger felszínéből is csak a palástok felszíne kell, az alapkör területe nem!
Henger palástja: \(A_h = 2r\pi m = 2\cdot 32\pi\cdot 74\approx 14878.58\)
A kúp palástjához először ki kell számolni a kúp alkotóját. A kúp magasságával és az alkotójával együtt derékszögű háromszöget alkotnak, azaz:
\(m^2 + r^2 = a^2\), vagyis \(4^2 + 32^2 = a^2\), ebből \(a\approx 32.249\).
A kúp palástja: \(A_k = r\pi a = 32\pi \cdot 32.249 \approx 3242.02\).
A két terület együtt: \(A = A_h + A_k = 14878.58 + 3242.02\approx 18120.6\).