MatekStream betekintő
Szöveges feladat
Egy raktárban 376 darab áruval kevesebb van, mint egy másik raktárban lévő áru mennyiségének ötszöröse.
Ha az egyik raktárból 27 darab árut elvisznek, a másikba pedig 33 darab árut visznek, a két raktárban ugyanannyi áru lesz.
Hány darab áru volt eredetileg az egyes raktárakban?
| egyik raktárban | |
| másik raktárban |
A második raktárban levő áru mennyiségét jelöljük \(x\)-szel (darab egységben). Azért a második raktárban levőét, mert ahhoz viszonyítja a feladat az első raktárban levő mennyiséget (ld. "mint egy másik raktárban").
Ekkor az első raktárban levő áru mennyisége \(5x-376\) darab.
A szállítások után az egyik raktárban \(5x-376 - 27\), a másikban \(x + 33\) darab áru lesz.
Az előbbi pontban a két kifejezés egyenlősége adja az egyenletet ("ugyanannyi áru lesz"): \(5x-376 - 27 = x + 33\)
Az egyenlet megoldása: \(x = 109\). Ez a második raktárban eredetileg tárolt áru mennyisége.
Az első raktárban levő eredeti mennyiséget pedig az először felírt \(5x-376\) képletbe helyettesítés után kapjuk meg: \(5\cdot 109 -376 = 169\).
Egy raktárban 404 darab áruval több van, mint egy másik raktárban lévő áru mennyiségének háromszorosa.
Ha az egyik raktárból 21 darab árut elvisznek, a másikba pedig 409 darab árut visznek, a két raktárban ugyanannyi áru lesz.
Hány darab áru volt eredetileg az egyes raktárakban?
| egyik raktárban | |
| másik raktárban |
A második raktárban levő áru mennyiségét jelöljük \(x\)-szel (darab egységben). Azért a második raktárban levőét, mert ahhoz viszonyítja a feladat az első raktárban levő mennyiséget (ld. "mint egy másik raktárban").
Ekkor az első raktárban levő áru mennyisége \(3x+404\) darab.
A szállítások után az egyik raktárban \(3x+404 - 21\), a másikban \(x + 409\) darab áru lesz.
Az előbbi pontban a két kifejezés egyenlősége adja az egyenletet ("ugyanannyi áru lesz"): \(3x+404 - 21 = x + 409\)
Az egyenlet megoldása: \(x = 13\). Ez a második raktárban eredetileg tárolt áru mennyisége.
Az első raktárban levő eredeti mennyiséget pedig az először felírt \(3x+404\) képletbe helyettesítés után kapjuk meg: \(3\cdot 13 +404 = 443\).
Egy raktárban 248 darab áruval kevesebb van, mint egy másik raktárban lévő áru mennyiségének négyszerese.
Ha az egyik raktárból 58 darab árut elvisznek, a másikba pedig 174 darab árut visznek, a két raktárban ugyanannyi áru lesz.
Hány darab áru volt eredetileg az egyes raktárakban?
| egyik raktárban | |
| másik raktárban |
A második raktárban levő áru mennyiségét jelöljük \(x\)-szel (darab egységben). Azért a második raktárban levőét, mert ahhoz viszonyítja a feladat az első raktárban levő mennyiséget (ld. "mint egy másik raktárban").
Ekkor az első raktárban levő áru mennyisége \(4x-248\) darab.
A szállítások után az egyik raktárban \(4x-248 - 58\), a másikban \(x + 174\) darab áru lesz.
Az előbbi pontban a két kifejezés egyenlősége adja az egyenletet ("ugyanannyi áru lesz"): \(4x-248 - 58 = x + 174\)
Az egyenlet megoldása: \(x = 160\). Ez a második raktárban eredetileg tárolt áru mennyisége.
Az első raktárban levő eredeti mennyiséget pedig az először felírt \(4x-248\) képletbe helyettesítés után kapjuk meg: \(4\cdot 160 -248 = 392\).
Egy raktárban 346 darab áruval kevesebb van, mint egy másik raktárban lévő áru mennyiségének háromszorosa.
Ha az egyik raktárból 36 darab árut elvisznek, a másikba pedig 160 darab árut visznek, a két raktárban ugyanannyi áru lesz.
Hány darab áru volt eredetileg az egyes raktárakban?
| egyik raktárban | |
| másik raktárban |
A második raktárban levő áru mennyiségét jelöljük \(x\)-szel (darab egységben). Azért a második raktárban levőét, mert ahhoz viszonyítja a feladat az első raktárban levő mennyiséget (ld. "mint egy másik raktárban").
Ekkor az első raktárban levő áru mennyisége \(3x-346\) darab.
A szállítások után az egyik raktárban \(3x-346 - 36\), a másikban \(x + 160\) darab áru lesz.
Az előbbi pontban a két kifejezés egyenlősége adja az egyenletet ("ugyanannyi áru lesz"): \(3x-346 - 36 = x + 160\)
Az egyenlet megoldása: \(x = 271\). Ez a második raktárban eredetileg tárolt áru mennyisége.
Az első raktárban levő eredeti mennyiséget pedig az először felírt \(3x-346\) képletbe helyettesítés után kapjuk meg: \(3\cdot 271 -346 = 467\).
Egy raktárban 260 tonna áruval több van, mint egy másik raktárban lévő áru mennyiségének háromszorosa.
Ha az egyik raktárból 60 tonna árut elvisznek, a másikba pedig 380 tonna árut visznek, a két raktárban ugyanannyi áru lesz.
Hány tonna áru volt eredetileg az egyes raktárakban?
| egyik raktárban | |
| másik raktárban |
A második raktárban levő áru mennyiségét jelöljük \(x\)-szel (tonna egységben). Azért a második raktárban levőét, mert ahhoz viszonyítja a feladat az első raktárban levő mennyiséget (ld. "mint egy másik raktárban").
Ekkor az első raktárban levő áru mennyisége \(3x+260\) tonna.
A szállítások után az egyik raktárban \(3x+260 - 60\), a másikban \(x + 380\) tonna áru lesz.
Az előbbi pontban a két kifejezés egyenlősége adja az egyenletet ("ugyanannyi áru lesz"): \(3x+260 - 60 = x + 380\)
Az egyenlet megoldása: \(x = 90\). Ez a második raktárban eredetileg tárolt áru mennyisége.
Az első raktárban levő eredeti mennyiséget pedig az először felírt \(3x+260\) képletbe helyettesítés után kapjuk meg: \(3\cdot 90 +260 = 530\).
Háromszögek
Egy háromszög egy belső szöge \(85^\circ\), egy másik szög külső szöge \(98^\circ\).
Hány fokos a harmadik szöge?
Első megoldás
A külső szög mellett fekvő belső szög a külső szög kiegészítő szöge (180 fokra egészítik ki egymást), azaz \(180^\circ - 98^\circ = 82^\circ\).
Ezután a két ismert belső szög (a megadott \(85^\circ\) és a most kiszámolt \(82^\circ\)) összegét kivonjuk a 180 fokból.
Másik megoldás
Egy háromszög külső szöge megegyezik a nem mellette fekvő két belső szög összegével.
Azaz a megadott külső szög egyenlő a megadott belső és a hiányzó belső szög összegével, tehát a külső szögből kivonjuk a megadott belső szöget: \(98^\circ - 85^\circ\).
Egy háromszög egy belső szöge \(24^\circ\), egy másik szög külső szöge \(58^\circ\).
Hány fokos a harmadik szöge?
Első megoldás
A külső szög mellett fekvő belső szög a külső szög kiegészítő szöge (180 fokra egészítik ki egymást), azaz \(180^\circ - 58^\circ = 122^\circ\).
Ezután a két ismert belső szög (a megadott \(24^\circ\) és a most kiszámolt \(122^\circ\)) összegét kivonjuk a 180 fokból.
Másik megoldás
Egy háromszög külső szöge megegyezik a nem mellette fekvő két belső szög összegével.
Azaz a megadott külső szög egyenlő a megadott belső és a hiányzó belső szög összegével, tehát a külső szögből kivonjuk a megadott belső szöget: \(58^\circ - 24^\circ\).
Egy háromszög egy belső szöge \(29^\circ\), egy másik szög külső szöge \(54^\circ\).
Hány fokos a harmadik szöge?
Első megoldás
A külső szög mellett fekvő belső szög a külső szög kiegészítő szöge (180 fokra egészítik ki egymást), azaz \(180^\circ - 54^\circ = 126^\circ\).
Ezután a két ismert belső szög (a megadott \(29^\circ\) és a most kiszámolt \(126^\circ\)) összegét kivonjuk a 180 fokból.
Másik megoldás
Egy háromszög külső szöge megegyezik a nem mellette fekvő két belső szög összegével.
Azaz a megadott külső szög egyenlő a megadott belső és a hiányzó belső szög összegével, tehát a külső szögből kivonjuk a megadott belső szöget: \(54^\circ - 29^\circ\).
Egy háromszög egy belső szöge \(4^\circ\), egy másik szög külső szöge \(80^\circ\).
Hány fokos a harmadik szöge?
Első megoldás
A külső szög mellett fekvő belső szög a külső szög kiegészítő szöge (180 fokra egészítik ki egymást), azaz \(180^\circ - 80^\circ = 100^\circ\).
Ezután a két ismert belső szög (a megadott \(4^\circ\) és a most kiszámolt \(100^\circ\)) összegét kivonjuk a 180 fokból.
Másik megoldás
Egy háromszög külső szöge megegyezik a nem mellette fekvő két belső szög összegével.
Azaz a megadott külső szög egyenlő a megadott belső és a hiányzó belső szög összegével, tehát a külső szögből kivonjuk a megadott belső szöget: \(80^\circ - 4^\circ\).
Egy háromszög egy belső szöge \(9^\circ\), egy másik szög külső szöge \(148^\circ\).
Hány fokos a harmadik szöge?
Első megoldás
A külső szög mellett fekvő belső szög a külső szög kiegészítő szöge (180 fokra egészítik ki egymást), azaz \(180^\circ - 148^\circ = 32^\circ\).
Ezután a két ismert belső szög (a megadott \(9^\circ\) és a most kiszámolt \(32^\circ\)) összegét kivonjuk a 180 fokból.
Másik megoldás
Egy háromszög külső szöge megegyezik a nem mellette fekvő két belső szög összegével.
Azaz a megadott külső szög egyenlő a megadott belső és a hiányzó belső szög összegével, tehát a külső szögből kivonjuk a megadott belső szöget: \(148^\circ - 9^\circ\).
Logika
Melyik állítás az alábbi állítás tagadása?
Csongor táskája fehér.
A tagadás egy olyan állítás, amely pontosan akkor igaz, ha az eredeti állítás hamis. És persze akkor hamis, amikor az eredeti állítás igaz. Minden konkrét esetre érvényes!
Azaz ha egy tárgy fehér színű, annak nem tagadása az, hogy az a tárgy pl. piros, mivel ha épp kék, akkor az eredeti állítás (fehér) is hamis és az is hamis, hogy piros.
Ha egy tárgy fehér, annak nem tagadása, hogy egy másik tárgy is fehér (vagy épp nem fehér), mivel a két tárgy színe független egymástól.
Összegezve: egy ilyen egyszerű állítás tagadása az, hogy a jelző (jelen esetben a szín) elé egy "nem"-szócskát teszünk.
Melyik állítás az alábbi állítás tagadása?
Enikő hátizsákja kék.
A tagadás egy olyan állítás, amely pontosan akkor igaz, ha az eredeti állítás hamis. És persze akkor hamis, amikor az eredeti állítás igaz. Minden konkrét esetre érvényes!
Azaz ha egy tárgy kék színű, annak nem tagadása az, hogy az a tárgy pl. zöld, mivel ha épp piros, akkor az eredeti állítás (kék) is hamis és az is hamis, hogy zöld.
Ha egy tárgy kék, annak nem tagadása, hogy egy másik tárgy is kék (vagy épp nem kék), mivel a két tárgy színe független egymástól.
Összegezve: egy ilyen egyszerű állítás tagadása az, hogy a jelző (jelen esetben a szín) elé egy "nem"-szócskát teszünk.
Melyik állítás az alábbi állítás tagadása?
Daniella hátizsákja zöld.
A tagadás egy olyan állítás, amely pontosan akkor igaz, ha az eredeti állítás hamis. És persze akkor hamis, amikor az eredeti állítás igaz. Minden konkrét esetre érvényes!
Azaz ha egy tárgy zöld színű, annak nem tagadása az, hogy az a tárgy pl. fekete, mivel ha épp kék, akkor az eredeti állítás (zöld) is hamis és az is hamis, hogy fekete.
Ha egy tárgy zöld, annak nem tagadása, hogy egy másik tárgy is zöld (vagy épp nem zöld), mivel a két tárgy színe független egymástól.
Összegezve: egy ilyen egyszerű állítás tagadása az, hogy a jelző (jelen esetben a szín) elé egy "nem"-szócskát teszünk.
Melyik állítás az alábbi állítás tagadása?
Enikő pólója piros.
A tagadás egy olyan állítás, amely pontosan akkor igaz, ha az eredeti állítás hamis. És persze akkor hamis, amikor az eredeti állítás igaz. Minden konkrét esetre érvényes!
Azaz ha egy tárgy piros színű, annak nem tagadása az, hogy az a tárgy pl. zöld, mivel ha épp fekete, akkor az eredeti állítás (piros) is hamis és az is hamis, hogy zöld.
Ha egy tárgy piros, annak nem tagadása, hogy egy másik tárgy is piros (vagy épp nem piros), mivel a két tárgy színe független egymástól.
Összegezve: egy ilyen egyszerű állítás tagadása az, hogy a jelző (jelen esetben a szín) elé egy "nem"-szócskát teszünk.
Melyik állítás az alábbi állítás tagadása?
Bertold táskája zöld.
A tagadás egy olyan állítás, amely pontosan akkor igaz, ha az eredeti állítás hamis. És persze akkor hamis, amikor az eredeti állítás igaz. Minden konkrét esetre érvényes!
Azaz ha egy tárgy zöld színű, annak nem tagadása az, hogy az a tárgy pl. fehér, mivel ha épp kék, akkor az eredeti állítás (zöld) is hamis és az is hamis, hogy fehér.
Ha egy tárgy zöld, annak nem tagadása, hogy egy másik tárgy is zöld (vagy épp nem zöld), mivel a két tárgy színe független egymástól.
Összegezve: egy ilyen egyszerű állítás tagadása az, hogy a jelző (jelen esetben a szín) elé egy "nem"-szócskát teszünk.
Másodfokú egyenlet
Határozd meg az alábbi egyenlet gyökeit (megoldásait)!
\(8x^{2}-10x = 228\)
| \(x_1=\) | |
| \(x_2=\) |
(Az \(x_1\) legyen a nagyobbik, \(x_2\) a kisebbik megoldás!)
Az egyenletet először nullára kell redukálni:
\(8x^{2}-10x-228 = 0\) (vagy \(0 = -8x^{2}+10x+228\))
Ezután a megoldóképletbe kell behelyettesíteni vagy a számológép megfelelő funkcióját használni.
A megoldások: \(x_1 = 6\) és \(x_2 = -4.75\).
Határozd meg az alábbi egyenlet gyökeit (megoldásait)!
\(-2x^{2} = -12,5x+3\)
| \(x_1=\) | |
| \(x_2=\) |
(Az \(x_1\) legyen a nagyobbik, \(x_2\) a kisebbik megoldás!)
Az egyenletet először nullára kell redukálni:
\(-2x^{2}+12,5x-3 = 0\) (vagy \(0 = 2x^{2}-12,5x+3\))
Ezután a megoldóképletbe kell behelyettesíteni vagy a számológép megfelelő funkcióját használni.
A megoldások: \(x_1 = 6\) és \(x_2 = 0.25\).
Határozd meg az alábbi egyenlet gyökeit (megoldásait)!
\(-8x^{2}-162,5 = -76x\)
| \(x_1=\) | |
| \(x_2=\) |
(Az \(x_1\) legyen a nagyobbik, \(x_2\) a kisebbik megoldás!)
Az egyenletet először nullára kell redukálni:
\(-8x^{2}+76x-162,5 = 0\) (vagy \(0 = 8x^{2}-76x+162,5\))
Ezután a megoldóképletbe kell behelyettesíteni vagy a számológép megfelelő funkcióját használni.
A megoldások: \(x_1 = 6.25\) és \(x_2 = 3.25\).
Határozd meg az alábbi egyenlet gyökeit (megoldásait)!
\(50x = 68+8x^{2}\)
| \(x_1=\) | |
| \(x_2=\) |
(Az \(x_1\) legyen a nagyobbik, \(x_2\) a kisebbik megoldás!)
Az egyenletet először nullára kell redukálni:
\(-8x^{2}+50x-68 = 0\) (vagy \(0 = 8x^{2}-50x+68\))
Ezután a megoldóképletbe kell behelyettesíteni vagy a számológép megfelelő funkcióját használni.
A megoldások: \(x_1 = 4.25\) és \(x_2 = 2\).
Határozd meg az alábbi egyenlet gyökeit (megoldásait)!
\(47,5x = -10x^{2}\)
| \(x_1=\) | |
| \(x_2=\) |
(Az \(x_1\) legyen a nagyobbik, \(x_2\) a kisebbik megoldás!)
Az egyenletet először nullára kell redukálni:
\(10x^{2}+47,5x = 0\) (vagy \(0 = -10x^{2}-47,5x\))
Ezután a megoldóképletbe kell behelyettesíteni vagy a számológép megfelelő funkcióját használni.
A megoldások: \(x_1 = 0\) és \(x_2 = -4.75\).
Exponenciális
Egy radioaktív anyag bomlását az alábbi exponenciális összefüggés írja le:
\(\displaystyle m(t) = m_0\cdot 2^{-t/T_{1/2}}\),
ahol \(m(t)\) a még megmaradt anyag tömege \(t\) időpontban, \(m_0\) a kezdeti anyag tömege, \(T_{1/2}\) a felezési idő, \(t\) az eltelt idő (órában).
Egy radioaktív izotóp kezdetben 1400 mg volt, és felezési ideje 101.25 óra. Mennyi anyag marad 51.625 óra elteltével? Válaszodat milligrammban, 1 tizedes jegyre kerekítve add meg!
Adatok kigyűjtése
A képletben megjelenő jelöléseket használva:
\(m_0 = 1400\) (mg)
\(T_{1/2} = 101.25\) (óra)
\(t = 51.625\) (óra)
Behelyettesítés
A megadott képletbe behelyettesítve:
\(m(t) = 1400\cdot 2^{-51.625 / 101.25}\),
majd kiszámolva: \(m(t) = 983.2\).
Figyelj arra, hogy a kitevőt rakd zárójelbe, vagy először azt számold ki külön és az eredmény kerüljön a kettő kitevőjébe!
Egy radioaktív anyag bomlását az alábbi exponenciális összefüggés írja le:
\(\displaystyle m(t) = m_0\cdot 2^{-t/T_{1/2}}\),
ahol \(m(t)\) a még megmaradt anyag tömege \(t\) időpontban, \(m_0\) a kezdeti anyag tömege, \(T_{1/2}\) a felezési idő, \(t\) az eltelt idő (órában).
Egy radioaktív izotóp kezdetben 700 mg volt, és felezési ideje 122.5 óra. Mennyi anyag marad 1279.25 óra elteltével? Válaszodat milligrammban, 4 tizedes jegyre kerekítve add meg!
Adatok kigyűjtése
A képletben megjelenő jelöléseket használva:
\(m_0 = 700\) (mg)
\(T_{1/2} = 122.5\) (óra)
\(t = 1279.25\) (óra)
Behelyettesítés
A megadott képletbe behelyettesítve:
\(m(t) = 700\cdot 2^{-1279.25 / 122.5}\),
majd kiszámolva: \(m(t) = 0.5029\).
Figyelj arra, hogy a kitevőt rakd zárójelbe, vagy először azt számold ki külön és az eredmény kerüljön a kettő kitevőjébe!
Egy radioaktív anyag bomlását az alábbi exponenciális összefüggés írja le:
\(\displaystyle m(t) = m_0\cdot 2^{-t/T_{1/2}}\),
ahol \(m(t)\) a még megmaradt anyag tömege \(t\) időpontban, \(m_0\) a kezdeti anyag tömege, \(T_{1/2}\) a felezési idő, \(t\) az eltelt idő (órában).
Egy radioaktív izotóp kezdetben 1600 mg volt, és felezési ideje 114.5 óra. Mennyi anyag marad 1456.25 óra elteltével? Válaszodat milligrammban, 4 tizedes jegyre kerekítve add meg!
Adatok kigyűjtése
A képletben megjelenő jelöléseket használva:
\(m_0 = 1600\) (mg)
\(T_{1/2} = 114.5\) (óra)
\(t = 1456.25\) (óra)
Behelyettesítés
A megadott képletbe behelyettesítve:
\(m(t) = 1600\cdot 2^{-1456.25 / 114.5}\),
majd kiszámolva: \(m(t) = 0.2374\).
Figyelj arra, hogy a kitevőt rakd zárójelbe, vagy először azt számold ki külön és az eredmény kerüljön a kettő kitevőjébe!
Egy radioaktív anyag bomlását az alábbi exponenciális összefüggés írja le:
\(\displaystyle m(t) = m_0\cdot 2^{-t/T_{1/2}}\),
ahol \(m(t)\) a még megmaradt anyag tömege \(t\) időpontban, \(m_0\) a kezdeti anyag tömege, \(T_{1/2}\) a felezési idő, \(t\) az eltelt idő (órában).
Egy radioaktív izotóp kezdetben 2000 mg volt, és felezési ideje 8.75 óra. Mennyi anyag marad 100.375 óra elteltével? Válaszodat milligrammban, 4 tizedes jegyre kerekítve add meg!
Adatok kigyűjtése
A képletben megjelenő jelöléseket használva:
\(m_0 = 2000\) (mg)
\(T_{1/2} = 8.75\) (óra)
\(t = 100.375\) (óra)
Behelyettesítés
A megadott képletbe behelyettesítve:
\(m(t) = 2000\cdot 2^{-100.375 / 8.75}\),
majd kiszámolva: \(m(t) = 0.7043\).
Figyelj arra, hogy a kitevőt rakd zárójelbe, vagy először azt számold ki külön és az eredmény kerüljön a kettő kitevőjébe!
Egy radioaktív anyag bomlását az alábbi exponenciális összefüggés írja le:
\(\displaystyle m(t) = m_0\cdot 2^{-t/T_{1/2}}\),
ahol \(m(t)\) a még megmaradt anyag tömege \(t\) időpontban, \(m_0\) a kezdeti anyag tömege, \(T_{1/2}\) a felezési idő, \(t\) az eltelt idő (órában).
Egy radioaktív izotóp kezdetben 1200 mg volt, és felezési ideje 96 óra. Mennyi anyag marad 1185 óra elteltével? Válaszodat milligrammban, 4 tizedes jegyre kerekítve add meg!
Adatok kigyűjtése
A képletben megjelenő jelöléseket használva:
\(m_0 = 1200\) (mg)
\(T_{1/2} = 96\) (óra)
\(t = 1185\) (óra)
Behelyettesítés
A megadott képletbe behelyettesítve:
\(m(t) = 1200\cdot 2^{-1185 / 96}\),
majd kiszámolva: \(m(t) = 0.2309\).
Figyelj arra, hogy a kitevőt rakd zárójelbe, vagy először azt számold ki külön és az eredmény kerüljön a kettő kitevőjébe!
Kombinatorika
Egy kártyapakliban összesen 17 kártya van. Kezdeti kiosztáskor mindenki 5 lapot kap, a maradék 2 lap talonba kerül.
Hányféle kezdeti kiosztás lehetséges?
Összesen \(17 - 2 = 15\) kártyát osztanak ki úgy, hogy mindenki 5 kártyát kap, azaz \(\frac{15}{5} = 3\) fő játszik.
Az első játékos a teljes pakliból kap, ez \(\left(\begin{array}{c} 17 \\ 5 \end{array} \right)\)-féleképpen lehet, hiszen a kiosztás sorrendje nem számít.
A második játékos már csak \(12\) lapból kaphat (hiszen 5 lapot már kiosztottunk), ez \(\left(\begin{array}{c} 12 \\ 5 \end{array} \right)\)-féleképpen lehetséges.
És így tovább, a lehetőségeket pedig össze kell szorozni (hiszen és kötőszóval kapcsoljuk össze a lépéseket):
\(\left(\begin{array}{c} 17 \\ 5 \end{array} \right)\cdot\left(\begin{array}{c} 12 \\ 5 \end{array} \right)\cdot\left(\begin{array}{c} 7 \\ 5 \end{array} \right) = 102918816\)
Egy kártyapakliban összesen 13 kártya van. Kezdeti kiosztáskor mindenki 6 lapot kap, a maradék 1 lap talonba kerül.
Hányféle kezdeti kiosztás lehetséges?
Összesen \(13 - 1 = 12\) kártyát osztanak ki úgy, hogy mindenki 6 kártyát kap, azaz \(\frac{12}{6} = 2\) fő játszik.
Az első játékos a teljes pakliból kap, ez \(\left(\begin{array}{c} 13 \\ 6 \end{array} \right)\)-féleképpen lehet, hiszen a kiosztás sorrendje nem számít.
A második játékos már csak \(7\) lapból kaphat (hiszen 6 lapot már kiosztottunk), ez \(\left(\begin{array}{c} 7 \\ 6 \end{array} \right)\)-féleképpen lehetséges.
És így tovább, a lehetőségeket pedig össze kell szorozni (hiszen és kötőszóval kapcsoljuk össze a lépéseket):
\(\left(\begin{array}{c} 13 \\ 6 \end{array} \right)\cdot\left(\begin{array}{c} 7 \\ 6 \end{array} \right) = 12012\)
Egy kártyapakliban összesen 14 kártya van. Kezdeti kiosztáskor mindenki 3 lapot kap, a maradék 2 lap talonba kerül.
Hányféle kezdeti kiosztás lehetséges?
Összesen \(14 - 2 = 12\) kártyát osztanak ki úgy, hogy mindenki 3 kártyát kap, azaz \(\frac{12}{3} = 4\) fő játszik.
Az első játékos a teljes pakliból kap, ez \(\left(\begin{array}{c} 14 \\ 3 \end{array} \right)\)-féleképpen lehet, hiszen a kiosztás sorrendje nem számít.
A második játékos már csak \(11\) lapból kaphat (hiszen 3 lapot már kiosztottunk), ez \(\left(\begin{array}{c} 11 \\ 3 \end{array} \right)\)-féleképpen lehetséges.
És így tovább, a lehetőségeket pedig össze kell szorozni (hiszen és kötőszóval kapcsoljuk össze a lépéseket):
\(\left(\begin{array}{c} 14 \\ 3 \end{array} \right)\cdot\left(\begin{array}{c} 11 \\ 3 \end{array} \right)\cdot\left(\begin{array}{c} 8 \\ 3 \end{array} \right)\cdot\left(\begin{array}{c} 5 \\ 3 \end{array} \right) = 33633600\)
Egy kártyapakliban összesen 7 kártya van. Kezdeti kiosztáskor mindenki 3 lapot kap, a maradék 1 lap talonba kerül.
Hányféle kezdeti kiosztás lehetséges?
Összesen \(7 - 1 = 6\) kártyát osztanak ki úgy, hogy mindenki 3 kártyát kap, azaz \(\frac{6}{3} = 2\) fő játszik.
Az első játékos a teljes pakliból kap, ez \(\left(\begin{array}{c} 7 \\ 3 \end{array} \right)\)-féleképpen lehet, hiszen a kiosztás sorrendje nem számít.
A második játékos már csak \(4\) lapból kaphat (hiszen 3 lapot már kiosztottunk), ez \(\left(\begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array} \right)\)-féleképpen lehetséges.
És így tovább, a lehetőségeket pedig össze kell szorozni (hiszen és kötőszóval kapcsoljuk össze a lépéseket):
\(\left(\begin{array}{c} 7 \\ 3 \end{array} \right)\cdot\left(\begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array} \right) = 140\)
Egy kártyapakliban összesen 17 kártya van. Kezdeti kiosztáskor mindenki 5 lapot kap, a maradék 2 lap talonba kerül.
Hányféle kezdeti kiosztás lehetséges?
Összesen \(17 - 2 = 15\) kártyát osztanak ki úgy, hogy mindenki 5 kártyát kap, azaz \(\frac{15}{5} = 3\) fő játszik.
Az első játékos a teljes pakliból kap, ez \(\left(\begin{array}{c} 17 \\ 5 \end{array} \right)\)-féleképpen lehet, hiszen a kiosztás sorrendje nem számít.
A második játékos már csak \(12\) lapból kaphat (hiszen 5 lapot már kiosztottunk), ez \(\left(\begin{array}{c} 12 \\ 5 \end{array} \right)\)-féleképpen lehetséges.
És így tovább, a lehetőségeket pedig össze kell szorozni (hiszen és kötőszóval kapcsoljuk össze a lépéseket):
\(\left(\begin{array}{c} 17 \\ 5 \end{array} \right)\cdot\left(\begin{array}{c} 12 \\ 5 \end{array} \right)\cdot\left(\begin{array}{c} 7 \\ 5 \end{array} \right) = 102918816\)
Sorozatok
Egy tartalomgyártó úgy dönt, hogy egy nagyobb projekt keretében 3 hónapon át minden héten elkészít egy videót, amelyek hossza fokozatosan növekszik. Az első videó 6 perc, minden következő videó pedig 45 másodperccel hosszabb, mint az előző.
Mivel a projekt 12 hétig tart, a készítő szeretné tudni, hány percnyi videót gyárt összesen ez alatt a 12 hét alatt, hogy ezt feltüntethesse a közönségének szóló összefoglalóban.
A videók hossza egy számtani sorozatot alkot, amelynek első tagja \(a_1 = 6\) (perc), a differenciája pedig \(d = \frac{45}{60} = 0.75\) (perc).
A feladat az összes 12 videó összhosszát kérdezi, azaz a kérdés most az \(S_n\).
A képlet szerint: \(S_{12} = 12\cdot \frac{2\cdot 6 + (12 - 1)\cdot 0.75}{2}\)
Kiszámolva: 121.5 perc.
Megjegyzés: természetesen fel lehet írni az összes tagot egyesével és azokat összeadni:
\(6 + 6.75 + 7.5 + 8.25 + 9 + 9.75 + 10.5 + 11.25 + 12 + 12.75 + 13.5 + 14.25 = 121.5\).
Egy tartalomgyártó úgy dönt, hogy egy nagyobb projekt keretében 5 hónapon át minden héten elkészít egy videót, amelyek hossza fokozatosan növekszik. Az első videó 4 perc, minden következő videó pedig 12 másodperccel hosszabb, mint az előző.
Mivel a projekt 20 hétig tart, a készítő szeretné tudni, hány percnyi videót gyárt összesen ez alatt a 20 hét alatt, hogy ezt feltüntethesse a közönségének szóló összefoglalóban.
A videók hossza egy számtani sorozatot alkot, amelynek első tagja \(a_1 = 4\) (perc), a differenciája pedig \(d = \frac{12}{60} = 0.2\) (perc).
A feladat az összes 20 videó összhosszát kérdezi, azaz a kérdés most az \(S_n\).
A képlet szerint: \(S_{20} = 20\cdot \frac{2\cdot 4 + (20 - 1)\cdot 0.2}{2}\)
Kiszámolva: 118 perc.
Megjegyzés: természetesen fel lehet írni az összes tagot egyesével és azokat összeadni:
\(4 + 4.2 + 4.4 + 4.6 + 4.8 + 5 + 5.2 + 5.4 + 5.6 + 5.8 + 6 + 6.2 + 6.4 + 6.6 + 6.8 + 7 + 7.2 + 7.4 + 7.6 + 7.8 = 118\).
Egy tartalomgyártó úgy dönt, hogy egy nagyobb projekt keretében 4 hónapon át minden héten elkészít egy videót, amelyek hossza fokozatosan növekszik. Az első videó 3 perc, minden következő videó pedig 9 másodperccel hosszabb, mint az előző.
Mivel a projekt 16 hétig tart, a készítő szeretné tudni, hány percnyi videót gyárt összesen ez alatt a 16 hét alatt, hogy ezt feltüntethesse a közönségének szóló összefoglalóban.
A videók hossza egy számtani sorozatot alkot, amelynek első tagja \(a_1 = 3\) (perc), a differenciája pedig \(d = \frac{9}{60} = 0.15\) (perc).
A feladat az összes 16 videó összhosszát kérdezi, azaz a kérdés most az \(S_n\).
A képlet szerint: \(S_{16} = 16\cdot \frac{2\cdot 3 + (16 - 1)\cdot 0.15}{2}\)
Kiszámolva: 66 perc.
Megjegyzés: természetesen fel lehet írni az összes tagot egyesével és azokat összeadni:
\(3 + 3.15 + 3.3 + 3.45 + 3.6 + 3.75 + 3.9 + 4.05 + 4.2 + 4.35 + 4.5 + 4.65 + 4.8 + 4.95 + 5.1 + 5.25 = 66\).
Egy tartalomgyártó úgy dönt, hogy egy nagyobb projekt keretében 3 hónapon át minden héten elkészít egy videót, amelyek hossza fokozatosan növekszik. Az első videó 3 perc, minden következő videó pedig 39 másodperccel hosszabb, mint az előző.
Mivel a projekt 12 hétig tart, a készítő szeretné tudni, hány percnyi videót gyárt összesen ez alatt a 12 hét alatt, hogy ezt feltüntethesse a közönségének szóló összefoglalóban.
A videók hossza egy számtani sorozatot alkot, amelynek első tagja \(a_1 = 3\) (perc), a differenciája pedig \(d = \frac{39}{60} = 0.65\) (perc).
A feladat az összes 12 videó összhosszát kérdezi, azaz a kérdés most az \(S_n\).
A képlet szerint: \(S_{12} = 12\cdot \frac{2\cdot 3 + (12 - 1)\cdot 0.65}{2}\)
Kiszámolva: 78.9 perc.
Megjegyzés: természetesen fel lehet írni az összes tagot egyesével és azokat összeadni:
\(3 + 3.65 + 4.3 + 4.95 + 5.6 + 6.25 + 6.9 + 7.55 + 8.2 + 8.85 + 9.5 + 10.15 = 78.9\).
Egy tartalomgyártó úgy dönt, hogy egy nagyobb projekt keretében 2 hónapon át minden héten elkészít egy videót, amelyek hossza fokozatosan növekszik. Az első videó 4 perc, minden következő videó pedig 30 másodperccel hosszabb, mint az előző.
Mivel a projekt 8 hétig tart, a készítő szeretné tudni, hány percnyi videót gyárt összesen ez alatt a 8 hét alatt, hogy ezt feltüntethesse a közönségének szóló összefoglalóban.
A videók hossza egy számtani sorozatot alkot, amelynek első tagja \(a_1 = 4\) (perc), a differenciája pedig \(d = \frac{30}{60} = 0.5\) (perc).
A feladat az összes 8 videó összhosszát kérdezi, azaz a kérdés most az \(S_n\).
A képlet szerint: \(S_{8} = 8\cdot \frac{2\cdot 4 + (8 - 1)\cdot 0.5}{2}\)
Kiszámolva: 46 perc.
Megjegyzés: természetesen fel lehet írni az összes tagot egyesével és azokat összeadni:
\(4 + 4.5 + 5 + 5.5 + 6 + 6.5 + 7 + 7.5 = 46\).
Térgeometria
A holdkutató robot hátán egy különleges üzemanyagtartály van. A tartály teste henger alakú, sugara 17 cm, magassága 48 cm, tetejét pedig egy kúp alakú zárófedél fedi, amelynek magassága 3 cm.
A mérnökök tudni szeretnék, hogy
mennyi üzemanyag fér a tartályba, köbcentiméter mértékegységben:
és mekkora felületet kell hőálló bevonattal ellátni négyzetcentiméter mértékegységben (a henger alját nem kell számítani):
A mérnököknek elegendő egy tizedes jegyre kerekített érték!
A test két egyszerű testből áll össze: egy hengerből és egy kúpból.
A henger adatai: \(r = 17\), \(m_h = 48\).
A kúp adatai: \(r = 17\), \(m_k = 3\).
Térfogat
A henger térfogata: \(V_h = r^2\pi m_h = 17^2\cdot\pi\cdot 48\approx 43580.17\)
A kúp térfogata: \(V_k = \frac{r^2\pi m_k}{3} = \frac{17^2\pi 3}{3}\approx 907.92\)
A keresett térfogat a két térfogat összege: \(V = V_h + V_k = 43580.17 + 907.92 \approx 44488.1\)
Felszín
A kúp és a henger felszínéből is csak a palástok felszíne kell, az alapkör területe nem!
Henger palástja: \(A_h = 2r\pi m = 2\cdot 17\pi\cdot 48\approx 5127.08\)
A kúp palástjához először ki kell számolni a kúp alkotóját. A kúp magasságával és az alkotójával együtt derékszögű háromszöget alkotnak, azaz:
\(m^2 + r^2 = a^2\), vagyis \(3^2 + 17^2 = a^2\), ebből \(a\approx 17.263\).
A kúp palástja: \(A_k = r\pi a = 17\pi \cdot 17.263 \approx 921.97\).
A két terület együtt: \(A = A_h + A_k = 5127.08 + 921.97\approx 6049.1\).
A holdkutató robot hátán egy különleges üzemanyagtartály van. A tartály teste henger alakú, sugara 36 cm, magassága 78 cm, tetejét pedig egy kúp alakú zárófedél fedi, amelynek magassága 9 cm.
A mérnökök tudni szeretnék, hogy
mennyi üzemanyag fér a tartályba, köbcentiméter mértékegységben:
és mekkora felületet kell hőálló bevonattal ellátni négyzetcentiméter mértékegységben (a henger alját nem kell számítani):
A mérnököknek elegendő egy tizedes jegyre kerekített érték!
A test két egyszerű testből áll össze: egy hengerből és egy kúpból.
A henger adatai: \(r = 36\), \(m_h = 78\).
A kúp adatai: \(r = 36\), \(m_k = 9\).
Térfogat
A henger térfogata: \(V_h = r^2\pi m_h = 36^2\cdot\pi\cdot 78\approx 317577.32\)
A kúp térfogata: \(V_k = \frac{r^2\pi m_k}{3} = \frac{36^2\pi 9}{3}\approx 12214.51\)
A keresett térfogat a két térfogat összege: \(V = V_h + V_k = 317577.32 + 12214.51 \approx 329791.8\)
Felszín
A kúp és a henger felszínéből is csak a palástok felszíne kell, az alapkör területe nem!
Henger palástja: \(A_h = 2r\pi m = 2\cdot 36\pi\cdot 78\approx 17643.18\)
A kúp palástjához először ki kell számolni a kúp alkotóját. A kúp magasságával és az alkotójával együtt derékszögű háromszöget alkotnak, azaz:
\(m^2 + r^2 = a^2\), vagyis \(9^2 + 36^2 = a^2\), ebből \(a\approx 37.108\).
A kúp palástja: \(A_k = r\pi a = 36\pi \cdot 37.108 \approx 4196.82\).
A két terület együtt: \(A = A_h + A_k = 17643.18 + 4196.82\approx 21840\).
A holdkutató robot hátán egy különleges üzemanyagtartály van. A tartály teste henger alakú, sugara 28 cm, magassága 84 cm, tetejét pedig egy kúp alakú zárófedél fedi, amelynek magassága 14 cm.
A mérnökök tudni szeretnék, hogy
mennyi üzemanyag fér a tartályba, köbcentiméter mértékegységben:
és mekkora felületet kell hőálló bevonattal ellátni négyzetcentiméter mértékegységben (a henger alját nem kell számítani):
A mérnököknek elegendő egy tizedes jegyre kerekített érték!
A test két egyszerű testből áll össze: egy hengerből és egy kúpból.
A henger adatai: \(r = 28\), \(m_h = 84\).
A kúp adatai: \(r = 28\), \(m_k = 14\).
Térfogat
A henger térfogata: \(V_h = r^2\pi m_h = 28^2\cdot\pi\cdot 84\approx 206892.73\)
A kúp térfogata: \(V_k = \frac{r^2\pi m_k}{3} = \frac{28^2\pi 14}{3}\approx 11494.04\)
A keresett térfogat a két térfogat összege: \(V = V_h + V_k = 206892.73 + 11494.04 \approx 218386.8\)
Felszín
A kúp és a henger felszínéből is csak a palástok felszíne kell, az alapkör területe nem!
Henger palástja: \(A_h = 2r\pi m = 2\cdot 28\pi\cdot 84\approx 14778.05\)
A kúp palástjához először ki kell számolni a kúp alkotóját. A kúp magasságával és az alkotójával együtt derékszögű háromszöget alkotnak, azaz:
\(m^2 + r^2 = a^2\), vagyis \(14^2 + 28^2 = a^2\), ebből \(a\approx 31.305\).
A kúp palástja: \(A_k = r\pi a = 28\pi \cdot 31.305 \approx 2753.73\).
A két terület együtt: \(A = A_h + A_k = 14778.05 + 2753.73\approx 17531.8\).
A holdkutató robot hátán egy különleges üzemanyagtartály van. A tartály teste henger alakú, sugara 23 cm, magassága 57 cm, tetejét pedig egy kúp alakú zárófedél fedi, amelynek magassága 11 cm.
A mérnökök tudni szeretnék, hogy
mennyi üzemanyag fér a tartályba, köbcentiméter mértékegységben:
és mekkora felületet kell hőálló bevonattal ellátni négyzetcentiméter mértékegységben (a henger alját nem kell számítani):
A mérnököknek elegendő egy tizedes jegyre kerekített érték!
A test két egyszerű testből áll össze: egy hengerből és egy kúpból.
A henger adatai: \(r = 23\), \(m_h = 57\).
A kúp adatai: \(r = 23\), \(m_k = 11\).
Térfogat
A henger térfogata: \(V_h = r^2\pi m_h = 23^2\cdot\pi\cdot 57\approx 94728.44\)
A kúp térfogata: \(V_k = \frac{r^2\pi m_k}{3} = \frac{23^2\pi 11}{3}\approx 6093.64\)
A keresett térfogat a két térfogat összege: \(V = V_h + V_k = 94728.44 + 6093.64 \approx 100822.1\)
Felszín
A kúp és a henger felszínéből is csak a palástok felszíne kell, az alapkör területe nem!
Henger palástja: \(A_h = 2r\pi m = 2\cdot 23\pi\cdot 57\approx 8237.26\)
A kúp palástjához először ki kell számolni a kúp alkotóját. A kúp magasságával és az alkotójával együtt derékszögű háromszöget alkotnak, azaz:
\(m^2 + r^2 = a^2\), vagyis \(11^2 + 23^2 = a^2\), ebből \(a\approx 25.495\).
A kúp palástja: \(A_k = r\pi a = 23\pi \cdot 25.495 \approx 1842.18\).
A két terület együtt: \(A = A_h + A_k = 8237.26 + 1842.18\approx 10079.4\).
A holdkutató robot hátán egy különleges üzemanyagtartály van. A tartály teste henger alakú, sugara 21 cm, magassága 57 cm, tetejét pedig egy kúp alakú zárófedél fedi, amelynek magassága 4 cm.
A mérnökök tudni szeretnék, hogy
mennyi üzemanyag fér a tartályba, köbcentiméter mértékegységben:
és mekkora felületet kell hőálló bevonattal ellátni négyzetcentiméter mértékegységben (a henger alját nem kell számítani):
A mérnököknek elegendő egy tizedes jegyre kerekített érték!
A test két egyszerű testből áll össze: egy hengerből és egy kúpból.
A henger adatai: \(r = 21\), \(m_h = 57\).
A kúp adatai: \(r = 21\), \(m_k = 4\).
Térfogat
A henger térfogata: \(V_h = r^2\pi m_h = 21^2\cdot\pi\cdot 57\approx 78970.21\)
A kúp térfogata: \(V_k = \frac{r^2\pi m_k}{3} = \frac{21^2\pi 4}{3}\approx 1847.26\)
A keresett térfogat a két térfogat összege: \(V = V_h + V_k = 78970.21 + 1847.26 \approx 80817.5\)
Felszín
A kúp és a henger felszínéből is csak a palástok felszíne kell, az alapkör területe nem!
Henger palástja: \(A_h = 2r\pi m = 2\cdot 21\pi\cdot 57\approx 7520.97\)
A kúp palástjához először ki kell számolni a kúp alkotóját. A kúp magasságával és az alkotójával együtt derékszögű háromszöget alkotnak, azaz:
\(m^2 + r^2 = a^2\), vagyis \(4^2 + 21^2 = a^2\), ebből \(a\approx 21.378\).
A kúp palástja: \(A_k = r\pi a = 21\pi \cdot 21.378 \approx 1410.38\).
A két terület együtt: \(A = A_h + A_k = 7520.97 + 1410.38\approx 8931.4\).