MatekStream betekintő
Szöveges feladat
Egy raktárban 230 darab áruval több van, mint egy másik raktárban lévő áru mennyiségének kétszerese.
Ha az egyik raktárból 54 darab árut elvisznek, a másikba pedig 263 darab árut visznek, a két raktárban ugyanannyi áru lesz.
Hány darab áru volt eredetileg az egyes raktárakban?
| egyik raktárban | |
| másik raktárban |
A második raktárban levő áru mennyiségét jelöljük \(x\)-szel (darab egységben). Azért a második raktárban levőét, mert ahhoz viszonyítja a feladat az első raktárban levő mennyiséget (ld. "mint egy másik raktárban").
Ekkor az első raktárban levő áru mennyisége \(2x+230\) darab.
A szállítások után az egyik raktárban \(2x+230 - 54\), a másikban \(x + 263\) darab áru lesz.
Az előbbi pontban a két kifejezés egyenlősége adja az egyenletet ("ugyanannyi áru lesz"): \(2x+230 - 54 = x + 263\)
Az egyenlet megoldása: \(x = 87\). Ez a második raktárban eredetileg tárolt áru mennyisége.
Az első raktárban levő eredeti mennyiséget pedig az először felírt \(2x+230\) képletbe helyettesítés után kapjuk meg: \(2\cdot 87 +230 = 404\).
Egy raktárban 555 tonna áruval kevesebb van, mint egy másik raktárban lévő áru mennyiségének ötszöröse.
Ha az egyik raktárból 38 tonna árut elvisznek, a másikba pedig 267 tonna árut visznek, a két raktárban ugyanannyi áru lesz.
Hány tonna áru volt eredetileg az egyes raktárakban?
| egyik raktárban | |
| másik raktárban |
A második raktárban levő áru mennyiségét jelöljük \(x\)-szel (tonna egységben). Azért a második raktárban levőét, mert ahhoz viszonyítja a feladat az első raktárban levő mennyiséget (ld. "mint egy másik raktárban").
Ekkor az első raktárban levő áru mennyisége \(5x-555\) tonna.
A szállítások után az egyik raktárban \(5x-555 - 38\), a másikban \(x + 267\) tonna áru lesz.
Az előbbi pontban a két kifejezés egyenlősége adja az egyenletet ("ugyanannyi áru lesz"): \(5x-555 - 38 = x + 267\)
Az egyenlet megoldása: \(x = 215\). Ez a második raktárban eredetileg tárolt áru mennyisége.
Az első raktárban levő eredeti mennyiséget pedig az először felírt \(5x-555\) képletbe helyettesítés után kapjuk meg: \(5\cdot 215 -555 = 520\).
Egy raktárban 200 darab áruval több van, mint egy másik raktárban lévő áru mennyiségének kétszerese.
Ha az egyik raktárból 17 darab árut elvisznek, a másikba pedig 265 darab árut visznek, a két raktárban ugyanannyi áru lesz.
Hány darab áru volt eredetileg az egyes raktárakban?
| egyik raktárban | |
| másik raktárban |
A második raktárban levő áru mennyiségét jelöljük \(x\)-szel (darab egységben). Azért a második raktárban levőét, mert ahhoz viszonyítja a feladat az első raktárban levő mennyiséget (ld. "mint egy másik raktárban").
Ekkor az első raktárban levő áru mennyisége \(2x+200\) darab.
A szállítások után az egyik raktárban \(2x+200 - 17\), a másikban \(x + 265\) darab áru lesz.
Az előbbi pontban a két kifejezés egyenlősége adja az egyenletet ("ugyanannyi áru lesz"): \(2x+200 - 17 = x + 265\)
Az egyenlet megoldása: \(x = 82\). Ez a második raktárban eredetileg tárolt áru mennyisége.
Az első raktárban levő eredeti mennyiséget pedig az először felírt \(2x+200\) képletbe helyettesítés után kapjuk meg: \(2\cdot 82 +200 = 364\).
Egy raktárban 457 tonna áruval kevesebb van, mint egy másik raktárban lévő áru mennyiségének háromszorosa.
Ha az egyik raktárból 79 tonna árut elvisznek, a másikba pedig 32 tonna árut visznek, a két raktárban ugyanannyi áru lesz.
Hány tonna áru volt eredetileg az egyes raktárakban?
| egyik raktárban | |
| másik raktárban |
A második raktárban levő áru mennyiségét jelöljük \(x\)-szel (tonna egységben). Azért a második raktárban levőét, mert ahhoz viszonyítja a feladat az első raktárban levő mennyiséget (ld. "mint egy másik raktárban").
Ekkor az első raktárban levő áru mennyisége \(3x-457\) tonna.
A szállítások után az egyik raktárban \(3x-457 - 79\), a másikban \(x + 32\) tonna áru lesz.
Az előbbi pontban a két kifejezés egyenlősége adja az egyenletet ("ugyanannyi áru lesz"): \(3x-457 - 79 = x + 32\)
Az egyenlet megoldása: \(x = 284\). Ez a második raktárban eredetileg tárolt áru mennyisége.
Az első raktárban levő eredeti mennyiséget pedig az először felírt \(3x-457\) képletbe helyettesítés után kapjuk meg: \(3\cdot 284 -457 = 395\).
Egy raktárban 118 tonna áruval több van, mint egy másik raktárban lévő áru mennyiségének kétszerese.
Ha az egyik raktárból 52 tonna árut elvisznek, a másikba pedig 92 tonna árut visznek, a két raktárban ugyanannyi áru lesz.
Hány tonna áru volt eredetileg az egyes raktárakban?
| egyik raktárban | |
| másik raktárban |
A második raktárban levő áru mennyiségét jelöljük \(x\)-szel (tonna egységben). Azért a második raktárban levőét, mert ahhoz viszonyítja a feladat az első raktárban levő mennyiséget (ld. "mint egy másik raktárban").
Ekkor az első raktárban levő áru mennyisége \(2x+118\) tonna.
A szállítások után az egyik raktárban \(2x+118 - 52\), a másikban \(x + 92\) tonna áru lesz.
Az előbbi pontban a két kifejezés egyenlősége adja az egyenletet ("ugyanannyi áru lesz"): \(2x+118 - 52 = x + 92\)
Az egyenlet megoldása: \(x = 26\). Ez a második raktárban eredetileg tárolt áru mennyisége.
Az első raktárban levő eredeti mennyiséget pedig az először felírt \(2x+118\) képletbe helyettesítés után kapjuk meg: \(2\cdot 26 +118 = 170\).
Háromszögek
Egy háromszög egy belső szöge \(52^\circ\), egy másik szög külső szöge \(171^\circ\).
Hány fokos a harmadik szöge?
Első megoldás
A külső szög mellett fekvő belső szög a külső szög kiegészítő szöge (180 fokra egészítik ki egymást), azaz \(180^\circ - 171^\circ = 9^\circ\).
Ezután a két ismert belső szög (a megadott \(52^\circ\) és a most kiszámolt \(9^\circ\)) összegét kivonjuk a 180 fokból.
Másik megoldás
Egy háromszög külső szöge megegyezik a nem mellette fekvő két belső szög összegével.
Azaz a megadott külső szög egyenlő a megadott belső és a hiányzó belső szög összegével, tehát a külső szögből kivonjuk a megadott belső szöget: \(171^\circ - 52^\circ\).
Egy háromszög egy belső szöge \(18^\circ\), egy másik szög külső szöge \(19^\circ\).
Hány fokos a harmadik szöge?
Első megoldás
A külső szög mellett fekvő belső szög a külső szög kiegészítő szöge (180 fokra egészítik ki egymást), azaz \(180^\circ - 19^\circ = 161^\circ\).
Ezután a két ismert belső szög (a megadott \(18^\circ\) és a most kiszámolt \(161^\circ\)) összegét kivonjuk a 180 fokból.
Másik megoldás
Egy háromszög külső szöge megegyezik a nem mellette fekvő két belső szög összegével.
Azaz a megadott külső szög egyenlő a megadott belső és a hiányzó belső szög összegével, tehát a külső szögből kivonjuk a megadott belső szöget: \(19^\circ - 18^\circ\).
Egy háromszög egy belső szöge \(5^\circ\), egy másik szög külső szöge \(49^\circ\).
Hány fokos a harmadik szöge?
Első megoldás
A külső szög mellett fekvő belső szög a külső szög kiegészítő szöge (180 fokra egészítik ki egymást), azaz \(180^\circ - 49^\circ = 131^\circ\).
Ezután a két ismert belső szög (a megadott \(5^\circ\) és a most kiszámolt \(131^\circ\)) összegét kivonjuk a 180 fokból.
Másik megoldás
Egy háromszög külső szöge megegyezik a nem mellette fekvő két belső szög összegével.
Azaz a megadott külső szög egyenlő a megadott belső és a hiányzó belső szög összegével, tehát a külső szögből kivonjuk a megadott belső szöget: \(49^\circ - 5^\circ\).
Egy háromszög egy belső szöge \(163^\circ\), egy másik szög külső szöge \(173^\circ\).
Hány fokos a harmadik szöge?
Első megoldás
A külső szög mellett fekvő belső szög a külső szög kiegészítő szöge (180 fokra egészítik ki egymást), azaz \(180^\circ - 173^\circ = 7^\circ\).
Ezután a két ismert belső szög (a megadott \(163^\circ\) és a most kiszámolt \(7^\circ\)) összegét kivonjuk a 180 fokból.
Másik megoldás
Egy háromszög külső szöge megegyezik a nem mellette fekvő két belső szög összegével.
Azaz a megadott külső szög egyenlő a megadott belső és a hiányzó belső szög összegével, tehát a külső szögből kivonjuk a megadott belső szöget: \(173^\circ - 163^\circ\).
Egy háromszög egy belső szöge \(8^\circ\), egy másik szög külső szöge \(29^\circ\).
Hány fokos a harmadik szöge?
Első megoldás
A külső szög mellett fekvő belső szög a külső szög kiegészítő szöge (180 fokra egészítik ki egymást), azaz \(180^\circ - 29^\circ = 151^\circ\).
Ezután a két ismert belső szög (a megadott \(8^\circ\) és a most kiszámolt \(151^\circ\)) összegét kivonjuk a 180 fokból.
Másik megoldás
Egy háromszög külső szöge megegyezik a nem mellette fekvő két belső szög összegével.
Azaz a megadott külső szög egyenlő a megadott belső és a hiányzó belső szög összegével, tehát a külső szögből kivonjuk a megadott belső szöget: \(29^\circ - 8^\circ\).
Logika
Melyik állítás az alábbi állítás tagadása?
Enikő pólója zöld.
A tagadás egy olyan állítás, amely pontosan akkor igaz, ha az eredeti állítás hamis. És persze akkor hamis, amikor az eredeti állítás igaz. Minden konkrét esetre érvényes!
Azaz ha egy tárgy zöld színű, annak nem tagadása az, hogy az a tárgy pl. piros, mivel ha épp kék, akkor az eredeti állítás (zöld) is hamis és az is hamis, hogy piros.
Ha egy tárgy zöld, annak nem tagadása, hogy egy másik tárgy is zöld (vagy épp nem zöld), mivel a két tárgy színe független egymástól.
Összegezve: egy ilyen egyszerű állítás tagadása az, hogy a jelző (jelen esetben a szín) elé egy "nem"-szócskát teszünk.
Melyik állítás az alábbi állítás tagadása?
Daniella pólója fekete.
A tagadás egy olyan állítás, amely pontosan akkor igaz, ha az eredeti állítás hamis. És persze akkor hamis, amikor az eredeti állítás igaz. Minden konkrét esetre érvényes!
Azaz ha egy tárgy fekete színű, annak nem tagadása az, hogy az a tárgy pl. kék, mivel ha épp fehér, akkor az eredeti állítás (fekete) is hamis és az is hamis, hogy kék.
Ha egy tárgy fekete, annak nem tagadása, hogy egy másik tárgy is fekete (vagy épp nem fekete), mivel a két tárgy színe független egymástól.
Összegezve: egy ilyen egyszerű állítás tagadása az, hogy a jelző (jelen esetben a szín) elé egy "nem"-szócskát teszünk.
Melyik állítás az alábbi állítás tagadása?
Enikő táskája zöld.
A tagadás egy olyan állítás, amely pontosan akkor igaz, ha az eredeti állítás hamis. És persze akkor hamis, amikor az eredeti állítás igaz. Minden konkrét esetre érvényes!
Azaz ha egy tárgy zöld színű, annak nem tagadása az, hogy az a tárgy pl. fehér, mivel ha épp kék, akkor az eredeti állítás (zöld) is hamis és az is hamis, hogy fehér.
Ha egy tárgy zöld, annak nem tagadása, hogy egy másik tárgy is zöld (vagy épp nem zöld), mivel a két tárgy színe független egymástól.
Összegezve: egy ilyen egyszerű állítás tagadása az, hogy a jelző (jelen esetben a szín) elé egy "nem"-szócskát teszünk.
Melyik állítás az alábbi állítás tagadása?
Csongor táskája piros.
A tagadás egy olyan állítás, amely pontosan akkor igaz, ha az eredeti állítás hamis. És persze akkor hamis, amikor az eredeti állítás igaz. Minden konkrét esetre érvényes!
Azaz ha egy tárgy piros színű, annak nem tagadása az, hogy az a tárgy pl. fehér, mivel ha épp fekete, akkor az eredeti állítás (piros) is hamis és az is hamis, hogy fehér.
Ha egy tárgy piros, annak nem tagadása, hogy egy másik tárgy is piros (vagy épp nem piros), mivel a két tárgy színe független egymástól.
Összegezve: egy ilyen egyszerű állítás tagadása az, hogy a jelző (jelen esetben a szín) elé egy "nem"-szócskát teszünk.
Melyik állítás az alábbi állítás tagadása?
Albert táskája fehér.
A tagadás egy olyan állítás, amely pontosan akkor igaz, ha az eredeti állítás hamis. És persze akkor hamis, amikor az eredeti állítás igaz. Minden konkrét esetre érvényes!
Azaz ha egy tárgy fehér színű, annak nem tagadása az, hogy az a tárgy pl. kék, mivel ha épp fekete, akkor az eredeti állítás (fehér) is hamis és az is hamis, hogy kék.
Ha egy tárgy fehér, annak nem tagadása, hogy egy másik tárgy is fehér (vagy épp nem fehér), mivel a két tárgy színe független egymástól.
Összegezve: egy ilyen egyszerű állítás tagadása az, hogy a jelző (jelen esetben a szín) elé egy "nem"-szócskát teszünk.
Másodfokú egyenlet
Határozd meg az alábbi egyenlet gyökeit (megoldásait)!
\(-3x^{2}+2,8125 = -1,5x\)
| \(x_1=\) | |
| \(x_2=\) |
(Az \(x_1\) legyen a nagyobbik, \(x_2\) a kisebbik megoldás!)
Az egyenletet először nullára kell redukálni:
\(-3x^{2}+1,5x+2,8125 = 0\) (vagy \(0 = 3x^{2}-1,5x-2,8125\))
Ezután a megoldóképletbe kell behelyettesíteni vagy a számológép megfelelő funkcióját használni.
A megoldások: \(x_1 = 1.25\) és \(x_2 = -0.75\).
Határozd meg az alábbi egyenlet gyökeit (megoldásait)!
\(5x^{2}-52,5x = -136,5625\)
| \(x_1=\) | |
| \(x_2=\) |
(Az \(x_1\) legyen a nagyobbik, \(x_2\) a kisebbik megoldás!)
Az egyenletet először nullára kell redukálni:
\(5x^{2}-52,5x+136,5625 = 0\) (vagy \(0 = -5x^{2}+52,5x-136,5625\))
Ezután a megoldóképletbe kell behelyettesíteni vagy a számológép megfelelő funkcióját használni.
A megoldások: \(x_1 = 5.75\) és \(x_2 = 4.75\).
Határozd meg az alábbi egyenlet gyökeit (megoldásait)!
\(6x^{2}+46,5x = -21,75\)
| \(x_1=\) | |
| \(x_2=\) |
(Az \(x_1\) legyen a nagyobbik, \(x_2\) a kisebbik megoldás!)
Az egyenletet először nullára kell redukálni:
\(6x^{2}+46,5x+21,75 = 0\) (vagy \(0 = -6x^{2}-46,5x-21,75\))
Ezután a megoldóképletbe kell behelyettesíteni vagy a számológép megfelelő funkcióját használni.
A megoldások: \(x_1 = -0.5\) és \(x_2 = -7.25\).
Határozd meg az alábbi egyenlet gyökeit (megoldásait)!
\(76,5x+236,25 = -6x^{2}\)
| \(x_1=\) | |
| \(x_2=\) |
(Az \(x_1\) legyen a nagyobbik, \(x_2\) a kisebbik megoldás!)
Az egyenletet először nullára kell redukálni:
\(6x^{2}+76,5x+236,25 = 0\) (vagy \(0 = -6x^{2}-76,5x-236,25\))
Ezután a megoldóképletbe kell behelyettesíteni vagy a számológép megfelelő funkcióját használni.
A megoldások: \(x_1 = -5.25\) és \(x_2 = -7.5\).
Határozd meg az alábbi egyenlet gyökeit (megoldásait)!
\(4x^{2}+11x = 0\)
| \(x_1=\) | |
| \(x_2=\) |
(Az \(x_1\) legyen a nagyobbik, \(x_2\) a kisebbik megoldás!)
Az egyenletet először nullára kell redukálni:
\(4x^{2}+11x = 0\) (vagy \(0 = -4x^{2}-11x\))
Ezután a megoldóképletbe kell behelyettesíteni vagy a számológép megfelelő funkcióját használni.
A megoldások: \(x_1 = 0\) és \(x_2 = -2.75\).
Exponenciális
Egy radioaktív anyag bomlását az alábbi exponenciális összefüggés írja le:
\(\displaystyle m(t) = m_0\cdot 2^{-t/T_{1/2}}\),
ahol \(m(t)\) a még megmaradt anyag tömege \(t\) időpontban, \(m_0\) a kezdeti anyag tömege, \(T_{1/2}\) a felezési idő, \(t\) az eltelt idő (órában).
Egy radioaktív izotóp kezdetben 1400 mg volt, és felezési ideje 149.5 óra. Mennyi anyag marad 1972.75 óra elteltével? Válaszodat milligrammban, 4 tizedes jegyre kerekítve add meg!
Adatok kigyűjtése
A képletben megjelenő jelöléseket használva:
\(m_0 = 1400\) (mg)
\(T_{1/2} = 149.5\) (óra)
\(t = 1972.75\) (óra)
Behelyettesítés
A megadott képletbe behelyettesítve:
\(m(t) = 1400\cdot 2^{-1972.75 / 149.5}\),
majd kiszámolva: \(m(t) = 0.1492\).
Figyelj arra, hogy a kitevőt rakd zárójelbe, vagy először azt számold ki külön és az eredmény kerüljön a kettő kitevőjébe!
Egy radioaktív anyag bomlását az alábbi exponenciális összefüggés írja le:
\(\displaystyle m(t) = m_0\cdot 2^{-t/T_{1/2}}\),
ahol \(m(t)\) a még megmaradt anyag tömege \(t\) időpontban, \(m_0\) a kezdeti anyag tömege, \(T_{1/2}\) a felezési idő, \(t\) az eltelt idő (órában).
Egy radioaktív izotóp kezdetben 1500 mg volt, és felezési ideje 44.75 óra. Mennyi anyag marad 258.375 óra elteltével? Válaszodat milligrammban, 2 tizedes jegyre kerekítve add meg!
Adatok kigyűjtése
A képletben megjelenő jelöléseket használva:
\(m_0 = 1500\) (mg)
\(T_{1/2} = 44.75\) (óra)
\(t = 258.375\) (óra)
Behelyettesítés
A megadott képletbe behelyettesítve:
\(m(t) = 1500\cdot 2^{-258.375 / 44.75}\),
majd kiszámolva: \(m(t) = 27.42\).
Figyelj arra, hogy a kitevőt rakd zárójelbe, vagy először azt számold ki külön és az eredmény kerüljön a kettő kitevőjébe!
Egy radioaktív anyag bomlását az alábbi exponenciális összefüggés írja le:
\(\displaystyle m(t) = m_0\cdot 2^{-t/T_{1/2}}\),
ahol \(m(t)\) a még megmaradt anyag tömege \(t\) időpontban, \(m_0\) a kezdeti anyag tömege, \(T_{1/2}\) a felezési idő, \(t\) az eltelt idő (órában).
Egy radioaktív izotóp kezdetben 700 mg volt, és felezési ideje 79 óra. Mennyi anyag marad 752.5 óra elteltével? Válaszodat milligrammban, 4 tizedes jegyre kerekítve add meg!
Adatok kigyűjtése
A képletben megjelenő jelöléseket használva:
\(m_0 = 700\) (mg)
\(T_{1/2} = 79\) (óra)
\(t = 752.5\) (óra)
Behelyettesítés
A megadott képletbe behelyettesítve:
\(m(t) = 700\cdot 2^{-752.5 / 79}\),
majd kiszámolva: \(m(t) = 0.9499\).
Figyelj arra, hogy a kitevőt rakd zárójelbe, vagy először azt számold ki külön és az eredmény kerüljön a kettő kitevőjébe!
Egy radioaktív anyag bomlását az alábbi exponenciális összefüggés írja le:
\(\displaystyle m(t) = m_0\cdot 2^{-t/T_{1/2}}\),
ahol \(m(t)\) a még megmaradt anyag tömege \(t\) időpontban, \(m_0\) a kezdeti anyag tömege, \(T_{1/2}\) a felezési idő, \(t\) az eltelt idő (órában).
Egy radioaktív izotóp kezdetben 1600 mg volt, és felezési ideje 128 óra. Mennyi anyag marad 1643 óra elteltével? Válaszodat milligrammban, 4 tizedes jegyre kerekítve add meg!
Adatok kigyűjtése
A képletben megjelenő jelöléseket használva:
\(m_0 = 1600\) (mg)
\(T_{1/2} = 128\) (óra)
\(t = 1643\) (óra)
Behelyettesítés
A megadott képletbe behelyettesítve:
\(m(t) = 1600\cdot 2^{-1643 / 128}\),
majd kiszámolva: \(m(t) = 0.2188\).
Figyelj arra, hogy a kitevőt rakd zárójelbe, vagy először azt számold ki külön és az eredmény kerüljön a kettő kitevőjébe!
Egy radioaktív anyag bomlását az alábbi exponenciális összefüggés írja le:
\(\displaystyle m(t) = m_0\cdot 2^{-t/T_{1/2}}\),
ahol \(m(t)\) a még megmaradt anyag tömege \(t\) időpontban, \(m_0\) a kezdeti anyag tömege, \(T_{1/2}\) a felezési idő, \(t\) az eltelt idő (órában).
Egy radioaktív izotóp kezdetben 1000 mg volt, és felezési ideje 76.25 óra. Mennyi anyag marad 1066.125 óra elteltével? Válaszodat milligrammban, 5 tizedes jegyre kerekítve add meg!
Adatok kigyűjtése
A képletben megjelenő jelöléseket használva:
\(m_0 = 1000\) (mg)
\(T_{1/2} = 76.25\) (óra)
\(t = 1066.125\) (óra)
Behelyettesítés
A megadott képletbe behelyettesítve:
\(m(t) = 1000\cdot 2^{-1066.125 / 76.25}\),
majd kiszámolva: \(m(t) = 0.0618\).
Figyelj arra, hogy a kitevőt rakd zárójelbe, vagy először azt számold ki külön és az eredmény kerüljön a kettő kitevőjébe!
Kombinatorika
Egy kártyapakliban összesen 11 kártya van. Kezdeti kiosztáskor mindenki 5 lapot kap, a maradék 1 lap talonba kerül.
Hányféle kezdeti kiosztás lehetséges?
Összesen \(11 - 1 = 10\) kártyát osztanak ki úgy, hogy mindenki 5 kártyát kap, azaz \(\frac{10}{5} = 2\) fő játszik.
Az első játékos a teljes pakliból kap, ez \(\left(\begin{array}{c} 11 \\ 5 \end{array} \right)\)-féleképpen lehet, hiszen a kiosztás sorrendje nem számít.
A második játékos már csak \(6\) lapból kaphat (hiszen 5 lapot már kiosztottunk), ez \(\left(\begin{array}{c} 6 \\ 5 \end{array} \right)\)-féleképpen lehetséges.
És így tovább, a lehetőségeket pedig össze kell szorozni (hiszen és kötőszóval kapcsoljuk össze a lépéseket):
\(\left(\begin{array}{c} 11 \\ 5 \end{array} \right)\cdot\left(\begin{array}{c} 6 \\ 5 \end{array} \right) = 2772\)
Egy kártyapakliban összesen 16 kártya van. Kezdeti kiosztáskor mindenki 3 lapot kap, a maradék 1 lap talonba kerül.
Hányféle kezdeti kiosztás lehetséges?
Összesen \(16 - 1 = 15\) kártyát osztanak ki úgy, hogy mindenki 3 kártyát kap, azaz \(\frac{15}{3} = 5\) fő játszik.
Az első játékos a teljes pakliból kap, ez \(\left(\begin{array}{c} 16 \\ 3 \end{array} \right)\)-féleképpen lehet, hiszen a kiosztás sorrendje nem számít.
A második játékos már csak \(13\) lapból kaphat (hiszen 3 lapot már kiosztottunk), ez \(\left(\begin{array}{c} 13 \\ 3 \end{array} \right)\)-féleképpen lehetséges.
És így tovább, a lehetőségeket pedig össze kell szorozni (hiszen és kötőszóval kapcsoljuk össze a lépéseket):
\(\left(\begin{array}{c} 16 \\ 3 \end{array} \right)\cdot\left(\begin{array}{c} 13 \\ 3 \end{array} \right)\cdot\left(\begin{array}{c} 10 \\ 3 \end{array} \right)\cdot\left(\begin{array}{c} 7 \\ 3 \end{array} \right)\cdot\left(\begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array} \right) = 2690688000\)
Egy kártyapakliban összesen 18 kártya van. Kezdeti kiosztáskor mindenki 4 lapot kap, a maradék 2 lap talonba kerül.
Hányféle kezdeti kiosztás lehetséges?
Összesen \(18 - 2 = 16\) kártyát osztanak ki úgy, hogy mindenki 4 kártyát kap, azaz \(\frac{16}{4} = 4\) fő játszik.
Az első játékos a teljes pakliból kap, ez \(\left(\begin{array}{c} 18 \\ 4 \end{array} \right)\)-féleképpen lehet, hiszen a kiosztás sorrendje nem számít.
A második játékos már csak \(14\) lapból kaphat (hiszen 4 lapot már kiosztottunk), ez \(\left(\begin{array}{c} 14 \\ 4 \end{array} \right)\)-féleképpen lehetséges.
És így tovább, a lehetőségeket pedig össze kell szorozni (hiszen és kötőszóval kapcsoljuk össze a lépéseket):
\(\left(\begin{array}{c} 18 \\ 4 \end{array} \right)\cdot\left(\begin{array}{c} 14 \\ 4 \end{array} \right)\cdot\left(\begin{array}{c} 10 \\ 4 \end{array} \right)\cdot\left(\begin{array}{c} 6 \\ 4 \end{array} \right) = 9648639000\)
Egy kártyapakliban összesen 11 kártya van. Kezdeti kiosztáskor mindenki 5 lapot kap, a maradék 1 lap talonba kerül.
Hányféle kezdeti kiosztás lehetséges?
Összesen \(11 - 1 = 10\) kártyát osztanak ki úgy, hogy mindenki 5 kártyát kap, azaz \(\frac{10}{5} = 2\) fő játszik.
Az első játékos a teljes pakliból kap, ez \(\left(\begin{array}{c} 11 \\ 5 \end{array} \right)\)-féleképpen lehet, hiszen a kiosztás sorrendje nem számít.
A második játékos már csak \(6\) lapból kaphat (hiszen 5 lapot már kiosztottunk), ez \(\left(\begin{array}{c} 6 \\ 5 \end{array} \right)\)-féleképpen lehetséges.
És így tovább, a lehetőségeket pedig össze kell szorozni (hiszen és kötőszóval kapcsoljuk össze a lépéseket):
\(\left(\begin{array}{c} 11 \\ 5 \end{array} \right)\cdot\left(\begin{array}{c} 6 \\ 5 \end{array} \right) = 2772\)
Egy kártyapakliban összesen 18 kártya van. Kezdeti kiosztáskor mindenki 4 lapot kap, a maradék 2 lap talonba kerül.
Hányféle kezdeti kiosztás lehetséges?
Összesen \(18 - 2 = 16\) kártyát osztanak ki úgy, hogy mindenki 4 kártyát kap, azaz \(\frac{16}{4} = 4\) fő játszik.
Az első játékos a teljes pakliból kap, ez \(\left(\begin{array}{c} 18 \\ 4 \end{array} \right)\)-féleképpen lehet, hiszen a kiosztás sorrendje nem számít.
A második játékos már csak \(14\) lapból kaphat (hiszen 4 lapot már kiosztottunk), ez \(\left(\begin{array}{c} 14 \\ 4 \end{array} \right)\)-féleképpen lehetséges.
És így tovább, a lehetőségeket pedig össze kell szorozni (hiszen és kötőszóval kapcsoljuk össze a lépéseket):
\(\left(\begin{array}{c} 18 \\ 4 \end{array} \right)\cdot\left(\begin{array}{c} 14 \\ 4 \end{array} \right)\cdot\left(\begin{array}{c} 10 \\ 4 \end{array} \right)\cdot\left(\begin{array}{c} 6 \\ 4 \end{array} \right) = 9648639000\)
Sorozatok
Egy tartalomgyártó úgy dönt, hogy egy nagyobb projekt keretében 4 hónapon át minden héten elkészít egy videót, amelyek hossza fokozatosan növekszik. Az első videó 5 perc, minden következő videó pedig 36 másodperccel hosszabb, mint az előző.
Mivel a projekt 16 hétig tart, a készítő szeretné tudni, hány percnyi videót gyárt összesen ez alatt a 16 hét alatt, hogy ezt feltüntethesse a közönségének szóló összefoglalóban.
A videók hossza egy számtani sorozatot alkot, amelynek első tagja \(a_1 = 5\) (perc), a differenciája pedig \(d = \frac{36}{60} = 0.6\) (perc).
A feladat az összes 16 videó összhosszát kérdezi, azaz a kérdés most az \(S_n\).
A képlet szerint: \(S_{16} = 16\cdot \frac{2\cdot 5 + (16 - 1)\cdot 0.6}{2}\)
Kiszámolva: 152 perc.
Megjegyzés: természetesen fel lehet írni az összes tagot egyesével és azokat összeadni:
\(5 + 5.6 + 6.2 + 6.8 + 7.4 + 8 + 8.6 + 9.2 + 9.8 + 10.4 + 11 + 11.6 + 12.2 + 12.8 + 13.4 + 14 = 152\).
Egy tartalomgyártó úgy dönt, hogy egy nagyobb projekt keretében 4 hónapon át minden héten elkészít egy videót, amelyek hossza fokozatosan növekszik. Az első videó 6 perc, minden következő videó pedig 30 másodperccel hosszabb, mint az előző.
Mivel a projekt 16 hétig tart, a készítő szeretné tudni, hány percnyi videót gyárt összesen ez alatt a 16 hét alatt, hogy ezt feltüntethesse a közönségének szóló összefoglalóban.
A videók hossza egy számtani sorozatot alkot, amelynek első tagja \(a_1 = 6\) (perc), a differenciája pedig \(d = \frac{30}{60} = 0.5\) (perc).
A feladat az összes 16 videó összhosszát kérdezi, azaz a kérdés most az \(S_n\).
A képlet szerint: \(S_{16} = 16\cdot \frac{2\cdot 6 + (16 - 1)\cdot 0.5}{2}\)
Kiszámolva: 156 perc.
Megjegyzés: természetesen fel lehet írni az összes tagot egyesével és azokat összeadni:
\(6 + 6.5 + 7 + 7.5 + 8 + 8.5 + 9 + 9.5 + 10 + 10.5 + 11 + 11.5 + 12 + 12.5 + 13 + 13.5 = 156\).
Egy tartalomgyártó úgy dönt, hogy egy nagyobb projekt keretében 5 hónapon át minden héten elkészít egy videót, amelyek hossza fokozatosan növekszik. Az első videó 6 perc, minden következő videó pedig 45 másodperccel hosszabb, mint az előző.
Mivel a projekt 20 hétig tart, a készítő szeretné tudni, hány percnyi videót gyárt összesen ez alatt a 20 hét alatt, hogy ezt feltüntethesse a közönségének szóló összefoglalóban.
A videók hossza egy számtani sorozatot alkot, amelynek első tagja \(a_1 = 6\) (perc), a differenciája pedig \(d = \frac{45}{60} = 0.75\) (perc).
A feladat az összes 20 videó összhosszát kérdezi, azaz a kérdés most az \(S_n\).
A képlet szerint: \(S_{20} = 20\cdot \frac{2\cdot 6 + (20 - 1)\cdot 0.75}{2}\)
Kiszámolva: 262.5 perc.
Megjegyzés: természetesen fel lehet írni az összes tagot egyesével és azokat összeadni:
\(6 + 6.75 + 7.5 + 8.25 + 9 + 9.75 + 10.5 + 11.25 + 12 + 12.75 + 13.5 + 14.25 + 15 + 15.75 + 16.5 + 17.25 + 18 + 18.75 + 19.5 + 20.25 = 262.5\).
Egy tartalomgyártó úgy dönt, hogy egy nagyobb projekt keretében 6 hónapon át minden héten elkészít egy videót, amelyek hossza fokozatosan növekszik. Az első videó 3 perc, minden következő videó pedig 18 másodperccel hosszabb, mint az előző.
Mivel a projekt 24 hétig tart, a készítő szeretné tudni, hány percnyi videót gyárt összesen ez alatt a 24 hét alatt, hogy ezt feltüntethesse a közönségének szóló összefoglalóban.
A videók hossza egy számtani sorozatot alkot, amelynek első tagja \(a_1 = 3\) (perc), a differenciája pedig \(d = \frac{18}{60} = 0.3\) (perc).
A feladat az összes 24 videó összhosszát kérdezi, azaz a kérdés most az \(S_n\).
A képlet szerint: \(S_{24} = 24\cdot \frac{2\cdot 3 + (24 - 1)\cdot 0.3}{2}\)
Kiszámolva: 154.8 perc.
Megjegyzés: természetesen fel lehet írni az összes tagot egyesével és azokat összeadni:
\(3 + 3.3 + 3.6 + 3.9 + 4.2 + 4.5 + 4.8 + 5.1 + 5.4 + 5.7 + 6 + 6.3 + 6.6 + 6.9 + 7.2 + 7.5 + 7.8 + 8.1 + 8.4 + 8.7 + 9 + 9.3 + 9.6 + 9.9 = 154.8\).
Egy tartalomgyártó úgy dönt, hogy egy nagyobb projekt keretében 4 hónapon át minden héten elkészít egy videót, amelyek hossza fokozatosan növekszik. Az első videó 5 perc, minden következő videó pedig 33 másodperccel hosszabb, mint az előző.
Mivel a projekt 16 hétig tart, a készítő szeretné tudni, hány percnyi videót gyárt összesen ez alatt a 16 hét alatt, hogy ezt feltüntethesse a közönségének szóló összefoglalóban.
A videók hossza egy számtani sorozatot alkot, amelynek első tagja \(a_1 = 5\) (perc), a differenciája pedig \(d = \frac{33}{60} = 0.55\) (perc).
A feladat az összes 16 videó összhosszát kérdezi, azaz a kérdés most az \(S_n\).
A képlet szerint: \(S_{16} = 16\cdot \frac{2\cdot 5 + (16 - 1)\cdot 0.55}{2}\)
Kiszámolva: 146 perc.
Megjegyzés: természetesen fel lehet írni az összes tagot egyesével és azokat összeadni:
\(5 + 5.55 + 6.1 + 6.65 + 7.2 + 7.75 + 8.3 + 8.85 + 9.4 + 9.95 + 10.5 + 11.05 + 11.6 + 12.15 + 12.7 + 13.25 = 146\).
Térgeometria
A holdkutató robot hátán egy különleges üzemanyagtartály van. A tartály teste henger alakú, sugara 15 cm, magassága 43 cm, tetejét pedig egy kúp alakú zárófedél fedi, amelynek magassága 4 cm.
A mérnökök tudni szeretnék, hogy
mennyi üzemanyag fér a tartályba, köbcentiméter mértékegységben:
és mekkora felületet kell hőálló bevonattal ellátni négyzetcentiméter mértékegységben (a henger alját nem kell számítani):
A mérnököknek elegendő egy tizedes jegyre kerekített érték!
A test két egyszerű testből áll össze: egy hengerből és egy kúpból.
A henger adatai: \(r = 15\), \(m_h = 43\).
A kúp adatai: \(r = 15\), \(m_k = 4\).
Térfogat
A henger térfogata: \(V_h = r^2\pi m_h = 15^2\cdot\pi\cdot 43\approx 30394.91\)
A kúp térfogata: \(V_k = \frac{r^2\pi m_k}{3} = \frac{15^2\pi 4}{3}\approx 942.48\)
A keresett térfogat a két térfogat összege: \(V = V_h + V_k = 30394.91 + 942.48 \approx 31337.4\)
Felszín
A kúp és a henger felszínéből is csak a palástok felszíne kell, az alapkör területe nem!
Henger palástja: \(A_h = 2r\pi m = 2\cdot 15\pi\cdot 43\approx 4052.65\)
A kúp palástjához először ki kell számolni a kúp alkotóját. A kúp magasságával és az alkotójával együtt derékszögű háromszöget alkotnak, azaz:
\(m^2 + r^2 = a^2\), vagyis \(4^2 + 15^2 = a^2\), ebből \(a\approx 15.524\).
A kúp palástja: \(A_k = r\pi a = 15\pi \cdot 15.524 \approx 731.55\).
A két terület együtt: \(A = A_h + A_k = 4052.65 + 731.55\approx 4784.2\).
A holdkutató robot hátán egy különleges üzemanyagtartály van. A tartály teste henger alakú, sugara 26 cm, magassága 60 cm, tetejét pedig egy kúp alakú zárófedél fedi, amelynek magassága 12 cm.
A mérnökök tudni szeretnék, hogy
mennyi üzemanyag fér a tartályba, köbcentiméter mértékegységben:
és mekkora felületet kell hőálló bevonattal ellátni négyzetcentiméter mértékegységben (a henger alját nem kell számítani):
A mérnököknek elegendő egy tizedes jegyre kerekített érték!
A test két egyszerű testből áll össze: egy hengerből és egy kúpból.
A henger adatai: \(r = 26\), \(m_h = 60\).
A kúp adatai: \(r = 26\), \(m_k = 12\).
Térfogat
A henger térfogata: \(V_h = r^2\pi m_h = 26^2\cdot\pi\cdot 60\approx 127423\)
A kúp térfogata: \(V_k = \frac{r^2\pi m_k}{3} = \frac{26^2\pi 12}{3}\approx 8494.87\)
A keresett térfogat a két térfogat összege: \(V = V_h + V_k = 127423 + 8494.87 \approx 135917.9\)
Felszín
A kúp és a henger felszínéből is csak a palástok felszíne kell, az alapkör területe nem!
Henger palástja: \(A_h = 2r\pi m = 2\cdot 26\pi\cdot 60\approx 9801.77\)
A kúp palástjához először ki kell számolni a kúp alkotóját. A kúp magasságával és az alkotójával együtt derékszögű háromszöget alkotnak, azaz:
\(m^2 + r^2 = a^2\), vagyis \(12^2 + 26^2 = a^2\), ebből \(a\approx 28.636\).
A kúp palástja: \(A_k = r\pi a = 26\pi \cdot 28.636 \approx 2339.03\).
A két terület együtt: \(A = A_h + A_k = 9801.77 + 2339.03\approx 12140.8\).
A holdkutató robot hátán egy különleges üzemanyagtartály van. A tartály teste henger alakú, sugara 11 cm, magassága 22 cm, tetejét pedig egy kúp alakú zárófedél fedi, amelynek magassága 14 cm.
A mérnökök tudni szeretnék, hogy
mennyi üzemanyag fér a tartályba, köbcentiméter mértékegységben:
és mekkora felületet kell hőálló bevonattal ellátni négyzetcentiméter mértékegységben (a henger alját nem kell számítani):
A mérnököknek elegendő egy tizedes jegyre kerekített érték!
A test két egyszerű testből áll össze: egy hengerből és egy kúpból.
A henger adatai: \(r = 11\), \(m_h = 22\).
A kúp adatai: \(r = 11\), \(m_k = 14\).
Térfogat
A henger térfogata: \(V_h = r^2\pi m_h = 11^2\cdot\pi\cdot 22\approx 8362.92\)
A kúp térfogata: \(V_k = \frac{r^2\pi m_k}{3} = \frac{11^2\pi 14}{3}\approx 1773.95\)
A keresett térfogat a két térfogat összege: \(V = V_h + V_k = 8362.92 + 1773.95 \approx 10136.9\)
Felszín
A kúp és a henger felszínéből is csak a palástok felszíne kell, az alapkör területe nem!
Henger palástja: \(A_h = 2r\pi m = 2\cdot 11\pi\cdot 22\approx 1520.53\)
A kúp palástjához először ki kell számolni a kúp alkotóját. A kúp magasságával és az alkotójával együtt derékszögű háromszöget alkotnak, azaz:
\(m^2 + r^2 = a^2\), vagyis \(14^2 + 11^2 = a^2\), ebből \(a\approx 17.804\).
A kúp palástja: \(A_k = r\pi a = 11\pi \cdot 17.804 \approx 615.26\).
A két terület együtt: \(A = A_h + A_k = 1520.53 + 615.26\approx 2135.8\).
A holdkutató robot hátán egy különleges üzemanyagtartály van. A tartály teste henger alakú, sugara 26 cm, magassága 61 cm, tetejét pedig egy kúp alakú zárófedél fedi, amelynek magassága 11 cm.
A mérnökök tudni szeretnék, hogy
mennyi üzemanyag fér a tartályba, köbcentiméter mértékegységben:
és mekkora felületet kell hőálló bevonattal ellátni négyzetcentiméter mértékegységben (a henger alját nem kell számítani):
A mérnököknek elegendő egy tizedes jegyre kerekített érték!
A test két egyszerű testből áll össze: egy hengerből és egy kúpból.
A henger adatai: \(r = 26\), \(m_h = 61\).
A kúp adatai: \(r = 26\), \(m_k = 11\).
Térfogat
A henger térfogata: \(V_h = r^2\pi m_h = 26^2\cdot\pi\cdot 61\approx 129546.71\)
A kúp térfogata: \(V_k = \frac{r^2\pi m_k}{3} = \frac{26^2\pi 11}{3}\approx 7786.96\)
A keresett térfogat a két térfogat összege: \(V = V_h + V_k = 129546.71 + 7786.96 \approx 137333.7\)
Felszín
A kúp és a henger felszínéből is csak a palástok felszíne kell, az alapkör területe nem!
Henger palástja: \(A_h = 2r\pi m = 2\cdot 26\pi\cdot 61\approx 9965.13\)
A kúp palástjához először ki kell számolni a kúp alkotóját. A kúp magasságával és az alkotójával együtt derékszögű háromszöget alkotnak, azaz:
\(m^2 + r^2 = a^2\), vagyis \(11^2 + 26^2 = a^2\), ebből \(a\approx 28.231\).
A kúp palástja: \(A_k = r\pi a = 26\pi \cdot 28.231 \approx 2305.95\).
A két terület együtt: \(A = A_h + A_k = 9965.13 + 2305.95\approx 12271.1\).
A holdkutató robot hátán egy különleges üzemanyagtartály van. A tartály teste henger alakú, sugara 22 cm, magassága 66 cm, tetejét pedig egy kúp alakú zárófedél fedi, amelynek magassága 14 cm.
A mérnökök tudni szeretnék, hogy
mennyi üzemanyag fér a tartályba, köbcentiméter mértékegységben:
és mekkora felületet kell hőálló bevonattal ellátni négyzetcentiméter mértékegységben (a henger alját nem kell számítani):
A mérnököknek elegendő egy tizedes jegyre kerekített érték!
A test két egyszerű testből áll össze: egy hengerből és egy kúpból.
A henger adatai: \(r = 22\), \(m_h = 66\).
A kúp adatai: \(r = 22\), \(m_k = 14\).
Térfogat
A henger térfogata: \(V_h = r^2\pi m_h = 22^2\cdot\pi\cdot 66\approx 100355.04\)
A kúp térfogata: \(V_k = \frac{r^2\pi m_k}{3} = \frac{22^2\pi 14}{3}\approx 7095.81\)
A keresett térfogat a két térfogat összege: \(V = V_h + V_k = 100355.04 + 7095.81 \approx 107450.9\)
Felszín
A kúp és a henger felszínéből is csak a palástok felszíne kell, az alapkör területe nem!
Henger palástja: \(A_h = 2r\pi m = 2\cdot 22\pi\cdot 66\approx 9123.19\)
A kúp palástjához először ki kell számolni a kúp alkotóját. A kúp magasságával és az alkotójával együtt derékszögű háromszöget alkotnak, azaz:
\(m^2 + r^2 = a^2\), vagyis \(14^2 + 22^2 = a^2\), ebből \(a\approx 26.077\).
A kúp palástja: \(A_k = r\pi a = 22\pi \cdot 26.077 \approx 1802.31\).
A két terület együtt: \(A = A_h + A_k = 9123.19 + 1802.31\approx 10925.5\).